/吉林省普通高中2023?2024學年高一下冊7月期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知為虛數單位，若，則復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若樣本數據的方差為，則的方差為（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的是（

）A．同時發生的概率一定比中恰有一個發生的概率小B．若，則事件與是對立事件C．當不互斥時，可由公式計算的概率D．某事件發生的概率是隨著實驗次數的變化而變化的4．已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則5．已知圓錐的底面半徑為，體積為，則該圓錐內切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知向量與向量夾角為，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．四名同學各投骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，根據四名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有出現點數的是（

）A．平均數為，極差為 B．中位數為，眾數為C．平均數為，方差為 D．平均數為，中位數為8．費馬點是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構成的三個角都為.如圖，已知和都是正三角形，，，且三點共線，設點是內的任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復數（為虛數單位），則下列結論正確的是（

）A．的虛部為 B．的共軛復數為C． D．10．某學校為了解同學們某天上學的交通方式，在高一年級開展了隨機調查，將學生某天上學的交通方式歸為四類：A為家人接送，B為乘坐地鐵，C為乘坐公交，D為其他方式，學校把收集到的數據整理繪制成條形圖和扇形圖，如圖只給出了其中部分信息，根據圖中信息，下列說法正確的是（

）A．若該校高一年級有學生2000人，則高一年級約有1200人乘坐公共交通工具上學B．估計該校高一年級有的學生某天家人接送上學C．扇形圖中的占比為D．估計該校學生上學交通方式為乘坐地鐵或者其他方式的人數占全校學生的一半11．在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則下列結論中正確的是（

