/吉林省白山市撫松縣2024_2025學年高二下冊開學考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．數列的一個通項公式為（

）A． B．C． D．2．拋物線的焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C． D．3．已知函數在處的導數，則（

）．A． B．1 C． D．4．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．設等差數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．6．已知是橢圓的左?右焦點，為上一點，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．47．《九章算術》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍，要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計），需要經過的時間最少為（

）A．3天 B．4天 C．5天 D．6天8．已知直線l：與雙曲線C：交于A，B兩點，點是弦AB的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，，成等比數列，則的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．10．已知為坐標原點，拋物線：的焦點為，準線為直線，直線與交于兩點，則下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離是4B．若的方程是，則的面積為3C．若的中點到直線的距離為3，則D．若點在直線上，則11．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，….該數列的特點是前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前鄰兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”.若記此數列為，有，，前n項和為，則下列對“斐波那契數列”的描述正確的是（

）A． B．該數列的前2024項中能被3整除的有507項C．是偶數 D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線AB是函數圖像的一條割線（如圖所示），是函數的導函數，若，，，則關于a，b，c排序正確的是．13．設為曲線上的點，且曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為.14．一條光線從點射出，與x軸相交于點，經x軸反射，反射光線所在的直線為l.若曲線上有且僅有兩個點到直線l的距離為1，則實數m的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知曲線方程為,求:(1)點處的切線方程(2)過點且與曲線相切的直線方程.16．已知等差數列滿足成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．17．如圖，在直三棱柱中，為的中點．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．已知數列的前n項和為，，且，數列滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的通項公式；(3)將數列中的項按從小到大的順序依次插入數列中，在任意的，之間插入項，從而構成一個新數列，若表示不超過x的最大整數，求.19．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，曲線的離心率為為上一點且.(1)求曲線和曲線的標準方程；(2)過的直線交曲線于兩點，若線段的中點為，且，求四邊形面積的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由符號來看，奇數項為負，偶數項為正，所以通項公式中應該含有，滿足，所以數列的一個通項公式可以為，其余選項不適合，故選B.2．【正確答案】B【詳解】由題意知該拋物線的焦點為，準線方程為，故焦點到準線的距離為2，故選B.3．【正確答案】D【詳解】根據題意，函數在處的導數為，而，故選D.4．【正確答案】C【詳解】令和的夾角為，則，則向量在向量上的投影向量為.故選C5．【正確答案】A【詳解】在等差數列中，成等差數列，則，設，則，故，解得，所以.故選A.6．【正確答案】A【詳解】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，所以.所以，所以（當且僅當時等號成立）.所以.即的最小值為1.故選A7．【正確答案】A【詳解】由題意，蒲第一天長高三尺，以后蒲每天長高前一天的一半，所以蒲生長長度構成首項為，公比為的等比數列，其前項和為，又由莞第一天長高一尺，每天長高前一天的兩倍，則莞生長長度構成首項為，公比為的等比數列，其前項和為，由題意得，即，則，令，則，，解得，即，又，，所以需要經過的時間最少為3天.故選.8．【正確答案】D【詳解】設，，可得，，兩式相減可得，點是弦AB的中點，且直線l：，可得，，，代入可得有，即，∴，，故雙曲線C的離心率為，經驗證此時直線與雙曲線有兩個交點.故選D.9．【正確答案】BD【詳解】根據題意可知：，所以，故選BD．10．【正確答案】BD【詳解】對于選項A，由題意可知拋物線的焦點為，準線的方程為，所以點到直線的距離是2，故A錯誤；對于選項B，由得，解得或，所以6，又與軸的交點為，所以，所以的面積為，故B正確；對于選項C，因為的中點到直線的距離為3，所以，即，所以，故C錯誤；對于選項D，設：，，，由得，，，，因為，所以，故D正確.故選BD.11．【正確答案】AD【詳解】對A選項：因為，即，所以，又，所以.故A正確；對B：因為“斐波那契數列”的前若干項依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它們除以3所得的余數為：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以發現余數是以1,1,2,0,2,2,1,0為周期的，在一個周期內有兩個能被3整除的數.又，所以該數列的前2024項中能被3整除的有個.故B不正確；對C：因為均為奇數，且奇數奇數為偶數，所以為偶數；因為奇數偶數為奇數，所以為奇數；…所以“斐波那契數列”中的項是“奇，奇，偶”規律出現的，又，所以為奇數，故C不正確；對D：因為…因為，所以.故D正確.故選AD12．【正確答案】a<c<b【詳解】由圖象知在上單調遞增，又過點和點的直線的斜率為，由導數的幾何意義，知為曲線在處的切線方程的斜率，為曲線在處的切線方程的斜率，如圖，得．13．【正確答案】【詳解】設，由傾斜角的取值范圍為可得切線斜率為，又由可得，因此可得，解得，因此點橫坐標的取值范圍為.14．【正確答案】【詳解】由題意知反射光線所在的直線經過點，設反射光線的所在直線的方程為，點，在直線方程上，，解得，反射光線的所在直線的方程為，即.曲線可化為，可得其圓心為，半徑,根據點到直線的距離公式可得點到的距離.因為圓上有且僅有兩個點到直線l的距離為1，所以或.15．【正確答案】(1).(2)或.【詳解】（1）設，則.又點在曲線上,∴.故所求切線的斜率,故所求切線的方程為,即.（2）因點不在曲線上,則設過點B直線與曲線相切時所對應的切點坐標為,由(1)知,故切線的斜率,則切線方程為.又∵點在切線上,∴解得或.∴切點坐標為,.故所求切線方程為或,即或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為數列為等差數列，則，即，又因為成等比數列，則，聯立方程，解得或，且，則，可知公差，所以數列的通項公式.（2）由（1）可得：，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：設，連接，在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又為的中點，所以.又平面，平面，所以直線平面.（2）在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，，又，所以以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，，，所以，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，令1，得，，所以平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18．【正確答案】(1)(2).(3)4【詳解】（1）由已知可得，當時，，，兩式相減得.又因為，所以，滿足上式，所以.又，所以是以4為首項，2為公比的等比數列，所以，即.（2）又因為，所以，所以.又，所以當時，，，，，，等式兩邊同時相乘，可得，所以.（3）設在100項中，來自數列中的有m項.若第100項來自，則應有，整理可得，該方程沒有正整數解，不滿足題