/山東省東明縣2024-2025學年高二下冊3月月考數(shù)學試卷注意事項：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可求得.【詳解】，因此，.故選：D.2.如圖，已知函數(shù)的圖象在點處的切線為1，則（）A. B. C.0 D.2【正確答案】C【分析】數(shù)形結(jié)合，求出切線斜率和切點坐標，即可計算.【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，，切線方程為，則切點坐標為，有，所以.故選：C.3.已知的一個極值點為2，則實數(shù)（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】求導，令，利用只有一個極值點，可得，求解即可.【詳解】，令0，得或，又的一個極值點為2，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出導數(shù)，利用導數(shù)大于0即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，即，解得：，所以增區(qū)間為.故選：A5.拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”為（）A.1 B.e C. D.【正確答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，列方程求解即可.【詳解】由可得，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，則，解得.故選：C6.已知上可導函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)原函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)符號之間的關(guān)系，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法運算求解.【詳解】由的圖像可得：x00對于可得：當時，則，∴，解得；當時，則，故，不合題意，舍去；當時，則，∴，解得；當時，則，故，不合題意，舍去；當時，則，∴，解得；綜上所述：不等式的解集為.故選：D.7.懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成外形如圖，在工程中（如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜）有廣泛的應用.當微積分尚未出現(xiàn)時，伽利略猜測這種形狀是拋物線，直到1691年萊布尼茲和伯努利利用微積分推導出懸鏈線的方程其中為參數(shù)．當時，我們可構(gòu)造出雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論錯誤的是（）A.是偶函數(shù)B.值域為C.曲線上任意一點切線的斜率均大于0D.曲線上任意一點函數(shù)值的平方與該點切線斜率的平方之差均為1【正確答案】C【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分析判斷；對于B：求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得值域；對于C：取特值，結(jié)合導數(shù)的幾何意義分析判斷；對于D：根據(jù)原函數(shù)與導函數(shù)的解析式分析判斷.【詳解】因為的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，故A正確；由題意可知：，因為與在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，且，令，可得；令，可得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的最小值為，當趨近于，趨近于，所以值域為，故B正確；因為，可知曲線在處切線的斜率為0，故C錯誤；因為，所以曲線上任意一點函數(shù)值的平方與該點切線斜率的平方之差均為1，故D正確；故選：C.8.已知函數(shù)，若當時，恒成立，則a的最小值為（）A. B. C.0 D.1【正確答案】B【分析】由題意可得是函數(shù)在上的一個極小值點，則，從而可得，代入函數(shù)解析式，由恒成立分析可得在時恒成立，進而可得a的取值范圍，可得a的最小值．【詳解】，因為，所以是函數(shù)的一個零點，，因為當時，恒成立，且，所以是函數(shù)在上的一個極小值點，則，即，所以，則，因為當時，恒成立，恒成立，所以在時恒成立，即在時恒成立，令，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則a的最小值為故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則（）A.有個極值點B.是的極大值點C.是極大值點D.在上單調(diào)遞增【正確答案】ABD【分析】根據(jù)圖象判斷出的符號，由此確定正確答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間，單調(diào)遞減.所以有個極值點、是的極大值點、在上單調(diào)遞增，是的極小值點，所以ABD選項正確，C選項錯誤.故選：ABD10.設(shè)函數(shù)，則（）A.的極大值為0 B.在上單調(diào)遞增C.當時， D.的解集為【正確答案】AC【分析】根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性判斷B，再根據(jù)極值計算判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合正弦值的范圍判斷C，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合特殊值計算判斷D.【詳解】因為函數(shù)，則，所以當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,B選項錯誤；的極大值為，A選項正確；當時，則，所以，又因為當單調(diào)遞減；所以，C選項正確；因為函數(shù)，所以，又因為當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；所以可得或，解集為，D選項錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.若是的極小值點，則在上單調(diào)遞減B.若是的極大值點，則且C.若，且的極小值大于0，則的取值范圍為D.若，且在上的值域為，則的取值范圍為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)三次函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合極值點的定義即可求解A，根據(jù)，即可結(jié)合極值點定義求解吧，根據(jù)即可得方程的一個零點為0，結(jié)合極值，即可分類求解C，利用導數(shù)，即可求解D.【詳解】,若是的極小值點,則，故有兩個不相等的實數(shù)根，因此函數(shù)既有極大值也有極小值，故由三次函數(shù)的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側(cè)，在上不單調(diào)，A錯誤.，若是的極大值點，則，所以.若沒有極值點.的解為.因為是的極大值點，所以，即B正確.若，則.因為的極小值大于0，所以只有一個零點，且的極大值點與極小值點均大于0，所以方程無實數(shù)根，且方程的2個實數(shù)根均大于0，所以解得，C正確.若，則.令，若，即單調(diào)遞增，符合題意.由，解得或，此時的2個解為.當時，，所以在上單調(diào)遞減，即當，時，，不符合題意.當時，，所以在上的最大值為，且，不符合題意.綜上，若，且在上的值域為，則的取值范圍為，D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點處的切線的斜率為______．【正確答案】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率.【詳解】由，求導得，則，所以所求切線的斜率為2.