2026版步步高大一輪高考數學復習110練第二章§2.3函數的奇偶性§2.3函數的奇偶性分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.下列函數中，既是奇函數，又在區間(0，+∞)上單調遞減的是()A.y=|x| B.y=x3C.y=x2 D.y=-3x2.若偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，+∞)時，f(x)單調遞增，則f(-7)，f(π)，f(-3)的大小關系是()A.f(π)>f(-3)>f(-7)B.f(π)>f(-7)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-7)D.f(π)<f(-7)<f(-3)3.(2025·泰州模擬)已知函數f(x)=eaxsinx1+eA.-1 B.0 C.12 4.已知函數f(x)=x+asinx+2，且f(m)=5，則f(-m)等于()A.-5 B.-3 C.-1 D.35.(2025·安徽皖南八校模擬)已知函數f(x)的定義域為R，y=f(x)+ex是偶函數，y=f(x)-3ex是奇函數，則f(ln3)的值為()A.73 B.3 C.103 6.(2024·阜陽模擬)若函數f(x)=m(ex-e-x)+nln(x+x2+1)+1(m，n為常數)在[1，3]上有最大值7，則函數f(A.有最小值-5 B.有最大值5C.有最大值6 D.有最小值-7二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2025·六安模擬)下列函數中，既是偶函數，又在區間(0，+∞)上單調遞增的是()A.y=ln|x| B.y=|lnx|C.y=x-2 D.y=ex+e-x8.定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當x<0時，f(x)>0，則函數f(x)滿足()A.f(0)=0B.y=f(x)為偶函數C.f(x)在R上單調遞增D.f(x-1)+f(x2-1)>0的解集為{x|-2<x<1}三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知函數f(x)=x3+3x，若f(a)+f(a-6)=0，則實數a=10.已知下列五個函數y1=x，y2=1x，y3=x2，y4=lnx，y5=ex，從中選出兩個函數分別記為f(x)和g(x)，若F(x)=f(x)+g(x)的圖象如圖所示，則F(x)=四、解答題(共28分)11.(13分)已知f(x)為R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x2-2x.(1)求f(x)的解析式；(6分)(2)求不等式xf(x)≥0的解集.(7分)12.(15分)函數f(x)和g(x)具有如下性質：①定義域均為R；②f(x)為奇函數，g(x)為偶函數；③f(x)+g(x)=ex(常數e是自然對數的底數).(1)求函數f(x)和g(x)的解析式；(6分)(2)對任意實數x，[g(x)]2-[f(x)]2是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.(9分)每小題5分，共10分13.(2024·新課標全國Ⅱ)設函數f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax.當x∈(-1，1)時，曲線y=f(x)和y=g(x)恰有一個交點，則a等于()A.-1 B.12 C.1 14.若函數f(x)=log4(24x+1)+(x+a)2滿足f(|x|)+|x|=f(x)+x，則a=.

答案精析1.D2.A3.C[∵f(x)為奇函數，∴f(-x)=-f(x)，∴e-axsin(-即e-ax1+e-x=e即x-ax=ax，解得a=124.C[令g(x)=x+asinx，則g(x)為奇函數，故g(m)+g(-m)=0，又g(m)=f(m)-2=3，所以g(-m)=f(-m)-2=-3，所以f(-m)=-1.]5.D[因為函數y=f(x)+ex為偶函數，則f(-x)+e-x=f(x)+ex，即f(x)-f(-x)=e-x-ex，①又因為函數y=f(x)-3ex為奇函數，則f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex，即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x，②聯立①②可得f(x)=ex+2e-x，所以f(ln3)=eln3+2e-ln3=1136.A[設g(x)=f(x)-1=m(ex-e-x)+nln(x+x2因為x2+1>x2=|所以x+x2+1>0恒成立，所以g(x)的定義域為又g(-x)=m(e-x-ex)+nln(-x+x2=-m(ex-e-x)+nln1=-[m(ex-e-x)+nln(x+x2=-g(x)，所以g(x)是奇函數，因為f(x)在[1，3]上有最大值7，所以g(x)在[1，3]上有最大值6，所以g(x)在[-3，-1]上有最小值-6，所以f(x)在[-3，-1]上有最小值-5.]7.AD[A選項，設f(x)=ln|x|，其定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，且f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)，故f(x)=ln|x|為偶函數，且當x∈(0，+∞)時，y=lnx單調遞增，故A正確；B選項，y=|lnx|的定義域為(0，+∞)，定義域不關于原點對稱，不是偶函數，故B錯誤；C選項，當x∈(0，+∞)時，y=x-2單調遞減，故C錯誤；D選項，設g(x)=ex+e-x，其定義域為R，且g(-x)=e-x+ex=g(x)，故g(x)=ex+e-x是偶函數，且當x∈(0，+∞)時，g'(x)=ex-e-x>0，函數單調遞增，故D正確.]8.AD[由題意，定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，對于A，令x=y=0，則f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0，故A正確；對于B，令y=-x，則f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以y=f(x)為奇函數，故B錯誤；對于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，因為x1<x2，所以x1-x2<0，所以