2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)110練第十章§10.7概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題§10.7概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題分值：30分1.(15分)某種藥材的種植、加工過(guò)程受天氣、施肥、管理等因素影響，農(nóng)民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產(chǎn)了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.(1)若在去年生產(chǎn)的藥材中隨機(jī)抽取4箱，設(shè)X為上等藥材的箱數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(7分)(2)已知每箱藥材的利潤(rùn)如表：等級(jí)上等藥材中等藥材普通藥材利潤(rùn)(元/箱)40002000-1200今年市場(chǎng)需求增加，某農(nóng)戶計(jì)劃增加產(chǎn)量，且生產(chǎn)的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相應(yīng)增加(1000m-2000lnm)元，假設(shè)你為該農(nóng)戶決策，你覺(jué)得目前應(yīng)不應(yīng)該增加產(chǎn)量？如果需要增加產(chǎn)量，增加多少箱最好？如果不需要增加產(chǎn)量，請(qǐng)說(shuō)明理由.(8分)2.(15分)(2024·福州質(zhì)檢)從一副撲克牌中挑出4張Q和4張K，將其中2張Q和2張K裝在一個(gè)不透明的袋中，剩余的2張Q和2張K放在外面.現(xiàn)從袋中隨機(jī)抽出一張撲克牌，若抽出Q，則把它放回袋中；若抽出K，則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張Q放入袋中.如此操作若干次，直到將袋中的K全部置換為Q.(1)在操作2次后，袋中K的張數(shù)記為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3分)(2)記事件“在操作n+1(n∈N*)次后，恰好將袋中的K全部置換為Q”為An，記Pn=P(An).①在第1次取到Q的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；(5分)②試探究Pn+1與Pn的遞推關(guān)系，并說(shuō)明理由.(7分)答案精析1.解(1)X的可能取值為0，1，2，P(X=0)=C20P(X=1)=C21P(X=2)=C22X的分布列為X012P31447314X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×314+1×47+2×3(2)按原計(jì)劃生產(chǎn)藥材每箱平均利潤(rùn)為14×4000+14×2000+12×(-1200則增加m箱藥材，利潤(rùn)增加為900m元，成本相應(yīng)增加(1000m-2000lnm)元，所以增加凈利潤(rùn)為900m-1000m+2000lnm=2000lnm-100m(m∈N*).設(shè)f(x)=2000lnx-100x(x∈N*)，則f'(x)=2000x-100令f'(x)=0，得x=20，當(dāng)1≤x<20時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x>20時(shí)，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函數(shù)f(x)在[1，20)上單調(diào)遞增，在(20，+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x=20時(shí)，f(x)取得最大值，所以需要增加產(chǎn)量，增加20箱最好.2.解(1)由題意可知，X的可能取值為0，1，2，則P(X=0)=24×P(X=1)=24×24P(X=2)=24×所以X的分布列為X012P185814所以E(X)=0×18+1×58+2×14(2)①記事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“總共4次操作恰好完成置換”，則P(E)=12依題意，若第一次取到Q，則剩余的3次操作，須將袋中K全部置換為Q，若第二次也取出Q，則第三次和第四次均須取出K，其概率為12×2若第二次取出K，則第三次取出Q，第四次取出K，其概率為12×2綜上所述，P(EF)=132+364所以P(F|E)=P(EF)P即在第1次取到Q的條件下，總共4次操作恰好完成置換的概率為532②Pn+1=12n+3+3設(shè)事件B表示“n次操作后袋中還剩1張K”，依題意，Pn為(n+1)次操作后，恰好將袋中的K全部置換為Q的概率，而發(fā)生這樣的情況需n次操作后袋中還剩1張K，且第(n+1)次抽中K，則Pn=14P(B)，即P(B)=4PnPn+1為(n+2)次操作后，恰好將袋中的K全部置換為Q的概率，有2種情況：n次操作后袋中還剩2張K，即前n次全取Q，概率為12n，并且第(n+1)次和第(n+2n次操作后袋中還剩1張K，第(n+1)次取Q，第(n+2)次取K，所以Pn+1=12n×24×14+P(B)×34又因?yàn)镻(B)=4Pn，所以Pn+1=12n+3+3必刷大題20概率與統(tǒng)計(jì)分值：60分1.(13分)(2024·安康模擬)某農(nóng)場(chǎng)收獲的蘋果按A，B，C三個(gè)蘋果等級(jí)進(jìn)行裝箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果的箱數(shù)之比為6∶3∶1.(1)現(xiàn)從這批蘋果中隨機(jī)選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求至少選到2箱A級(jí)蘋果的概率；(6分)(2)若用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果中選取10箱蘋果，假設(shè)某游客要從這10箱蘋果中隨機(jī)購(gòu)買3箱，記購(gòu)買的A級(jí)蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(7分)2.