故2.13.函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是______.【正確答案】【分析】因為函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以可利用導數(shù)恒大于或等于零來研究參數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)求導得：，因為函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，所以，即，又由，則，解得，故答案為.14.已知，若僅有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合導數(shù)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此，且，如下圖所示：，當時，，所以不等式的解集為：或，因為，所以無整數(shù)解，因此，要想僅有3個整數(shù)解，只需；當時，，不等式化為：，顯然成立，有無數(shù)多個整數(shù)解，不符合題意，當時，，所以不等式的解集為：或，顯然有無數(shù)個整數(shù)解，綜上所述：，故關(guān)鍵點睛：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合分類討論和數(shù)形結(jié)合思想進行求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為.（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）求函數(shù)在上最大值、最小值.【正確答案】（1）（2）答案見詳解（3）【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合導數(shù)的幾何意義可知，列式求解即可；（2）求導利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.（3）利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值結(jié)合邊界函數(shù)值判斷即可.【小問1詳解】由題意可知：，則因為曲線在處的切線方程為，則，即，解得.【小問2詳解】因為，當時，；當時，；可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，的極大值為，的極小值為.【小問3詳解】函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)在上的最大值,最小值.16.已知函數(shù)在處有極大值.（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意題干中的函數(shù)進行求導，根據(jù)極值與導數(shù)的關(guān)系建立方程，分別檢驗解得的根，可得答案；（2）由（1）明確函數(shù)解析式，利用導數(shù)求得其極值與單調(diào)性，并作圖，根據(jù)零點定義，將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，可得答案.【小問1詳解】由函數(shù)，求導可得，由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，當時，可得，易知當時，；當時，，則此時函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；當時，可得，易知當時，；當時，，則此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意.綜上所述，.【小問2詳解】由（1）可得函數(shù)，求導可得，令，解得或，可得下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為，函數(shù)存在三個零點，等價于函數(shù)圖象與直線存在三個交點，如下圖：由圖可得，則.17.已知為實數(shù)，函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的最小值.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）對求導，得到，再分和兩種情況，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用（1）中結(jié)果得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而求出的最小值，即可求解.【小問1詳解】易知，因為，所以，當時，恒成立，此時在上單調(diào)遞增，當時，由，得到，當時，，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，時，在上單調(diào)遞增，時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】因為當時，時，，由（1）知，要使對任意的恒成立，則，且恒成立，即恒成立，得到，所以，令，則，由，得到，當時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故的最小值為.18.設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導函數(shù)為，且在D上存在導函數(shù)（其中）．定義：若區(qū)間D上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為凸函數(shù)．（1）若函數(shù)，判斷在區(qū)間上是否為凸函數(shù)，說明理由；（2）若函數(shù)．（ⅰ）若在上為“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；（ⅱ）若，判斷在區(qū)間上的零點個數(shù)．【正確答案】（1）為凸函數(shù)，理由見解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）利用凸函數(shù)的定義即可判斷，（2）（ⅰ）利用凸函數(shù)的定義將問題轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問題，（ⅱ）利用導數(shù)先求出函數(shù)的二階導數(shù)，得到在區(qū)間上先增后減，再根據(jù)零點存在定理即可得到零點個數(shù).【小問1詳解】∴，，∴，因為，∴，∴在區(qū)間上為凸函數(shù)．【小問2詳解】（ⅰ）由可得其定義域為R，且，所以，若在上為“凸函數(shù)”可得在恒成立，當時，顯然符合題意；當時，需滿足，可得，綜上可得a的取值范圍為；（ⅱ）若，可得，所以，令，則；易知在區(qū)間上恒成立，因此可得在上單調(diào)遞減；顯然，根據(jù)零點存在定理可得存在使得，當時，，即在上為單調(diào)遞減，當時，，即在上為單調(diào)遞增；又，顯然在上不存在零點；而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個零點；綜上可知，在區(qū)間上僅有1個零點．19.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（i）求的最小值；（ii）若關(guān)于x的方程有兩個根，，證明.【正確答案】（1）答案見解析（2）（i）1；（ii）證明見解析【分析】（1）對求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論的取值范圍即可得解；（2）（i）利用導數(shù)的幾何意義求得，進而利用隱零點，結(jié)合導數(shù)求得的最值，從而得解；（ii）根據(jù)題意，利用極值點偏移的解決技巧，將問題轉(zhuǎn)化為證恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可得解.【小問1詳解】因為，則，若，則當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】（i）函數(shù)的定義域為，則，則，因為函數(shù)的圖象在的切線方程為，所以，則，所以，因為，所以，令，則，