）A．B．異面直線與所成角的取值范圍為C．的最小值為D．當是的中點時，過三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為.13．已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為.14．某工廠的三個車間生產同一種產品，三個車間的產量分布如圖所示，現在用分層隨機抽樣方法從三個車間生產的該產品中，共抽取60件做使用壽命的測試，則C車間應抽取的件數為；若A，B，C三個車間產品的平均壽命分別為220，240，230小時，方差分別為20，20，30，則總樣本的方差為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復數是一元二次方程（）的根.(1)求的值；(2)若復數（其中）為純虛數，求復數的模.16．已知是夾角為的兩個單位向量，，（）.(1)若可以作為一組基底，求實數的取值范圍；(2)若垂直，求實數的值；(3)求的最小值.17．2024年全國城市節約用水宣傳主題為“推進城市節水，建設美麗城市”．某市為了鼓勵居民節約用水，減少水資源的浪費，計劃在全市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準x（單位：噸），月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費，且該市政府希望有的居民月用水量不超過標準x噸．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了200戶居民某年的月均用水量（單位：噸），并將數據制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中m的值，并估計月用水量標準x的值；(2)若從月平均用水量在第一組和第二組的樣本居民中按比例分配的分層抽樣隨機抽取6戶，再從這6戶中任意選取兩戶，求這兩戶來自同一組的概率．18．已知在中，滿足（其中分別是角的對邊）.(1)求角的大小；(2)若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；(3)若為銳角三角形，，求的取值范圍.19．在中，，，，分別是上的點，滿足且經過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大小；(3)在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】D【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數，再根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以即，所以復數在復平面內對應的點的坐標為，所以復數在復平面內對應的點位于第四象限.故選D.2．【正確答案】C【分析】根據方差的性質結合已知條件直接求解.【詳解】因為樣本數據的方差為，所以的方差.故選C.3．【正確答案】C【分析】根據概率的性質判判斷A，根據對立事件的概率性質判斷B，根據概率加法公式判斷C，根據概率的性質判判斷D.【詳解】對于A，對于兩個不可能事件來說，同時發生的概率與恰有一個發生的概率相等，均為零，故A中說法錯誤；對于B，在條件下，事件與事件不一定互斥，故事件A與B不一定是對立事件，故B中說法錯誤；對于C，根據概率的性質可知，當，不互斥時，，故C中說法正確；對于D，某事件發生的概率只與該事件本身有關，與實驗次數無關，故D中說法錯誤.故選C.4．【正確答案】B【分析】由線面位置關系即可逐一判斷各個選項.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，則或，若，，則，若，則存在，使得，因為，所以，又，所以，所以無論如何，只要，，，就有，故B正確；對于C，若，，，則或相交或異面，故C錯誤；對于D，若，，，則或相交或異面，故D錯誤.故選B.5．【正確答案】D【分析】作出組合體的軸截面，利用體積求出圓錐的高，然后再利用三角形相似即可求出內切球的半徑，結合求得體積公式，即可求解.【詳解】如圖，圓錐與內切球的軸截面圖，設圓錐高為h,根據圓錐的底面半徑為1，體積為，可知，，解得，所以母線長為，設內切球的半徑為，則，由軸截面三角形相似得，所以，即，解得內切球半徑為，所以內切球的體積為，故選D.6．【正確答案】A【分析】根據投影向量的定義結合已知條件直接求解即可【詳解】因為向量與向量夾角為，，所以，則在上的投影向量為，故選A.7．【正確答案】D【分析】舉反例可以逐一判斷A、B、C是錯誤的，邏輯推理即可判斷D選項.【詳解】對于A，數據為2，4，5，5，6，A錯誤；對于B，數據為3，3，4，5，6，B錯誤；對于C，數據為1，2，2，4，6，C錯誤；對于D，所有數據和為15，中位數為4，如果出現6，那么其余三個數的和為5，且其中有一個數至少為4，這組數據不可能，D正確；故選D.8．【正確答案】A【分析】在中，利用余弦定理求出，然后利用勾股定理逆定理可得為直角三角形，由題意可知取得最小值時，點為費馬點，設，，，在中分別使用余弦定理，三式相加，再結合三角形面積公式化簡可求出，從而可得答案.【詳解】由題可知，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以為直角三角形，由定義可知取得最小值時，點為費馬點，設，，，且，，，，在中分別使用余弦定理可得，相加得由三角形面積得，即，所以，所以，所以的最小值為故選A.9．【正確答案】AD【分析】復數化簡為，再依次判斷即可．【詳解】解：，則的虛部為，A項正確；的共軛復數為，而，故B項錯誤；，故C項錯誤；，故D項正確；故選AD.10．【正確答案】ABD【分析】由條形圖及扇形圖的特點求解即可．【詳解】因為C為乘坐公交的調查人數為60，所占比例為25%，所以調查的總人數為，對于A選項：，所以A選項正確，對于B選項：，所以B選項正確，對于C選項：，所以C選項錯誤，對于D選項：，所以D選項正確.故選ABD.11．【正確答案】AD【分析】構造正方體模型，即可判斷A、B，展開為平面圖形，兩點間直線最短，即可求出最小值，從而判斷C，構造正方體模型，求出外接球半徑，然后計算得到球心到截面的距離，然后結合勾股定理即可求解D選項.【詳解】對于A，如圖，將幾何體補為正方體，易知，，又，所以，故A正確；對于B，如圖，將幾何體補為正方體，當動點M運動到點B時，此時直線與所成角最小，為，但此時直線與相交，不滿足異面；當動點M由點B向點C運動時，直線與所成角慢慢變大，當動點M運動到點C時，此時直線與所成角最大，易知是等邊三角形，所以直線與所成的角為，而，即此時直線與所成角為；所以，異面直線與所成角的取值范圍為，故B錯誤；對于C，如圖，將平面與平面展為同一平面，則，故C錯誤對于D，如圖，補為正方體，三棱柱外接球即為正方體的外接球，所以外接球半徑，即，，所以所以，取正方體的中心點O，的中點N，連接ON，易知，所以，設正方體的中心點O到截面的距離為h，即球心到截面的距離為，根據勾股定理可得截面圓半徑為，所以截面面積為，故D正確.故選AD12．【正確答案】10【分析】根據直觀圖與原圖形的關系結合已知可得，從而可求出，進而可求出四邊形的周長.【詳解】由題意可得，所以原圖形中，所以，所以四邊形的周長為.故10.13．【正確答案】【分析】由題意列出關于的不等式組即可求解.【詳解】由題可知且與不共線，即，得.故答案為.14．【正確答案】1884【分析】第一空，根據分層抽樣的定義即可求解；第二空，根據分層抽樣的方差公式即可求解【詳解】由分層抽樣方法可得：抽取C車間應抽取的件數為60×30%=18；總樣本平均值，總樣本方差為.15．【正確答案】(1)(2)【分析】根據是一元二次方程的根得到也是一元二次方程的根，代入列方程組求解即可；（2）求出，根據復數為純虛數求出即可求出.【詳解】（1）因為是一元二次方程的根，所以也是一元二次方程的根，故，解得；（2）因為復數為純虛數，所以，且，即，所以復數，故.16．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據向量作為基底的條件：不共線非零向量，即可得解；（2）利用向量的數量積為0建立方程，即可得解；（3）平方后得到關于的二次函數，利用函數的性質即可求最值.【詳解】（1）因為可以作為一組基底，所以不平行，又不共線，所以，即，所以，實數的取值范圍為.（2）因為垂直，所以，即，又，，所以，解得.（3）由（2）知，，因為，所以，當時，取得最小值3，所以的最小值為.17．【正確答案】(1)，19.2噸；(2)．【分析】(1)先根據頻率分布直方圖概率和為1求出m,再根據百分位數求解即可；(2)列舉法應用古典概型求解.【詳解】(1)由解得．，（噸）．(2)根據題意得，月平均用水量在第一組居民有（戶），月平均用水量在第二組居民有（戶），分層抽樣隨機抽取6戶，第一組抽取了2戶，第二組抽取了4戶記第一組抽取的兩戶分別為a，b，第二組抽取的四戶分別為A，B，C，D，從這6戶中任意選取兩戶，樣本點有，，共15個記兩戶來自同一組為事件M，事件M包含的樣本點為：共7個．根據古典概型可得，．18．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理進行邊化角，然后結合兩角和差公式，以及內角和定理，誘導公式即可得解；（2）通過等面積法即可求得值，然后結合余弦定理即可求出，再利用正弦定理求出外接圓半徑，從而得解；（3）利用正弦定理，將轉化為角的關系式，然后利用銳角三角形求出角的范圍，結合三角函數知識即可求出取值范圍.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以，又，即，且，即.（2）由等面積法：，即，即，由余弦定理得，，則，設外接圓半徑為，則，，則外接圓的面積為.（3）由為銳角三角形可得，得，則，由，得，又，所以，則.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，或【分析】（1）應用線面垂直的判定定理證明線面垂直關系，再由性質定理得到線線垂直關系，進而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.用向量法求與平面所成角的大小；（3）假設存在點，使平面與平面成角余弦值為，設，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內，所以平面