(15分)隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.該人機(jī)交互軟件測(cè)試階段，共測(cè)試了1000個(gè)問(wèn)題，測(cè)試結(jié)果如下表：回答正確回答錯(cuò)誤問(wèn)題中存在語(yǔ)法錯(cuò)誤100300問(wèn)題中沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤500100結(jié)果顯示問(wèn)題中是否存在語(yǔ)法錯(cuò)誤會(huì)影響該軟件回答問(wèn)題的正確率，依據(jù)測(cè)試結(jié)果，用頻率近似概率，解決下列問(wèn)題.(1)測(cè)試2個(gè)問(wèn)題，在該軟件都回答正確的情況下，求測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)問(wèn)題存在語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率；(7分)(2)現(xiàn)輸入3個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確回答相互獨(dú)立，記軟件正確回答的問(wèn)題個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.(8分)3.(15分)某學(xué)校計(jì)劃舉辦趣味投籃比賽，比賽分若干局進(jìn)行.每一局比賽規(guī)則如下：兩人組成一個(gè)小組，每人各投籃3次.若某選手投中次數(shù)多于未投中次數(shù)，則稱該選手為“好投手”.若兩人均為“好投手”，則稱該小組為本局比賽的“神投手組合”.假定每位參賽選手都參加每一局的比賽，每人每次投籃結(jié)果互不影響.若甲、乙兩位同學(xué)組成一個(gè)小組參賽，且甲、乙同學(xué)的投籃命中率分別為23(1)求在一局比賽中甲被稱為“好投手”的概率；(5分)(2)若以“甲、乙同學(xué)組成的小組獲得‘神投手組合’的局?jǐn)?shù)為3的概率最大”作為決策依據(jù)，試推斷本次投籃比賽設(shè)置的總局?jǐn)?shù)n(n≥4)為多少時(shí)，對(duì)該小組更有利.(10分)4.(17分)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的分布列分別為：P(X＝xi)＝pi，P(Y＝xi)＝qi，其中i＝1，2，…，n.定義X的信息熵：H(X)＝－n∑i=1pilog2pi，X和Y的“距離”：KL(X||Y)＝n∑i=1pi(1)若X~B4，12，求H((2)已知發(fā)報(bào)臺(tái)只發(fā)出信號(hào)0和1，接收臺(tái)只收到信號(hào)0和1.現(xiàn)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)0的概率為m，由于通信信號(hào)受到干擾，發(fā)出信號(hào)0接收臺(tái)收到信號(hào)0的概率為n，發(fā)出信號(hào)1接收臺(tái)收到信號(hào)1的概率也為n.①若接收臺(tái)收到信號(hào)為0，求發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)為0的概率；(5分)②記X和Y分別為發(fā)出信號(hào)和收到信號(hào)，證明：KL(X||Y)≥0.(7分)答案精析1.解(1)設(shè)事件M=“至少選到2箱A級(jí)蘋果”，由題意知選到1箱A級(jí)蘋果的概率為610=35，選到1箱非A級(jí)蘋果的概率為所以P(M)=C32352×故至少選到2箱A級(jí)蘋果的概率為81125(2)因?yàn)橛冒幢壤峙涞姆謱与S機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果中選取10箱蘋果，所以A級(jí)蘋果有6箱，B，C級(jí)蘋果共有4箱，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X=0)=C60C4P(X=1)=C61C4P(X=2)=C62C4P(X=3)=C63C4所以X的分布列為X0123P1303101216E(X)=0×130+1×310+2×12+3×12.解(1)記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由測(cè)試結(jié)果知P(A)=3P(B|A)=5P(A)=25，P(B|A)所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=14×25+記“測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題都回答正確”為事件M，“測(cè)試的2個(gè)問(wèn)題中恰有1個(gè)問(wèn)題存在語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件N，則P(M)=352P(MN)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)×2=35×5所以P(N|M)=P(MN)(2)由(1)可得X~B3，35，則X的可能取值為0，1，2所以P(X=0)=253P(X=1)=C31P(X=2)=C32P(X=3)=353所以X的分布列為X0123P81253612554125271253.解(1)設(shè)“一局比賽中甲被稱為‘好投手’”為事件A，則P(A)=C32×23(2)設(shè)“一局比賽中乙被稱為‘好投手’”為事件B，則P(B)=C32×1甲、乙同學(xué)都被稱為“好投手”的概率為P=2027×1比賽設(shè)置n(n≥4)局，設(shè)甲、乙同學(xué)組成的小組獲得“神投手組合”的局?jǐn)?shù)為X，則X~Bn且P(X=3)=C設(shè)f(n)=Cn31027則f則C即n-2≥17又n∈N*，則n=8，所以本次投籃比賽設(shè)置的總局?jǐn)?shù)為8時(shí)，對(duì)該小組更有利.4.