/上海市2024_2025學年高三下冊3月月考數學試卷一、填空題（本大題共12小題）1．設集合，，則．2．已知等差數列的公差為1，為其前n項和，若，則＝．3．已知為銳角,若，則.4．已知正實數a、b滿足，則的最小值等于．5．在二項展開式中，常數項是.6．已知正三棱錐的側面與底面所成二面角為，且，則側棱和底面所成角的正切值為.7．已知復數滿足，則的最大值為8．點為圓上的一個動點，點，則在方向上的數量投影的最大值為.9．某校組織為偏遠鄉村小學送書籍的志愿活動，運送的卡車共裝有10個紙箱，其中6箱數學書，4箱語文書.到目的地時發現丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現從剩下9箱中任意打開2桶，則剛好都是數學書的概率為.10．已知點是雙曲線左支上一點，是雙曲線的左右焦點，且雙曲線的一條漸近線恰是線段的中垂線，則該雙曲線的離心率是.11．已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為.12．已知數列滿足，其首項，若數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是.二、單選題（本大題共4小題）13．設為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則14．投擲一枚均勻的骰子，事件:點數大于2;事件:點數小于4;事件:點數為偶數.則下列關于事件描述正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是對立事件C．與是獨立事件 D．與是獨立事件15．設，若函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．16．直線(，不全為)與圓有公共點，且公共點的橫、縱坐標均為整數，那么這樣的直線有（

）A．60條 B．66條 C．72條 D．78條三、解答題（本大題共5小題）17．在中，分別是角的對邊.若.(1)求的值；(2)求邊長的值.18．如圖，在多面體中，底面是邊長為的等邊三角形，三條側棱都垂直于底面，且三條側棱長.(1)求二面角的大小；(2)求多面體的體積.19．某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成.規定：至少正確完成其中道題便可通過面試.已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且兩位應聘者每題正確完成與否互不影響.(1)求甲正確完成面試題數的分布列及其期望；(2)求乙正確完成面試題數的分布列及其方差；(3)試問:甲和乙誰通過面試的可能性更大?并說明理由.20．已知拋物線的焦點為，若△的三個頂點都在拋物線上，且，則稱該三角形為“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中兩個頂點的坐標分別為和？請說明理由；（2）設“核心三角形”的一邊所在直線的斜率為4，求直線的方程；（3）已知△是“核心三角形”，證明：點的橫坐標小于2.21．定義：集合存在實數，滿足對任意的，都有恒成立；集合在上是嚴格遞增函數）.(1)若函數，求實數的取值范圍；(2)已知函數，假設，且，試判斷的符號，并證明：；(3)若對任意函數，滿足恒成立，求實數的取值范圍

