專題13.7證明十六大必考點

【蘇科版】

【考點?根據平行線的判定與性質進行證明】.....................................................1

【考點2直線旋轉中的平行線的判定】............................................................3

【考點3與垂線有關的角度計算或證明】.........................................................4

【考點4利用平行線的判定與性質計算角度】.....................................................6

【考點5平行線的性質在生活中的應用】.........................................................7

【考點6利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】..........................................9

【考點7平行線的運用（單一輔助線）】........................................................10

【考點8平行線的運用（多條輔助線）】........................................................12

【考點9平行線在折疊問題的運用】............................................................14

【考點10平行線在三角尺中的運用】............................................................15

【考點11平行線中的規律問題】.................................................................17

【考點12平行線中的轉角問題】................................................................19

【考點|3與角平分線有關的三隹形內角和問題】..................................................21

【考點14利用平行線的判定與性質證明三角形中角度關系】.......................................23

【考點|5與平行線有關的三角形內角和問題】....................................................24

【考點|6與折疊有關的三角形內角和問題】......................................................26

》”洋一史三

【考點1根據平行線的判定與性質進行證明】

【例I】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：41=42,44=40.求證：/,B=Z.C.

證明：0Z.1=42（已知），

0II(),

團乙1=乙BED().

0Z4=Z-D（已知），

團NBEO=ZD（等量代換）.

團II（）.

回乙B=LC（）.

【變式1?1】（2022?黑龍江?遜克縣教師進修學校七年級期末）如圖所示，ABWCD,直線￡尸分別交A3,CD

于點G,H,是（3O/7G的平分線.

⑴如果GM是她G￡的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和MV的位置關系；

證明:團48IICD,

WGE=（兩直線平行，同位角相等.）

13GM是138GE的平分線，

0=

-----------------------------2

回XV是團的平分線

（3==-^DHG

-----------------------------2

豳MGE=I2M7G（等量代換）

回GM和“N的位置關系是,（）.

（2）如果GM是0AG”的平分線，（如圖②）（1）中的結論還成立嗎？（不必證明）

⑶如果GM是國BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結論還成立嗎？如果不成立，GM與"N又有怎樣的

位置關系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【變式1-2]（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已知：ABWCD,CD\\EF,4E平分（3BAC,AO3CE,有以

下結論：@AB^EFi@201-04-9Ooi（3）203-132-180%④（23*4-135。，其中，正確的結論有____.（填序

號）

【變式1-3］（2022?廣東?廣州市第四中學七年級期末）如圖1,在四邊形A8CO中，AD||BC,（M=0C.

⑴求證：0B=ED；

⑵如圖2,點E在線段上，點G在線段的延長線上，連接BG,財E8=2E1G,求證：月G是團EBC的

平分線；

（3）如圖3,在⑵的條件下，點石在線段4。的延長線上，（3EOC的平分線。〃交BG于點”，若的WE=66。，

求叵4”。的度數.

【考點2直線旋轉中的平行線的判定】

【例2】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板力8繞中點。上下轉動，立柱OC與

地面垂直，當橫板48的A端著地時，測得，。力C=28。，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，色上下最大可

以轉動的角度為（）

A.28°B.56°C.62°D.84°

【變式3-1]（2022?安徽合肥?七年級期木）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據.

如圖，已知OG〃B4EF1BC,乙1二42.試證明：AD1BC.

解：因為。G〃B4（已知），

所以N2=NB4D（）.

因為△1=Z2（已知）,

所以（等量代換），

所以￡77/（）.

所以匕“3=（兩直線平行，同位角相等）

因為1BC（已知），

所以NEFB=90。（）.

所以44/5F=90。（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【變式3-2]（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，ABLAC,垂足為力，41=30。，ZF=60°.

（1）AD與BC平行嗎？為什么？

（2）根據題中的條件，能判斷力8與。。平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們

平行（不必說明理由）.

