/遼寧省本溪市縣2023?2024學(xué)年高二下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知命題，命題，則（

）A．和均為真命題 B．和均為真命題C．和均為真命題 D．和均為真命題3．已知冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，則（

）A． B． C．2 D．44．已知甲正確解出不等式的解集為，乙正確解出不等式的解集為，且，則（

）A．12 B.6 C．0 D．125．已知一種物質(zhì)的某種能量與時(shí)間的關(guān)系為，其中是正常數(shù)，是大于1的正整數(shù)，若經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，再經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，則（

）A． B．C． D．6．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．8．已知分別是函數(shù)與的零點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．對(duì)于函數(shù)，則（

）A．與具有相同的最小值B．與在上具有相同的單調(diào)性C．與都是軸對(duì)稱圖形D．與在上具有相反的單調(diào)性10．已知數(shù)列滿足，則（

）A．B．為遞減數(shù)列C．的最小值為20D．當(dāng)時(shí)，的最大值為811．已知函數(shù)，則（

）A．是的極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)則.13．已知函數(shù)滿足，則.14．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取的中點(diǎn)分別為，沿剪去，得到四邊形，記其面積為；在中，取的中點(diǎn)分別為，沿剪去，得到四邊形，記其面積為，則；以此類推，.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，的圖象在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，在的最小值小于，求的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：的圖象為軸對(duì)稱圖形；(3)若關(guān)于的方程在上有解，求的最小值.18．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明.19．在數(shù)列中，按照下面方式構(gòu)成“次生數(shù)列”，…，，其中表示數(shù)列中最小的項(xiàng).(1)若數(shù)列中各項(xiàng)均不相等，只有4項(xiàng)，，且，請(qǐng)寫出的所有“次生數(shù)列”；(2)若滿足，且為等比數(shù)列，的“次生數(shù)列”為.（i）求的值；（ii）求的前項(xiàng)和.