(1)解因?yàn)閄~B4，所以P(X=k)=C4k所以X的分布列為X01234P116143814116所以H(X)=-1=32-38(log23-3)=218-38(2)①解記發(fā)出信號(hào)0和1分別為事件Ai(i=0，1)，收到信號(hào)0和1分別為事件Bi(i=0，1)，則P(A0)=m，P(A1)=1-m，P(B0|A0)=P(B1|A1)=n，P(B1|A0)=P(B0|A1)=1-n，所以P(B0)=P(A0)P(B0|A0)+P(A1)P(B0|A1)=mn+(1-m)(1-n)=1-m-n+2mn，所以P(A0|B0)=P(A0②證明由①知P(B0)=1-m-n+2mn，則P(B1)=1-P(B0)=m+n-2mn，則KL(X||Y)=mlog2m1-(1-m)log21-m設(shè)f(x)=1-1x-lnx，x>0則f'(x)=1x2-1所以當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)≤f(1)=0，即lnx≥1-1x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1所以log2x=ln所以KL(X||Y)=mlog2m1-m-n+2mn+(≥mln21-1-m當(dāng)且僅當(dāng)m1-m-n即m=12，0<n所以KL(X||Y)≥0.必刷小題19計(jì)數(shù)原理與概率分值：73分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.已知一個(gè)系統(tǒng)由A，B兩個(gè)部件并聯(lián)組成，當(dāng)A或B正常工作時(shí)，系統(tǒng)就能正常工作，若A正常工作的概率為0.65，B正常工作的概率為0.6，則該系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.142.在x2-2A.-154 B.154 C.-383.甲、乙等四個(gè)人一起隨機(jī)手牽手圍成一圈做游戲，甲與乙牽手的概率是()A.12 B.13 C.144.現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事件中互為對(duì)立事件的是()A.恰好兩件正品與恰好四件正品B.至少三件正品與全部正品C.至少一件正品與全部次品D.至少一件正品與至少一件次品5.(2024·大同模擬)某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”(如2024是“幸運(yùn)數(shù)”)，并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有()A.32個(gè) B.28個(gè) C.27個(gè) D.24個(gè)6.已知甲袋中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有8個(gè)紅球和6個(gè)白球，隨機(jī)取一袋，再?gòu)拇腥稳∫磺颍l(fā)現(xiàn)是紅球，則此球來(lái)自甲袋的概率為()A.512 B.37 C.20417.在二項(xiàng)式2x-1A.135 B.16 C.148.某規(guī)范化考場(chǎng)的規(guī)格為每場(chǎng)30名考生，分為6排5列，依照如表所示的方式進(jìn)行座位號(hào)的編排.為了確?？荚嚨墓叫?，考生的試卷分為A卷和B卷，座位號(hào)為奇數(shù)的考生使用A卷，座位號(hào)為偶數(shù)的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考場(chǎng)參加考試，且三人使用的試卷類型相同，三名考生中任意兩人不得安排在同一排或同一列，則甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有()第5列第4列第3列第2列第1列2524131201第1排2623141102第2排2722151003第3排2821160904第4排2920170805第5排3019180706第6排A.2016種 B.1008種C.1440種 D.720種二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.二項(xiàng)式x-A.前三項(xiàng)系數(shù)之和為22B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C.常數(shù)項(xiàng)為15D.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為010.已知A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，則下列結(jié)論一定正確的是()A.P(AB)=0.18B.A，B不可能為互斥事件C.若P(AB)=0.42，則事件A，B相互獨(dú)立D.若A，B相互獨(dú)立，則P(A+B)=0.711.五一假期過(guò)后，車主小王選擇去某市新開的A，B兩家共享自助洗車店洗車.已知小王第一次去A，B兩家洗車店洗車的概率分別為35和25，如果小王第一次去A洗車店，那么第二次去A洗車店的概率為12；如果小王第一次去B洗車店，那么第二次去AA.小王第一次去B洗車店，第二次也去B洗車店的概率為4B.小王第二次去B洗車店的概率比第二次去A洗車店的概率大C.若小王第二次去了A洗車店，則他第一次去A洗車店的概率為5D.若小王第二次去了B洗車店，則他第一次去A洗車店的概率為13三、填空題(每小題5分，共15分)12.小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會(huì)，小吳有1道題不會(huì)，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為. 13.無(wú)人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感.去某地旅游的游客有無(wú)人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無(wú)人酒店，那么第二天還入住無(wú)人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無(wú)人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無(wú)人酒店的概率為.14.