【變式3-3]（2022?全國?七年級）己知：直線MN、PQ被A3所截，且MN3PQ,點C是線段從8上一定點,

點D是射線4N上一動點，連接CD.

圖1

圖2

⑴在圖1中過點C作CE3CD,與射線BQ交于七點.

①依題意補全圖形:

②求證：（L4DC+0BEC=9O°；

⑵如圖2所示，點F是射線BQ上一動點，連接CF,^DCF=a,分別作回NDC與回C/Q的角平分線交于點G,

請用含有a的代數式來表示I3QGF,并說明理由.

【考點4利用平行線的判定與性質計算角度】

【例4】（2022?福建福州?七年級期末）如圖，在△4BC中，點Z）,E分別在AB,AC上，點凡G在上,

EF與DG交于點、O,41+42=180°,Z-B=Z3.

⑴判斷OE與的位置關系，并證明；

（2）若4IE。+AEFC=118°,求乙4的度數.

【變式4-1]（2022?河南溪河?七年級期末）已知:如圖,0A=a4DE,0C=0E.

（1）若OEDC=3E1C,求阿。的度數;

⑵判斷BE與CD的位置關系，并證明你的猜想.

【變式4-2］（2022?廣東湛江?七年級期末）如圖所示,已知射線CBIIOA,乙C=Z.OAB=110°,E、F在C式上,

且滿足，尸。3=/力。8,OE平分乙COF,根據上述條件，解答下列問題：

（1）證明：OCWAB；

⑵求NE08的度數；

⑶若平行移動A8,那么ZOBCOFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由.

【變式4-3］（2022?北京密云?七年級期末）已知：點C是助08的04邊上一點（點C不與點。重合），

點D是MO8內部一點，射線C。不與。8相交.

⑴如圖1,財。8=90。，團OCO=120。，過點0作射線0E,使得OE〃CQ.（其中點七在財08內部）.

①依據題意，補全圖1;

②直接寫出團8。七的度數.

（2）如圖2,點尸是射線08上一點，且點尸不與點O重合，當乙1。8二履0。＜。4180。）時，過點尸作射線

尸凡使得"Z//C。（其中點”在0408的外部），用含a的代數式表示moc。與團乃尸〃的數量關系，井證明.

【考點5平行線的性質在生活中的應用】

【例5】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB團直線CD,光線EF經

過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時，01=1212,團3=團4,卜列結論：①直線EF平行于

直線GH；②回FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③團BFE的角平分線所在的直線垂直于回4的角平

分線所在的直線；④當CD繞點G順時針旋轉90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【變式5-1］（2022?江蘇宿遷?七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和

被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP,一束光線4B射在其中一

若平行，請給予證明

【變式5-2］（2022?浙江杭州?七年級期末）（1）若組成21和42的兩條邊互相平行，且N1是N2的2倍小15。,

求/I的度數.

（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,汴與上拉桿CF形成的NF=145。，主柱力。

垂直廣地面，通過調整CF和后拉桿8C的位置來調整籃筐的高度,當乙。。8=25。時，點，，Q,B在同一直

線上，求4”的度數.

【變式5-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（4B0CD）如

圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自力逆時針旋轉至P8便立即回轉，燈。射線自QD

逆時針旋轉至OC便立即回轉，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視.設燈P轉動的速度是10度/秒,

燈Q轉動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉至P8,或者燈Q自Q。轉至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時間；

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚,求團PMQ；

（3）在兩燈同時開啟后的35秒內，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【考點6利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】

【例6】（2022?河北唐山?七年級期末）己知三角形A3C,￡州力。交直線48于點區DFII4B交直線AC于點。.

圖1備用圖

（1）如圖1,若點、F在邊BC上,直接寫出乙與NEFO的數量關系；

⑵若點尸在邊BC的延長線上，（1）中的數量關系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的

數量關系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【變式6-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，已知4MII8N,，是射線AM上一動點（不與點4重合），

BC,8。分別平分M8。與團尸BN,分別交射線AM于點C,D.