答案1．【正確答案】C【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選C.2．【正確答案】B【分析】直接判斷命題的真假，再根據(jù)命題的否定可判斷.【詳解】對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，所以為假命題，則為真命題；對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，所以為真命題.綜上，和均為真命題.故選B.3．【正確答案】D【分析】利用冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，解得，由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則，所以.故選.4．【正確答案】A【分析】本題根據(jù)兩個(gè)一元二次不等式的解集的交集和并集的情況，可判斷出對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一元二次方程的根的情況，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知方程與方程的根組成集合，由方程的根與系數(shù)關(guān)系可知，則其兩根為，所以，方程0的兩根為，則，所以，所以.故選A.5．【正確答案】B【分析】本題根據(jù)已知條件先求出，再列出等式即可求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，則，由，得，所以.故選B.6．【正確答案】A【分析】利用作差法及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，，可知，則，所以，充分性成立；由，，可得，但是不一定成立，所以必要性不成立；綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選A.7．【正確答案】D【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】無(wú)論為何值，函數(shù)為偶函數(shù)，則.要使函數(shù)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以，即，整理得，則，所以，則，解得.當(dāng)時(shí)，，顯然無(wú)意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，，即，解得或，則的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，此時(shí)也為奇函數(shù).故選.8．【正確答案】C【分析】本題將兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)代入函數(shù)式，得到等式，再同構(gòu)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求出最值即可.【詳解】由題意可知，則，即，又因?yàn)樗裕瑒t.設(shè)，則，所以?x在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，則，所以，則.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，φ'x>0，當(dāng)時(shí)，φ所以φx在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以的最大值為.故選C.【思路導(dǎo)引】（1）利用等式同構(gòu)函數(shù)；（2）化簡(jiǎn)，同構(gòu)函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性并求出最值.9．【正確答案】AC【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)，的圖象，進(jìn)而對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一作出判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)，的圖象如圖所示，由圖可知與的最小值都為1，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上不單調(diào)，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，與在上均單調(diào)遞減，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.10．【正確答案】ACD【分析】本題根據(jù)給定的遞推數(shù)列逐項(xiàng)遞推可求出，從而判斷選項(xiàng)A，采用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B、C、D是否正確.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由，得當(dāng)2時(shí)，，將以上各式相加得，所以，又當(dāng)時(shí)符合上式，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知an不為遞減數(shù)列，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，取得最小值20，所以C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為8，所以D項(xiàng)正確.故選ACD.11．【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，舉例判斷，對(duì)于B項(xiàng)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，可判斷出在上單調(diào)遞增，再利用單調(diào)性判斷，對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞減，然后與區(qū)間的端點(diǎn)比較大小，從而可得結(jié)論，對(duì)于D項(xiàng)，在的圖象上任取一點(diǎn)，求出其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，然后代入函數(shù)中驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，顯然不是的極值點(diǎn)，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕郑裕裕訡項(xiàng)正確.對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，在的圖象上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以D項(xiàng)正確.故選BCD.【思路導(dǎo)引】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，選項(xiàng)D解題的關(guān)鍵是在圖象上任取一點(diǎn)，求出其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再將此點(diǎn)代入中，若能滿足，則可得結(jié)論.12．【正確答案】.【分析】運(yùn)用分段函數(shù)求值方法，結(jié)合指數(shù)冪性質(zhì)求解即可.【詳解】，所以.故答案為.13．【正確答案】.【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.【詳解】由①，得②，由①②得，則，令，則，所以，所以.故答案為.14．【正確答案】；.【分析】本題根據(jù)題意遞推，由此得出為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，從而得出，再求即可.【詳解】因?yàn)椋锌芍且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以.故答案為.【思路導(dǎo)引】（1）通過(guò)計(jì)算，推出為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式；（2）由的通項(xiàng)公式得出；（3）求時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)條件式結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得出，進(jìn)一步得出的二元一次方程，解出即可求得an的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，進(jìn)一步得出，再采用裂項(xiàng)法即可求得.【詳解】（1）由，得，又因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，所以an的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，所以，所以.16．【正確答案】(1)或；(2).【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，得到其在兩坐標(biāo)軸上的截距，然后由面積求解的值即可.（2）利用導(dǎo)函數(shù)求出在的最小值，然后求解不等式，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）易知，又因?yàn)椋裕缘膱D象在處的切線方程為，令，得，由切線與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為，得，解得或.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在的最小值為，由題意得，即，又因?yàn)椋?設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋越獠坏仁降茫缘娜≈捣秶鸀?17．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，由真數(shù)大于零再結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系列出不等式即可求出參數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)軸對(duì)稱的關(guān)系式可證為軸對(duì)稱圖形；（3）方程在上有解轉(zhuǎn)化為在上有解，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則解得，所以的取值范圍為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的圖象為軸對(duì)稱圖形.（3）由方程在上有解，得方程在上有解且，即在上有解，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以的最小值為.18．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，從而建立關(guān)于參數(shù)a的不等式，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可得出結(jié)果；（2）的兩個(gè)極值點(diǎn)，即為f'x的零點(diǎn)，由此建立與參數(shù)a的關(guān)系，再將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造新函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可得證.【詳解】（1）易知的定義域?yàn)?,+∞，，由，得在0,+∞上恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）證明：由題意可知f'x有兩個(gè)零點(diǎn)即，不妨設(shè)，則，要證，即證，即證，即證，即證，令，則，只需證.設(shè)，則，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，則，則，所以.【思路導(dǎo)引】（1）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值；（2）導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，則，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，在利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.19．【正確答案】(1)或或；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）根據(jù)次生數(shù)列的定義得到，從而得到有3個(gè)，分別為或或.（2）（i）根據(jù)為等比數(shù)列，求出公比，求出，從而根據(jù)次生數(shù)列的定義得到，，得到的值；（ii）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，錯(cuò)位相減法求和，再求出當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，檢驗(yàn)時(shí)，也符合上式，從而得到答案.【詳解】（1）因?yàn)椋懈黜?xiàng)均不相等，所以，若，此時(shí)“次生數(shù)列”為，若，此時(shí)“次生數(shù)列”為，若，此時(shí)“次生數(shù)列”為，所以“次生數(shù)列”的定義可知有3個(gè)，分別為或或.（2）（i）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，所以，