f(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數f(x)在R上單調遞減，故C錯誤；對于D，由f(x-1)+f(x2-1)>0，可得f(x-1)>-f(x2-1)=f(1-x2)，又函數f(x)在R上單調遞減，所以x-1<1-x2，解得-2<x<1，所以f(x-1)+f(x2-1)>0的解集為{x|-2<x<1}，故D正確.]9.3解析因為f(x)=x3+3x，定義域為R所以f(-x)=-x3-3x=-f(x)，即f(x因為f(x)=x3+3x在R若f(a)+f(a-6)=0，則f(a)=-f(a-6)=f(6-a)，所以a=6-a，即a=3.10.1x+x解析由圖可知，F(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，可知F(x)一定包含y2=1x這一函數，且一定不包含y4=lnx又函數F(x)不是奇函數，所以F(x)=1x+x不成立，所以只有兩種可能：F(x)=1x+x2或F(x)=1x若F(x)=1x+ex當x→-∞時，1x→0，ex→0所以F(x)=1x+ex→0故F(x)=1x+ex若F(x)=1x+x2當x∈(-∞，0)時，1x單調遞減，x2單調遞減，所以F(x)在(-∞，0當x∈(0，+∞)時，F'(x)=-1x2+2x=令F'(x)=0，得x=34令F'(x)>0，得x>34令F'(x)<0，得0<x<34所以F(x)=1x+x2在0，34故F(x)=1x+x211.解(1)因為函數f(x)為R上的奇函數，當x<0時，-x>0，則f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x，又因為f(0)=0滿足f(x)=x2-2x，故f(x)=-(2)當x≥0時，xf(x)=x(x2-2x)≥0，可得x2-2x≥0，解得x≤0或x≥2，此時x=0或x≥2；當x<0時，xf(x)=x(-x2-2x)=-x(x2+2x)≥0，可得x2+2x≥0，解得x≤-2或x≥0，此時x≤-2.綜上所述，原不等式的解集為(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞).12.解(1)由性質③f(x)+g(x)=ex，則f(-x)+g(-x)=e-x，由性質②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x.則f解得f(x)=exg(x)=ex(2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2=ex+=e2x+e故對任意實數x，[g(x)]2-[f(x)]2為定值，定值為1.13.D[方法一令f(x)=g(x)，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cosx，原題意等價于當x∈(-1，1)時，曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個交點，注意到F(x)，G(x)均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，可得F(0)=G(0)，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1-cosx=0，因為x∈(-1，1)，則2x2≥0，1-cosx≥0，當且僅當x=0時，等號成立，可得2x2+1-cosx≥0，當且僅當x=0時，等號成立，則方程2x2+1-cosx=0有且僅有一個實根0，即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個交點，所以a=2符合題意.方法二令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx，x∈(-1，1)，原題意等價于h(x)有且僅有一個零點，因為h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x)，則h(x)為偶函數，根據偶函數的對稱性可知h(x)的零點只能為0，即h(0)=a-2=0，解得a=2，若a=2，則h(x)=2x2+1-cosx，x∈(-1，1)，又因為2x2≥0，1-cosx≥0，當且僅當x=0時，等號成立，可得h(x)≥0，當且僅當x=0時，等號成立，即h(x)有且僅有一個零點0，所以a=2符合題意.]14.-1解析函數f(x)滿足f(|x|)+|x|=f(x)+x，則y=f(x)+x是偶函數，所以f(x)-f(-x)+2x=0，即log424x+12-4x+1+(4a+2)x=2x+(4a+2分值：80分一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，則f(2026)等于()A.-1 B.0 C.1 D.22.函數y=-ex與y=e-x的圖象()A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱C.關于原點對稱 D.關于直線y=x對稱3.若函數y=f(x)與函數y=2x+1-1的圖象關于直線x=2對稱，則f(4)的值為()A.1 B.-1 C.2 D.-24.(2024·茂名模擬)函數y=f(x)和y=f(x-2)均為R上的奇函數，若f(-1)=-2，則f(2025)等于()A.-2 B.-1 C.0 D.2二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.已知函數f(x)(x∈R)的導函數為f'(x)，且滿足f(x)-f(2-x)=0，則下列說法正確的是()A.函數f(x)的圖象關于點(1，1)對稱B.函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱C.函數f'(x)的圖象關于直線x=1對稱D.函數f'(x)的圖象關于點(1，0)對稱6.(2025·漳州質檢)已知定義在R上的函數f(x)不恒等于0，f(π)=0，且對任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，則()A.f(0)=1B.f(x)是偶函數C.f(x)的圖象關于點(π，0)中心對稱D.2π是f(x)的一個周期三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·龍巖模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)在(-∞，2]上單調遞減，則不等式f(2x+3)≤f(1)的解集為.