（1）若41=50°,求乙C3D的度數；

⑵在點。的運動過程中，回8%與國3D4的數量關系是否隨之發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請

求出團8四與班OA的數量關系；

⑶當點P運動到使時，探究團48c與團￡WN的數最關系，并證明你的結論.

【變式6-2］（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：直線A8IIC0,經過直線4?上的定點P的直線EF交CO于點

。，點M,N為直線。。上的兩點，且點M在點。右側，點N的左側時，連接PM,PN,滿足4MPN=4MNP.

⑵如圖2,射線PQ為乙MPE的角平分線，用等式表示乙NPQ與ZP0M之間的數量關系，并證明.

【變式6-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形ABC中，點。在線段AC上，DEIIBC交A8于點E,

點F在線段4B上（點尸不與點4E,B重合），連接。F,過點。作?G1FD交射線CB于點G.

圖1

⑴如圖1,點尸在線段8E上，

①用等式表示因后。尸與回BGf的數量關系，并說明理由；

②如圖，求證：Z-ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵當點尸在線段AE上時，依題意，在圖2中補全圖形，請直接用等式表示團印）尸與團8G戶的數量關系，不

需證明.

【考點7平行線的運用（單一輔助線）】

【例7】（2022?四川德陽?七年級期末）己知：AB||CD,點P、0分別在AB、CO上，在兩直線間取一點￡

⑴如圖1,求證：LE=LAPELCQEX

⑵將線段EQ沿。C平移至/G,ZCGF的平分線和NAPE的平分線交于直線A8、CO內部一點依

①如圖2,若乙<=9。。，求N”的度數；

②如圖3,若點/在直線48、CZ）內部，且77平分NBPE,連接若4/一=m。，zF=n°,請直接

寫出，〃與〃的數量關系，不必證明.

【變式7-1］（2022?廣東梅州?八年級期末）已知：財。8=a（0°<a<90o）,一塊三角板CDE中，^CED

=90。，0CD￡=3O%將三角板CO￡如圖所示放置，使頂點。落在04邊上，經過點O作直線交

04邊于點用，且點M在點D的左側.

圖2

（1）如圖1,若CE^OA,EF^MN,?NDE=45°,求a的度數；

⑵若團A/OC的平分線。尸交08邊于點立如圖2,當。“304,且。=60。時，證明：CEI30A.

【變式7?2】（2022?陜西西安?八年級期末）在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30。的直角三角尺和兩條

平行線”為背景開展數學活動如圖1，已知兩直線a，b,月⑷歷和直角三角形ABC.4B&4=90°,LBAC=30°.

(1)在圖1中，01=46°,求團2的度數;

⑵如圖2,創新小組的同學把直線a向上平移,并把團2的位置改變，發現42-41=120。，說明理由;

⑶競賽小組在創新小組發現結論的基礎上，將圖2中的圖形繼續變化得到圖3,當AC平分（384M時，此時

發現（31與國2又存在新的數最關系，請寫出團1與團2的數量關系尹證明.

【變式7-3］（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖1,點A在直線MN上，點8在直線ST上，點C在MN,

ST之間，且滿足（WAC+MCB+@S4C=360°.

（1）證明：MNIIST；

⑵如圖2,若財C8=60。，40|￡從點￡在線段4c上，連接A￡,且團。4￡=2回。47',試判斷團C4E與mCAN

的數量關系，并說明理由；

⑶如圖3,若勖C8=45。，點E在線段8C上，連接A￡,若團M4E=4回CBT,直接寫出回CA氏用C4N的值.

【考點8平行線的運用（多條輔助線）】

【例8】（2022?云南普洱?七年級期末）已知三角板48C中，084。=60。，05=30°,0C=9O°,長方形DEFG

中，DE//GF.如圖（1）,若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊G尸上，BC與。后相交于點M,AB^DE

于點N.

