/江蘇省南京市2024-2025學年高二下冊4月期中考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若，則的值（

）A． B． C．1 D．42．數列，3，，15，的一個通項公式可以是（

）A． B．C． D．3．曲線在處切線的斜率為（

）A．4 B．2 C． D．4．三位老師和三位學生站成一排，要求任何兩位學生都不相鄰，則不同的排法種數為（

）A．72 B．144 C．36 D．125．已知隨機變量的分布列為024則（

）A． B． C． D．6．若圓上恰好有4個不同的點到直線的距離為3，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（）A．2 B． C． D．48．已知，若，則的值為（

）A．3 B．22 C．43 D．45二、多選題（本大題共3小題）9．已知，分別為隨機事件，的對立事件，，，則（

）A．當，獨立時，B．當，互斥時，C．D．.10．已知函數，則有（

）A．當時，在R上遞增B．當時，有3個零點C．當時，關于對稱D．當時，有2個極值點11．定義：當為奇數時，，當為偶數時，，，則稱為“回旋數列”.若為“回旋數列”，,，設的前項和為，從中任意抽取兩個數，設兩個數之和大于0的概率為，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知為等差數列，且，則.13．現有6本不同的書分配給甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外兩人每人得1本，則有種不同的分配方式.14．在直三棱柱中，，點為側面上的任意一點，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在的展開式中，已知前三項系數的絕對值依次成等差數列.(1)求展開式中二項式系數的最大值；(2)求展開式中所有的有理項.16．假設有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球與2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球與4個紅球，這些小球除顏色外完全相同.(1)從兩個盒子中分別取出一個球，求取到紅球的概率；(2)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；(3)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率.17．已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且過點.(1)求雙曲線的方程；(2)設過點的直線與相交于不同的兩點，若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.18．如圖①，在中，分別是邊的中點，現將沿著折起，使點到達點的位置，并連接，得到四棱錐，如圖②，設平面平面.(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)若點到平面的距離為，求平面與平面的夾角.19．已知函數.(1)當時，求的解集；(2)若有極值，求實數的取值范圍；(3)設，若，求的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量，且直線平面，所以，所以，解得.故選B.2．【正確答案】A【詳解】數列各項正?負交替，故可用來調節，又，所以通項公式為故選A.3．【正確答案】D【詳解】因為，所以曲線在處切線的斜率為.故選D.4．【正確答案】B【詳解】解：因為要求任何兩位學生不站在一起，所以可以采用插空法，先排3位老師，有種結果，再使三位學生在教師形成的4個空上排列，有種結果，根據分步計數原理知共有種結果.故選B.5．【正確答案】B【詳解】由分布列性質知，，解得，則，則．故選B.6．【正確答案】D【詳解】由圓上恰好有4個不同的點到直線的距離為3，可知圓心到直線的距離，即，所以，解得，故選D.7．【正確答案】D【詳解】因為，所以，設準線與軸交于點，因為，所以.因為，所以，所以在等邊中，.故選D.8．【正確答案】C【詳解】已知，而..等式兩邊對求導數可得，，再令，可得，即.故選C.9．【正確答案】ABD【詳解】若獨立，則，A正確；若互斥，則，B正確；因為，C錯誤，D正確.故選ABD.10．【正確答案】AC【詳解】對于A，，恒成立，故在R上遞增，A正確；對于B，，，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，又，所以有2個零點，B錯誤；對于C，，，故關于對稱，C正確；對于D，，當時，，故恒成立，單調遞增，不滿足有2個極值點，D錯誤.故選AC.11．【正確答案】ACD【詳解】因為數列為“回旋數列”，，所以當為奇數時，；當為偶數時，，當為奇數時，，所以，所以數列為等差數列，公差為，所以當為奇數時，，當為偶數時，，，所以，所以數列為等差數列，公差為6，又，故，所以當為偶數時，，所以，故A正確；，所以，所以，故B錯誤；從中任意抽取兩個數，有種取法，其中兩個數之和大于0的取法包含取一個奇數項與它之后的所有偶數項，或取一個偶數項與它之后的所有偶數項，故有，所以，所以，故C正確；又，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】2【詳解】方法一：設公差為，則，所以.方法二：因為，所以.13．【正確答案】90【詳解】先在6本書中選擇4本分給1人，然后把最后2本平均分成兩組，再倍縮，3組和3人組成全排列，故有種不同的分配方式.14．【正確答案】【詳解】如圖取中點為原點，建立空間直角坐標系，設，其中，，當，且或時，取最大值4，當，且時，取最小值2，所以的取值范圍為.15．【正確答案】(1)70(2)，，【詳解】（1）展開式中第項為，所以前三項系數的絕對值依次為，，，依題意有，，即，整理得，解得（舍去）或，由二項式系數的性質可知，展開式中二項式系數的最大值為.（2）由（1）知，，又，，由可得，故展開式中的有理項為：，，.16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“取到紅球”為事件，則，即取到紅球的概率為.（2）依題意，記事件表示第次從第一個盒子里取出紅球，記事件表示兩次取球中有紅球，則，即所求概率為.（3）記事件表示從第一個盒子里取出紅球，記事件表示從第一個盒子里取出白球，記事件表示從第二個盒子里取出紅球，則.即所求概率為.17．【正確答案】(1)(2).【詳解】（1）因為兩條漸近線互相垂直，則，即，又過點，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，可設直線的方程為，聯立方程消去y可得.因為直線與雙曲線相交于不同的兩點，則，解得，設，則，可得，且原點到直線的距離，則，若的面積不小于，即，整理可得，解得，可得，綜上所述：直線的斜率的取值范圍為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3).【詳解】（1）因為分別是邊的中點，所以，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（2）因為，所以，由（1）知，，所以，在圖（1）中，，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（3）如圖，過點作，垂足為.由（2）知，平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以點到平面的距離即為的長，即.在中，，所以.又，所以是邊長為2的等邊三角形.取的中點，連接，則.由（1）知，平面，又平面，所以.又平面，所以平面（方法一）以為原點，所在直線分別為軸，軸，過與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設平面的法向量為，則，令，得，所以是平面的一個法向量.又平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面的夾角為.（方法二）以為原點，所在直線分別為軸，軸，且以過點與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設平面的法向量為，則，令，得，所以是平面的一個法向量.又是平面的一個法向量，所以，所以平面與平面的夾角為.19．【正確答案】(1)(2)(3)2【詳解】（1）當時，因為，所以，所以在上單調遞