答案1．【正確答案】【詳解】由，得或，又，所以.2．【正確答案】2【詳解】依題意.3．【正確答案】【詳解】因為為銳角，所以，又，所以，所以，，所以.4．【正確答案】4【詳解】，當，即，時等號成立，則的最小值為4．5．【正確答案】60【詳解】展開式的通項公式是，當時，.6．【正確答案】【詳解】如圖，設的中心為，連接、并延長交于點，連接，因為為正三棱錐，所以平面，為的中點，，又，所以，又，所以為側面與底面所成二面角的平面角，即，又平面，所以為側棱與底面所成的角，所以，即側棱和底面所成角的正切值為.7．【正確答案】7【詳解】如圖：因為復數滿足，所以復數對應的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上.又表示點到點的距離.結合圖形可知，當，，三點共線，且，在點兩側時，最大，此時.所以.8．【正確答案】【詳解】因為點為圓上的一個動點，所以設點，則,又，所以，，所以在方向上的數量投影為，又，所以在方向上的數量投影的取值范圍為，即在方向上的數量投影的最大值為.9．【正確答案】【詳解】設事件表示丟失一箱后任取兩箱都是數學書，事件表示丟失的一箱為分別表示數學書、語文書．由全概率公式得.10．【正確答案】【詳解】由題：雙曲線的一條漸近線恰是線段的中垂線，O是的中點，所以漸近線與平行，所以，，所以，又所以，所以，離心率.11．【正確答案】【詳解】由恒成立，即，對恒成立，整理得，對恒成立，令，易知在上單調遞增，則上式為，則，即，整理得，對恒成立，令，則，可得，，單調遞增，，，單調遞減，則，所以.12．【正確答案】【詳解】由題意得，則，即，當時，解得或；當時，不等式無解；又因為，所以即，又，所以即；又因為，易得所以，，解得或利用對勾函數性質可知，函數在上滿足恒成立，所以實數的取值范圍為.13．【正確答案】B【詳解】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內.【考點定位】點線面的位置關系14．【正確答案】C【詳解】依題意事件，事件，事件，所以與不是互斥事件，顯然不可能是對立事件，故A、B錯誤；因為，所以，又，，所以，所以與是獨立事件，故C正確；因為，所以，又，所以，所以與不是獨立事件，故D錯誤；故選C15．【正確答案】A【詳解】因為，由圖可知當時，當時，所以，，又，由圖象可知，函數有兩個極值點，并且函數是先增后減再增，所以極大值點小于極小值點，所以有兩個零點，不妨設為，則，，且，所以導函數的圖象如下圖所示：

所以，，則，所以，，，.故選A16．【正確答案】C【詳解】因為上的整點有12個：、、，符合題意的直線可能同時經過上述個整點中的個點或者為圓上過上述個整點中的個點的切線，再排除掉其中經過坐標原點的條，即得答案為，故選C.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理，，，可得，因為，所以，即，顯然，解得．（2）在中，由余弦定理，得，解得或,當時，又，所以，又，，所以，則，與矛盾，所以舍去；所以．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意建立如下所示空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的法向量為，則，取，又平面的一個法向量可以為，設二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以，所以，所以二面角的大小為；（2）依題意將多面體補形為三棱柱，則多面體的體積為三棱柱減去四棱錐的體積，取的中點，連接，則，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，，所以，又，所以.19．【正確答案】(1)分布列見解析；(2)分布列見解析；(3)甲通過面試的可能性更大；理由見解析【詳解】（1）甲正確完成試題數的可能取值為，，，，，，所以甲正確完成面試題數的分布列為：.（2）乙正確完成面試題數的可能取值為：，，，，，，，所以乙正確完成面試題數的分布列為：所以，.（3）因為，，所以，所以甲通過面試的可能性大.20．【正確答案】（1）不存在，理由見解析.（2）.（3）證明見解析【詳解】（1）由于，即，即，所以第三個頂點的坐標為，

但點不在拋物線上，∴這樣的“核心三角形”不存在.（2）設直線的方程為，與聯立并化簡得：設，，，，，由（1）得，即，所以由得：，，代入方程，解得：，∴直線的方程為.（3）設直線的方程為，與聯立并化簡得：，∵直線與拋物線相交，∴判別式，即.，∴，由，得，即點的坐標為，

又∵點在拋物線上，∴，得，∵，即，∴，∴點的橫坐標.21．【正確答案】(1)(2)，證明見解析(3)【詳解】（1）由題意可得在嚴格單調遞增，∴當時，恒成立，即恒成立，∴，，設，易知當時，，∴，，∴若函數，則實數的取值范圍是.（2）由題意可得，在上是嚴格遞增函數，∵，∴，即，又∵，∴，∴，又∵，∴，，∴.證明如下：∵，∴，又∵在上是嚴格遞增函數，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即得證.（3）依題意，任意的，恒成立并且在嚴格單調遞增；當時，此時，由于，當時，，故，不符合嚴格單調增題意；故存在使得；先說明函數沒有零點：若恒成立，則，不符合嚴格單調增