⑴請你直接寫出：0CAF=。，^EMC=

⑵若將一角板ABC按圖（2）所示方式擺放（/IB與。石不垂直），請你猜想I3EMC與團C人尸的數量關系？并

說明理由.

⑶請你總結（1）,（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究WiAG與配加。的數量關系？并說明理由.

【變式8-1］（2022?湖北武漢?七年級期末）直線A8IICE,8E-EC是一條折線段，3P平分乙ABE.

圖1

(1)如圖1,若BPIICE,求證：Z.BEC+Z-DCE=180°；

（2）CQ平分NOCE,直線BP,CQ交于點F.

①如圖2,寫出48EC和NBFC的數最關系，并證明；

②當點￡在直線4從CO之間時，若乙3￡C=40。，直接寫出乙BFC的大小.

【變式8-2］（2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級期末）細觀察，找規律.

（1）下列各圖中的與N4平行.

①圖①中的+乙5度.

②圖②中的匕4+4+乙小=度?

③圖③中的乙4+乙42+乙43+=度.

④圖④中的4Th+4力2+，力3+乙44+乙生=度.

⑤第⑩個圖中的+上力2+乙的+…+441=度.

⑥）第71個圖中的乙41+乙4?+乙%+…+乙*+1=度.

（2）下列各圖4s8〃C0.

①圖甲中乙8、乙C、NBEC的數量關系是

②圖乙中乙E,乙G,乙F,4c的數量關系是.

③圖丙中乙8,乙E,匕F,4乙H,乙M,乙。的數量關系是.

【變式8-3］（2022?北京師范大學附屬實驗中學分校七年級期末）已知，如圖1,射線PE分別與直線A8,

相交于E、F兩點,胡F。的平分線與直線A8相交于點M,射線PM交CO于點M設回PFM=a。，0EMF

=E°,且，80-2。+|4-40|=0

AGE.A￡

（l）a=___，B=____:直線48與。。的位置關系是____；

（2）如圖2,若點G、”分別在射線M4和線段M尸上，且圖WGH=［3PNF,試找出回產MN與回G”產之間存在的

數量關系，并證明你的結論；

⑶若將圖中的射線PM繞著端點尸逆時針方向旋轉（如圖3）,分別與AB、CD相交于點M/和點N/寸，作

助M18的角平分線Ml。與射線FM相交于點Q,問在旋轉的過程中等的值是否改變？若不變，請求出其

值；若變化，請說明理由.

【考點9平行線在折疊問題的運用】

【例9】（2022?山東濰坊?七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若起AD//BC,則翻折角乙1

與/2一定滿足的關系是（）

A.Z1=242B.41+乙2=90。C.Z1-Z2=30°D.241一342=30°

【變式9-1］（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學七年級期末）如圖，四邊形A3CO中，點M、N分別在

AB.BC上,將團8WN沿MN翻折，得團FMN,若FNWC,則（38=（）

D

\iiir，

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式9-2]（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，團ACB=90°,將三角形ABC向下翻折,

使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE0BC.

【變式9-3]（2022?江蘇?常州市第二十四中學七年級期末）在中，（3BAC=90。，點。是BC上一點,

將的和沿A。翻折后得到（MED,邊AE交BC于點、F.

⑴如圖①，當AHaBC時\寫出圖中所有與（3B相等的角：；所有與（3C相等的角：.

（2）若團。一姐=50°,0fiAD=x0（O<^45）.

①求mB的度數；

②是否存在這樣的x的值，使得回DE/中有兩個角相等.若存在，并求4的值；若不存在，請說明理由.

