/江蘇省揚州市2024_2025學年高二下冊期中考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若，，則（）A． B．C． D．2．已知函數，則（）A．0 B． C．1 D．3．的展開式中第3項的二項式系數是（

）A． B． C． D．4．從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中不放回地抽取兩次，每次抽取1張，則在第一次抽到的卡片所標數字為奇數的條件下，第二次抽到的卡片所標數字仍為奇數的概率為（）A． B． C． D．5．從4名男同學、3名女同學中選3名同學組成一支志愿者小隊，要求男、女都有，則不同的組隊方案共有（

）A．60種 B．50種 C．40種 D．30種6．在平行六面體中，，．取棱的中點M，則（）A． B．C． D．7．已知函數的定義域為，，若對任意，都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．在的展開式中，的系數為（

）.A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如下圖是的導函數的圖象，則下列說法正確的是（）A．在區間上單調遞增B．是的極小值點；C．在區間上單調遞增，在區間上單調遞減D．在處取最大值10．若，則下列正確的是（）A．B．C．D．11．已知正方體的棱長為1，動點P滿足（，，），下列說法正確的是（

）A．當時，B．當，，時，則P到平面的距離的最小值是C．當，時，的最小值為D．當，且時，則P的軌跡總長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若，則的值為．13．將甲乙丙丁戊五個同學分配到三個城市參加活動，每個城市至少去一人，共有種不同分配方法．14．的兩個極值點滿足，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在二項式的展開式中前3項的二項式系數和為16，(1)求展開式中所有項的二項式系數的和．(2)求含的項的系數．16．現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)4名男學生互不相鄰；(2)2名老師之間恰有1名男學生和1名女學生．17．已知函數，，其中為自然對數的底數．(1)若為的極值點，求的單調區間和最大值；(2)若函數的最大值為，求實數的值．18．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，平面，，點為的中點．(1)求證：平面平面；(2)二面角的大小；(3)線段上是否存在點，使得直線與平面所成夾角為．若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．19．已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求實數的取值范圍；(3)若，判斷在上的零點個數并說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】若，，則.故選D.2．【正確答案】A【詳解】因為，所以，所以.故選A.3．【正確答案】A【詳解】由二項式展開式的通項為，可得的展開式中第3項的二項式系數是.故選A.4．【正確答案】C【詳解】記“第一次抽到的卡片所標數字為奇數”，“第二次抽到的卡片所標數字為奇數”，由題意得，，所以．故選C.5．【正確答案】D【詳解】根據題意，分2種情況討論：①選出的3人為2男1女，有種選法；②選出的3人為1男2女，有種選法；所以一共有種選法.故選D.6．【正確答案】B【詳解】取的中點，連接，由圖形可得，所以，所以.故選B.7．【正確答案】B【詳解】令，則，因為，所以，所以，即在上單調遞增，又，所以，故當時，，即，整理得，兩邊同除以，即可得，所以當且僅當時，，所以的解集為.故選B.8．【正確答案】A【詳解】由題可得的系數為:.故選A.9．【正確答案】BC【詳解】由導函數的圖象可知，當時，當時，當時，當時，所以在區間上單調遞減，故A錯誤；在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，上單調遞增，在和處取得極小值，故B、C正確；因為在區間上單調遞增，處取得極大值，在處的函數值小于在處的函數值，故D錯誤.故選BC．10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，令，則，故A錯誤；對于B，令，則，故B正確；對于C，令，則，故C正確；對于D，令，則，對等式兩側同時求導函數得，令得，，所以，故D正確.故選BCD.11．【正確答案】ACD【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則因為，∴對于A，當時，，此時,，，得，，所以直線與平面垂直，故A正確；對于B，由選項A知，向量也是平面的一個法向量，當，，時，，，則點到平面的距離，所以P到平面的距離的最小值是，故B不正確；對于C，當，時，，，故，故令，則如圖所示，，顯然當三點共線時，取得最小值，最小值為，當且僅當，即時，等號成立，此時則的最小值為，故C正確；對于D，當時，可得四點共面，所以點的軌跡在內（包括邊界），設點在平面內的投影為點，因為，所以點是的中心，，平面的一個法向量為，所以點到平面的距離，若，則，即點落在以為圓心，為半徑的圓上，點到三邊的距離為，

此時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度為，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】/【詳解】由可得，即，解得.13．【正確答案】【詳解】分配到三個城市參加活動，每個城市至少去一人，則先把5人按分組，有種分組方法，按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數為，再把每一種分組安排到三個城市，有種方法，所以不同分配方法種數是.14．【正確答案】【詳解】由函數，，則，因為函數兩個極值點，則①，②，得③，設，則且，代入③得，設，則，設，則，在單調遞減，，從而，在單調遞減，，故的最小值為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為二項式的展開式中前3項的二項式系數和為16，所以，即，解得，或(舍去)，展開式中所有項的二項式系數的和為.（2）的通項公式為，令，解得，所以含的項的系數為.16．【正確答案】(1)2880(2)3840【詳解】（1）先排老師和女學生共有種站法，再將男生插入到五個空中，有種，所以共有種不同的站法．（2）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，有種站法，兩老師的站法有種，再將一男學生一女學生兩位老師進行捆綁與剩余的4個人進行全排列有種，所以共有種不同的站法．17．【正確答案】(1)函數在上單調遞增，在函數在上單調遞減，最大值為(2)【詳解】（1）因為，，所以，由，得，解得，所以，令，又，解得，令，又，解得，所以函數在上單調遞增，在函數在上單調遞減，的極大值為，也即的最大值為.（2）因為，所以①當時，在上單調遞增，所以的最大值是，解得（舍去）；②當時，由，得，當，即時，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，又函數的最大值為，所以，解得，當，即時，在上單調遞增，所以，解得，舍去.綜上，存在符合題意.18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)不存在，理由見詳解.【詳解】（1）連接與交于點，連接，底面為菱形，點為的中點，點為的中點，，又平面，平面，又平面，平面平面.（2）平面，且底面為菱形，兩兩垂直.以為原點，分別以向量方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，底面為菱形，且，則為等邊三角形，，，分別為的中點，，則，則，設平面的一個法向量為，則有，即，令，則，底面為菱形，，平面平面，且平面平面平面，平面，為平面的一個法向量，設二面角大小為，則由圖可得，．二面角的大小為；（3）不存在，理由如下：點在線段上，設，由可得，則，則，則，由題意，若直線與平面所成夾角為，則，整理得，解出又，不符合題意，故線段上不存在這樣的點．【方法總結】向量法求二面角的求法：首先求出兩個平面的法向量，再代入公式cosα＝±(其中分別是兩個平面的法向量，α是二面角的平面角)求解(注意通過觀察二面角的大小選擇“±”)．19．【正確答案】(1)(2)(3)當時，函數在上的零點個數為1【詳解】（1）當時，，則，，所以在點處的切線方程為，即（2）因為，且，由，得，當時，在上恒成立，所以在單調遞增，恒成立，當時，，又因為，所以，則當時，,記，則時，，單調遞減，，與恒成立不符，綜上所述，恒成立，實數的取值范圍