(2024·廣州模擬)如圖是一個(gè)3×3的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新調(diào)整位置，使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為.(-1，1)(0，1)(1，1)(-1，0)(0，0)(1，0)(-1，-1)(0，-1)(1，-1)答案精析1.A2.B3.D[以甲為中心，其他三人的位置是甲的左邊、右邊、對(duì)面，共有A33種情況，其中乙在甲的左邊或右邊，即甲與乙能牽手有2A22種情況，所以所求概率為P=24.C[根據(jù)題意，選項(xiàng)A中事件為互斥事件，不是對(duì)立事件；選項(xiàng)B，D中事件可能同時(shí)發(fā)生，全部正品是至少三件正品的子事件；選項(xiàng)C中事件為對(duì)立事件，全部次品不能存在有正品的事件.]5.B[依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其他三位數(shù)字的組合有以下七類：①“0，0，6”組合，有C31種，②“0，1，5”組合，有A33種，③“0，2，4”組合，有A33種，④“0，3，3”組合，有C31種，⑤“1，1，4”組合，有C31種，⑥“1，2，3”組合，有A33種，由分類加法計(jì)數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有3C31+3A336.D[設(shè)“取到甲袋”為事件A，則P(A)=P(A)=1設(shè)“取到紅球”為事件B，則P(B|A)=610=35，P(B|A)=由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=35×12所以P(A|B)=P(B|A)P(A7.A[在二項(xiàng)式2x-1xn的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n=64=26，所以n=6展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k·26-k(-1)k·x3-k，k=0，1，2，…，故展開式共有7項(xiàng)，當(dāng)k=0，2，4，6時(shí)，第k+1項(xiàng)為奇次項(xiàng)，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，奇次項(xiàng)都互不相鄰，即把其他的3個(gè)偶次項(xiàng)先任意排，再把這4個(gè)奇次項(xiàng)插入其中的4個(gè)空中，方法共有A3故奇次項(xiàng)都互不相鄰的概率為P=A33A48.A[先考慮甲、乙、丙三人使用A卷，則這三個(gè)人的座位號(hào)都為奇數(shù)，分以下幾種情況討論：(1)若這三人都在奇數(shù)列，則有一人需在第1列選一個(gè)奇數(shù)號(hào)的座位，有3種情況，然后有一人在第3列要選一個(gè)奇數(shù)號(hào)的座位，但與第一人不能在同一排，只有2種情況，最后一人只能在第5列選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的座位，但該人不能與前兩人在同一排，最后一人的座位只有一種選擇，此時(shí)，不同的排法有3×2×1×A33(2)三人中只有兩人在奇數(shù)列，首先在第1，3，5列中選兩列，有C3其次，第一個(gè)人在其中的第一個(gè)奇數(shù)列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有3種選擇，第二個(gè)人在另一個(gè)奇數(shù)列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有2種選擇，第三個(gè)人在兩個(gè)偶數(shù)列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有6種選擇，此時(shí)，共有C32×(3×2×6)×A(3)三人中只有一人在奇數(shù)列，第一個(gè)人在第1，3，5列中隨便選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有9種選擇，其次，第二個(gè)人在第2列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有3種選擇，例如第二個(gè)人選擇11號(hào)座位，由于第三個(gè)人不能與第二個(gè)人同排或同列，則第三個(gè)人只有2種選擇，即19號(hào)和21號(hào)兩個(gè)位置可供選擇，此時(shí)，不同的排法有9×3×2×A33=324綜上所述，當(dāng)三人都使用A卷時(shí)，不同的排法種數(shù)為36+648+324=1008.由對(duì)稱性可知，當(dāng)三人都使用B卷時(shí)，不同的排法種數(shù)也為1008.綜上，當(dāng)三人的試卷類型相同時(shí)，不同的座位安排方案種數(shù)為1008×2=2016.]9.BCD[二項(xiàng)式x-1x6展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(x)6-k·-1xk=(-1)kC6kx3-3k2(k=0，1，2，…，6二項(xiàng)式系數(shù)C6k(k=0，1，2，…，6)中最大的是C63，要求常數(shù)項(xiàng)，通項(xiàng)公式中應(yīng)滿足3-3k2=0，得k=2，即T3=(-1)2C62x0將x=1代入，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0，D正確.]10.BC[若P(AB)=0.18=P(A)P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立，無(wú)法確定，故A若A，B為互斥事件，則P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6+1-0.3=1.3>1，故A，B不可能為互斥事件，故B正確；若P(AB)=0.42=P(A)P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立，故C正確；若A，B相互獨(dú)立，則A，B相互獨(dú)立，所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58，