【考點10平行線在三角尺中的運用】

【例10】（2022?浙江寧波?七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，"邊重合，^BAC=45°,

^DAC=30。.接著如圖2保持三角板88c不動，將三角板4co繞著點C按順時針以每秒15。的速度旋轉90。后

停止.在此旋轉過程中，當旋轉時間t=秒時，三角板AC。'有一條邊與三角板48c的一條邊

恰好平行.

【變式10-1]（2022?河北?青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點。與點E重

合，8C邊與EF邊都在直線2上，若直線且MN經過點D,則NCDN=

【變式10-2]（2022?四川達州?八年級期末）一副三角板IDE和ABC按如圖1所示放置，點8在斜邊AD

上，其中團E=I3BAC=90。，0D=45°,0C=3O°.現將三角板AQE固定不動，三角板ABC繞點A順時針旋轉

a（0。<a<180。），使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2,當團BAZ）=15。時，BCIIDE,則1384。其

他所有可能符合條件的度數為.

【變式10-3】（2022?江蘇蘇州?七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，石在AC

上，ZC=^DAE=90°,48二60。，40=45。.小明將△4QF從圖中位置開始，繞點力按每秒6。的速度順

時針旋轉一周，在旋轉過程中，第秒時，邊48與邊OE平行.

【考點n平行線中的規律問題】

【例11】（2022?山東泰安?期末）如圖，4BIICD,點E為兩直線之間的一點

圖1圖2圖3圖4

（1）如圖1,若乙BAE=35°,乙DCE=20°,則乙4EC=；

（2）如圖2,試說明，LBAE+^AEC+^ECD=360°；

⑶①如圖3,若的平分線與NDCE的平分線相交于點R判斷/NEC與乙4FC的數量關系，并說明理由；

②如圖4,若設/E=m,/-BAF=^FAE,^DCF=^FCE,請直接用含機、〃的代數式表示NF的度數.

【變式11-1】（2022?山東煙臺?七年級期末）問題情境：

如圖1,A的CO,團辦8=130。，0PCD=12O°.求（MPC的度數.小明的思路是：過夕作。國4B,通過平行

線性質，可得lMPC=a4PE+團CP￡=50°+60°=110°.

問題解決：

（1）如圖2,A83CQ,直線/分別與A8、CO交于點M、N,點。在直線/上運動，當點尸在線段MN上運

動時（不與點M、N重合），^PAB=a,回產CO=B，判斷財產C、a、B之間的數量關系并說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時.請直接寫出財PC、a、B之間的數

量關系；

（3）如圖3,AB^CD,點P是48、CO之間的一點（點夕在點A、C右側），連接玄、PC,（28AP和團。CP

的平分線交于點Q.若0Ape=116。，請結合（2）中的規律，求ELAQC的度數.

圖1圖3

【變式11-2】(2022?四川?樹德中學七年級期末)(1)如圖①，已知力8IICD,圖中N1,乙2,43之間有什

么關系？

(2)如圖②，已知A8IICD,圖中乙1,乙2,乙3,Z4之間有什么關系？

(3)如圖③，已知ABIICD,請直接寫出圖中41,42,匕3,Z4,45之間的關系

(4)通過以上3個問題，你發現了什么規律?

【變式11-3】(2022?北京市第一零一中學溫泉校區七年級期末)喜歡思考的小澤同學，設計了一種折疊紙

條的游戲.如圖1,紙條的一組對邊PN團QM(紙條的長度視為可延伸)，在PN,QM上分別找一點A,B,

使得回ABM=a.如圖2,將紙條作第一次折疊，使與BA在同一條直線上，折痕記為

解決下面的問題:

(1)聰明的小白想計算當a=90。時，的度數，于是他將圖2轉化為下面的幾何問題，請幫他補全

問題并求解：如圖3,PN13QM,A,B分別在PN,QM上，且13ABM=90°,由折疊：8%平分,,

求叫/?1"的度數.

