/上海市2023-2024學(xué)年高三下冊期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．不等式的解集為.2.若是直線的一個法向量，則的傾斜角為.3.已知復(fù)數(shù)，則的值等于.4.在中，角的對邊分別為，若，則.5.已知圓的面積為，則實(shí)數(shù)的值為.6.設(shè)為雙曲線:左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，線段與的左支相交于點(diǎn)，且，則.7.已知，且，則函數(shù)的零點(diǎn)為．8.設(shè)平面向量、、滿足：，，，，則的取值范圍為．9.給出下列結(jié)論：=1\*GB3①一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；=2\*GB3②若隨機(jī)變量，且，則；=3\*GB3③若將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加上同一個正數(shù)，則其平均數(shù)和方差都會發(fā)生變化．其中正確說法的序號為.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，，則正整數(shù)的值為.11.已知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若由實(shí)數(shù)組成的集合有且僅有兩個元素，則正整數(shù).12.棱長為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個動點(diǎn)（包括邊界），且，則當(dāng)三棱錐體積取最大時，其外接球的表面積為.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.第13、14題每題4分，第15、16題每題5分.）13.下左圖是我國年純電動汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，則下列說法錯誤的是（）A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B.這六年銷量的第60百分位數(shù)為536.5萬輛C.2020年銷量高于這六年銷量的平均值D.這六年增長率最大的為2019年至2020年14．如上右圖所示，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與平面垂直的直線可以是（）A.B.C.D.15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且在上的投影為，則雙曲線的離心率為（）A.2B.3C.4D.16.已知函數(shù)是定義為，給出下列兩個結(jié)論：①當(dāng)時，都有，則函數(shù)是上的增函數(shù)；②若函數(shù)滿足，則該函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)．則（）A.①對②對B.①對②錯C.①錯②對D.①錯②錯三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）已知數(shù)列滿足：，且，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.18.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）如圖所示，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，是等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若為線段上的一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．19.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第一天的直播中有超過萬人次的觀看．（1）已知小李第１天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播直播的概率為，求小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率；（2）若未來天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過萬人次的觀看的概率為，記這天中每天有超過萬人次觀看的天數(shù)為．（=1\*romani）比較與的大小，其中；（=2\*romanii）記，求.20.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.（1）若直線與軸相交于點(diǎn)，到直線的距離為，求；（2）若，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,記的面積為，的面積為,若,求的取值范圍；（3）若，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值．21.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）定義如果函數(shù)和的圖像上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系.（1）若，試判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；（2）若函數(shù)和不具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案一、填空題1.2.3.4.5.６.7.3.8.9.=2\*GB3②10.11.已知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若由實(shí)數(shù)組成的集合有且僅有兩個元素，則正整數(shù).【正確答案】由已知，所以，，若，則，這時；若，則，這時；若，則滿足條件的整數(shù)大于等于，所以.12.棱長為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個動點(diǎn)（包括邊界），且，則當(dāng)三棱錐體積取最大時，其外接球的表面積為.【正確答案】點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，當(dāng)三棱錐體積的最大時，點(diǎn)位于的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，設(shè)球心為，于是，所以.（也可以確定圓心后，再計(jì)算）二、選擇題13.C14.D15.D16.B三、解答題17.【正確答案】（1）（2）（1）由已知可得，又，所以，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比，所以，，所以；（2），由，得，即，所以，所以.18.【正確答案】（1）見解析（2）（1）因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，又，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危允瞧矫嫔系膬蓷l相交直線，所以，，所以；（2）因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危裕^作，垂足為，由，得，所以，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則取，則，，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，即.19.【正確答案】（1）（2）（=1\*romani）當(dāng)時，；當(dāng)時，.（=2\*romanii）.（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為；所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為；（2）（=1\*romani）由已知服從二項(xiàng)分布，所以，當(dāng)時，，所以，即；當(dāng)時，，所以，即.（也可以用作差法比較大小）（=2\*romanii）因?yàn)椋曰颍?dāng)時，，當(dāng)時，，.20.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.（1）若直線與軸相交于點(diǎn)，到直線的距離為，求；（2）若，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,記的面積為，的面積為,若,求的取值范圍；（3）若，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值．【正確答案】（1）（2）（3）（1）由已知，因?yàn)椋缘街本€的距離，所以，所以，又因?yàn)椋裕唬?）當(dāng)時，，則，設(shè)，則，，因?yàn)椋裕矗忠驗(yàn)椋裕裕裕?所以的范圍是；（3）顯然點(diǎn)在橢圓外，設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去，化簡得，則由，得，所以或，由，可得，解得，消去可得，當(dāng)直線的斜率不存在時，，由，可得滿足方程，所以點(diǎn)直線，且位于橢圓的內(nèi)部，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，又，所以，當(dāng)在橢圓內(nèi)部，滿足要求，所以的最小值為．21.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）定義如果函數(shù)和的圖像上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系.（1）若，試判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；（2）若函數(shù)和不具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）具有（2）（3）（1）當(dāng)時，由，得，，，所以函數(shù)和圖像上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，故和具有關(guān)系.（2）由，得，，，，，其中，因?yàn)榭扇∫磺袑?shí)數(shù)，所以，所以方程有解的充要條件為，即，，所以，所以函數(shù)和不具有關(guān)系時，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）令，則.函數(shù)和在上具有關(guān)系，等價(jià)于在上存在零點(diǎn)；函數(shù)和在上不具有關(guān)系，等價(jià)于在上不存在零點(diǎn).1°當(dāng)