8.(2025·八省聯考)已知曲線C：y=x3-2x，兩條直線l1，l2均過坐標原點O，l1和C交于M，N兩點，l2和C交于P，Q兩點.若△OPM的面積為2，則△MNQ的面積為四、解答題(共28分)9.(13分)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱.(1)證明：f(x)是周期函數；(6分)(2)若當x∈[-2，2]時，f(x)=-x2+1，求當x∈[2，6]時，f(x)的解析式.(7分)10.(15分)函數y=f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.(1)若f(x)=x3-3x2，求此函數圖象的對稱中心；(9分)(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論.(6分)每小題5分，共10分11.已知函數f(x)的定義域為R，fx+12為偶函數，f(2-x)+f(x)=0，f13=-1A.12 B.13 C.0 12.已知函數f(x)的定義域為R，f(x-2)為偶函數，f(x-3)+f(-x+1)=0，當x∈[-1，0]時，f(x)=x+1，則19Σk=1f(A.19 B.0 C.1 D.-1答案精析1.B2.C3.A4.D[因為y=f(x-2)為奇函數，f(x-2)=-f(-x-2)，所以y=f(x)的圖象關于點(-2，0)對稱，即f(-x)+f(x-4)=0，又y=f(x)的圖象關于原點對稱，則f(-x)=-f(x)，有f(x)=f(x-4)?f(x+4)=f(x)，所以y=f(x)的一個周期為4，故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=-f(-1)=2.]5.BD[由f(x)-f(2-x)=0，可知函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱.對f(x)-f(2-x)=0求導，得f'(x)+f'(2-x)=0，則函數f'(x)的圖象關于點(1，0)對稱，所以A，C錯誤，B，D正確.]6.ABC[對于A，根據題意令x=y，則由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等于0，則f(0)=1，即A正確；對于B，令y=-x，可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)，即對任意的x∈R滿足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函數，所以B正確；對于C，令x+y=π，則由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0，即f(x)滿足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的圖象關于點(π，0)中心對稱，即C正確；對于D，由于f(x)是偶函數，所以滿足f(x-2π)+f(x)=0，即f(x)+f(x+2π)=0，可得f(x-2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π是f(x)的一個周期，即D錯誤.]7.[-1，0]解析因為函數f(x)滿足f(2+x)=f(2-x)，則f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又因為f(x)在(-∞，2]上單調遞減，則f(x)在[2，+∞)上單調遞增，則由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|，即|2x+1|≤1，解得-1≤x≤0，則不等式的解集為[-1，0].8.22解析因為函數y=x3-2x為奇函數,所以曲線C的圖象關于原點對稱,又兩條直線l1和l2均過坐標原點O,則P,Q關于原點對稱,M,N關于原點對稱,則四邊形PNQM為平行四邊形又S△OPM=2,則S△MNQ=22.9.(1)證明因為函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，所以f(x+2)=f(2-x)，即有f(-x)=f(x+4)，又函數f(x)是定義在R上的偶函數，有f(-x)=f(x)，所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數.(2)解當x∈[-2，2]時，f(x)=-x2+1，又f(x)是周期為4的周期函數，當x∈[2，6]時，x-4∈[-2，2]，所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].10.解(1)設函數f(x)=x3-3x2的圖象的對稱中心為點P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，則g(x)為奇函數，故g(-x)=-g(x)，故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，即f(-x+a)+f(x+a)=2b，即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，故3a-3=0，所以函