M'

伯3

（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿ARi折著紙條（如圖4）,是否有可

能使〃團BRi?如果能，請直接寫出此時a的度數；如果不能，請說明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當0。=40。時，將圖2汜為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折

疊，使與BR】在同一條直線上，折痕記為BRz（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使8M'與BR2

在同一條直線上，折痕記為BR3；...以此類推.

①第二次折疊時，M&N'=（用a的式子表示）；

②第n次折疊時，?BRW=（用a和n的式子表示）.

圖」酈

【考點12平行線中的轉角問題】

【例12】（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉學校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現將團CDE繞點C順時針旋轉，旋轉角為a（旋轉用0。＜。＜360。，請探究下列問題：

⑴如圖2,當旋轉角滿足0°VaW60。時，請寫出圓8CD與的關系，并說明理由；

⑵如圖3,當旋轉角滿足60。120。時，請寫出13BCE與（MC。的關系，并說明理由;

⑶當。石〃8c時請直接寫出旋轉角的度數.

【變式12-1】（2022?福建泉州?七年級期末）現有一-塊含30。角的直角三角板力08,其直角頂點0在直線2上,

將三角板A08繞著點。按逆時針方向旋轉42的度數（0。〈乙2〈360。）.

請你解決下列問題：

⑴當42的度數為多少時，ABWI（不必說理）；

⑵如右圖，作力C1Z于點C,8。，2于點。，試探究：圖中提供的字母或數字能表示的所有角：不包含該圖

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明.

【變式12-2】（2022?河南?漂河市邸城區邸城初級中學七年級期末）如圖1,已知PQIIMN,點4,8分別

在MN,PQ上，月/BAN=45。，射線繞點A順時針旋轉至4N便立即逆時針回轉（速度是//秒），射線

BP繞點8順時針旋轉至BQ便立即逆時針回轉（速度是"/秒）、且。、。滿足|。一3|+的一1）2=0,

圖1

⑴a=,b=；

（2）如圖2,兩條射線同時旋轉，設旋轉時間為，秒（￡<60）,兩條旋轉射線交于點C,過C作CD1AC^PQ

于點。，求乙B4C與NBCD的數量關系；

（3）若射線8P先旋轉20秒,射線AM才開始旋轉,設射線4M旋轉時間為f秒（t<160）,若旋轉中4MliBP,

求f的值.

【變式12-3]（2022?浙江湖州?七年級期末）如圖1,己知直線力訓。。，4cMN=60。，射線ME從3。出發,

繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉，到達MC后立即以相同的速度返回，到達MD后繼續改變方向，

繼續按上述方式旋轉；射線Nr從從4出發，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉，到達NB后停止運動,

此時ME也同時停止運動.其中a,b滿足方程組｛穿｝.

(1)求a,b的值;

⑵若Nr先運動30秒，然后ME一起運動，設ME運動的時間為t,當運動過程中MEIIN/時，求t的值；

(3)如圖2,若ME與NF同時開始轉動，在ME第一次到達MC之前,ME與NF交于點P,過點P作PQ1ME于

點、P，交直線48于點Q,則在運動過程中，若設4NME的度數為血，請求出4NPQ的度數(結果用含m的代

數式表示).

【考點13與角平分線有關的三角形內角和問題】

【例13】(2022?江蘇?漣水縣麻垛中學七年級階段練習)【認識概念】

如圖1,在AA8C中，若班4￡)=團DAE=(3EAC,MAD,AE叫做0BAC的“三分線”.其中，A。是“近A8三分

線”，AE是“遠三分線

【理解應用】

⑴在8c中，41=60。，48=70。，若財的三分線AO與回8的角平分線交于點P,則財戶5=

(2)如圖2,在AABC■中，R。、CO分別是0A5C的近三分線和0ACB近AC三分線，若BOSCO,求助的

度數；

A

圖2

【拓展應用】

（3）如圖3,在ZkABC中，80、C0分別是0ABe的遠BC三分線和MCB遠8C三分線，且zA=m。，直線尸Q

過點O分別交AC、BC于點P、0,請直接寫出團1-團2的度數[用含〃?的代數式表示）.

【變式13-1]（2022?江蘇揚州?七包級期末）如圖：PC、PB是（MCB、0ABC的平線，04=40?,WPC=

【變式13-2】（2022?全國?八年級專題練習）（1）如圖1,財=70°,BP、CP分別平分團48。和財。8,則13P

的度數是

(2)如圖2,(34=70°,BP、”分別平分(3E8C和0FC。,則團P的度數是

（3）如圖3,04=70°,BP、C尸分別平分財8C和酎CQ,求團P的度數.

A

ABA

P

【變式13-3】（2022?廣東韶關實臉中學七年級期中）如圖，AB^CD,點石是上一點，連垢CE.

（1）如圖1,若CE平分0ACQ,過點E作EM上CE交CD于點M,試說明M=213CME；

（2）如圖2,若A尸平分I3CA3,b平分（3OCE,且13尸=70°,求（MCE的度數.

（3）如圖3,過點石作曰W3CE交（3QCE的平分線于點M,M㈣CM交AB千點、N,CMAB,垂足為凡若財CW

=hECH請直接寫出（WNB與血4之間的數量關系.

【考點14利用平行線的判定與性質證明三角形中角度關系】

【例14】（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：三角形48。和同一平面內的點。.

⑴如圖①，點。在BC邊上，DEHBA交AC于點E,DF||AC'交于點尸若4EO尸=85。，則乙4的度數為;

（2）如圖②，點。在BC的延長線CM上，DFIICA交8/延長線于點F,OE在4FOM內部，若乙EDF=^BAC,

試說明DE||胡：

⑶如圖③，點。是三角形人"外部的一個動點，過點。畫。EII8A交直線力C于點￡畫。交直線4?于

點F，請用等式直接表示4ED尸與工員4。之間的關系.

【變式14-1】（2022?山東煙臺?期末）如圖，點。、E、尸分別在三角形A8C的三條邊上，點G在。尸上,

若叵1+團2=180。，團3=團4,。七與所在的直線存在什么位置關系？請詳細說明理由.

【變式14-2](2022?吉林?前郭縣一中七年級期末)兩個三角形HBC和DEC中，AACB=乙CDE=90°,〃=

60°,乙DCE=ZF=45°.

(1)當H3IIDC時，如圖①，求乙。CB的度數.

(2)當CD與C8重合時，如圖②，判斷DE與AC的位置關系，并說明理由.

(3)如圖③,當ABIIEC時，求乙DC8的度數?

【變式14-3】(2022?廣東?佛山市順德區勒流育賢實驗學校七年級期末)知識延展：三角形的一邊和另一邊

的反向延長線組成的角叫三角形的外角，如是三角股的外角.容易說明，三角形的一個外角等于與它

不相鄰的兩個內角和，如圖可得：0ACQ=a4十團&

請你用所學的知識和延展知識解決如下問題：

⑴如圖，(384。的平分線AE與團BCO的平分線CE交于點E,A碗CO,MOC=40。，財8c=30。，求財EC的

大小：

⑵如圖，(384。的平分線AE與財CO的平分線。上交于點E,^ADC=m\a4BC=〃。，求財反?的大小；

⑶如圖，國84。的平分線AE與貼CQ的平分線CE交于點￡則0AEC、0AQC、0ABC之間是否存在某種等

量關系？若存在，請你得出結論，說明理由；若不存在，請說明理由.

【考點15與平行線有關的三角形內角和問題】

[ft15](2022?遼寧盤錦?七年級期末)(1)問題情境:如圖1,ABIICD,乙PMB=140°,乙PND=120°,

求zMPN的度數:

NN

（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2,Z/1MP的角平分線與NCNP的角平分線交于點凡則NMFN的度

數為多少？請說明理由；

（3）問題拓展：如圖3,AB||