2025屆高考數(shù)學模擬試題（卷）（四）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】由，則，所以，所以，又，所以，則，.故選：A．2．若復(fù)數(shù)滿足，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.對應(yīng)的點在第一象限B.C.的虛部為D.【答案】B【解析】由兩邊乘以得，，所以對應(yīng)點在第四象限，的虛部為，，，所以B選項正確，ACD選項錯誤.故選：B3．已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由于，那么，，則，故選：C．4．已知向量滿足與垂直，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【詳解】由與垂直，得，則，所以1，所以當時，的最小值為故選：C5．二項式的展開式中，把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，得，所以展開式中的有理項有項，把展開式中的項重新排列，先把項無理項全排列，再把項有理項插入形成的個空中，所以有理項互不相鄰的排法種數(shù)為種.故選：D.6．已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為(

).A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，則，因為，所以，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.7．如圖所示，直三棱柱是一塊石材，測量得，，，．若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為（

）A．，3 B．，3 C．，4 D．，4【答案】A【解析】中，，，.則斜邊的長度為.當健身手球與直三棱柱的三個側(cè)面均相切時，健身手球的體積最大．易知，設(shè)健身手球的半徑為，則，解得．則健身手球的最大直徑為4．一個健身手球的最大體積.直三棱柱的高，則由，說明直三棱柱的高最多能容納個球的直徑長度，故加工成的健身手球的個數(shù)為.故選：D.8．已知函數(shù)（不恒為零），其中為的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的，，滿足，且，，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．關(guān)于點對稱D．【答案】D【詳解】A選項：由，令，則，即，A選項錯誤；B選項：令，可知，又不恒為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，令，則，即，即，又，則，所以，所以為奇函數(shù)，B選項錯誤；C選項：由B選項可知，兩邊同時求導(dǎo)可知，即函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，C選項錯誤；D選項：由B選項可知，即函數(shù)的一個周期，由上述分析和已知條件，，所以，D選項正確；故選：D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．某農(nóng)業(yè)研究所為了解種植新品種玉米的畝產(chǎn)量情況，從某地區(qū)隨機抽查100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：kg），整理出如下統(tǒng)計表：畝產(chǎn)量頻數(shù)102020155已知這100畝的畝產(chǎn)量均在內(nèi)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的極差介于400kg至600kg之間B．這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的中位數(shù)大于1100kgC．估計該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量不低于1000kg的占比為D．估計該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的平均值介于1150kg至1200kg之間【答案】AC【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的極差小于等于，大于，故A正確；由表可知，，所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1100kg，故B錯誤；估計該地區(qū)種植新品種玉米畝的產(chǎn)量不低于1000kg的占比為，故C正確；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畝產(chǎn)量在的有，估計該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的平均數(shù)，故D錯誤.故選：AC.10．棱長為2的正方體中，分別是的中點，點在線段上，點在底面內(nèi)部（包含邊界）.則下列說法中，正確的是（

）A．當點在棱上移動時，總存在點，使得成立B．當點在棱上移動時，存在點和，使得成立C．三棱錐體積的最大值是D．的最小值是【答案】ACD【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則，則有，設(shè)，則，則，對于A，若，則，解得，所以當點為的中點時，滿足題意，故A正確；對于B，若，則，且，，，故B錯誤；對于C，點在棱上時，的面積最大，此時，，故C正確；對于D，在平面內(nèi)作關(guān)于的對稱點，取中點，連接,則有，三點共線.由于平面，平面，則，故只需三點共線且時，取最小值.由于平面，這樣可使平面，又平面，從而，此時取最小值，由，,則，則，故D正確.故選：ACD.11．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A.當時， B.C.數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 D.當時，恒有11.【答案】ACD【解析】由題意可得：，，由可知：，但，可知對任意的，都有，對于選項A：若，則，即，故A正確；對于選項B：，即，故B錯誤.對于選項C：因為，，則，且，可知是等比數(shù)列，則，設(shè)，，可得，，因為，可知為遞增數(shù)列，所以數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故C正確；對于選項D：因為，，由，可得，即，則，即；由，可得，即，則，即；以此類推，可得對任意的，都有，又因為，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．等差數(shù)列的前項和為，若，，則．【答案】【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，即，所以數(shù)列的公差，所以，故答案為：13．一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，若刪去前后它們的百分位數(shù)相同，則．【答案】【詳解】原來有10個數(shù)據(jù)，，原來第百分位數(shù)為，刪去后有9個數(shù)據(jù)，，則第百分位數(shù)，依題意可得，解得．故答案為：14．2025春節(jié)檔國產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧海》接連破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標原點O，C上的點到兩定點的距離之積為定值.當時，C上第一象限內(nèi)的點P滿足的面積為，則.【答案】【詳解】因為原點在上，所以上的點到的距離之積為，設(shè)為C上任意一點，此時，整理得，因為的面積，所以，所以點是曲線C：與以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點，聯(lián)立，解得，所以故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，求.【解】（1）由正弦定理及，得，（2分）即，（4分）由余弦定理得，所以，（5分）因為,,成等比數(shù)列，所以，（6分）所以.（7分）（2）因為，整理得，（8分）因為，所以，所以，（10分）代入得，（12分）則根據(jù)正弦定理有.（13分）16．已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負求解即可；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，再構(gòu)造函數(shù)說明，再用作差法及基本不等式得出即可證明．【詳解】（1）的定義域為，當時，，則，解得，當時，，故在單調(diào)遞減；當時，，故在單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為．（2）由，解得，當時，，故在單調(diào)遞減；當時，，故在單調(diào)遞增；故，設(shè)，則，解得，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以，即，所以，當時等號成立，又，當時等號成立，故，得證．16．（15分）已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且點的橫坐標為6．（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線相交于，兩點，關(guān)于軸的對稱點為，證明：直線必過定點．【解析】（1）設(shè)點的坐標為，因為點在第一象限，所以，（1分）雙曲線的漸近線方程為，（2分）因為點在雙曲線的漸近線上，所以，（3分）所以點的坐標為，（4分）又點在拋物線上，所以，所以，（5分）故拋物線的標準方程為：；（6分）（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，（8分）方程的判別式，即，（9分）設(shè)，則，（10分）設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，（11分）則直線的方程為，（12分）根據(jù)拋物線的對稱性可知定點必定在軸上，令得：（13分）．（14分）直線過定點．（15分）18．（17分）如圖，三棱柱中，側(cè)面與底面垂直，且，，為側(cè)棱的中點，三棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）已知點在上，且，若平面，求實數(shù)的值；（3）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）因為平面，所以，又，所以，（1分）在中，，，所以，（2分）所以，所以，（3分）設(shè)三棱柱的高為，則，解得；（4分）（2）設(shè)的中點為，連接、，因為且，所以四邊形為平行四邊形，（5分）所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，，平面，（6分）所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，（7分）因為為的中點，所以為的中點，所以，即；（8分）（3）過點作于點，連接，因為側(cè)面與底面垂直，側(cè)面底面，所以平面，（9分）因為且，所以，又，平面，所以平面，（10分）又平面，所以，如圖建立空間直角坐標系，因為平面，所以，，則，，，，因為，則，所以，則，又，，（11分）設(shè)平面的法向量為，則，取，（12分）又，設(shè)平面的法向量為，則，取，（13分）設(shè)平面與平面的夾角為，則，（14分）所以平面與平面的夾角的余弦值為.（15分）19．（17分）2025年冰雪節(jié)來臨之際，搭建冰雕主題樂園需要大量的冰塊，A，B，C三個工程隊負責從冰凍的江中采出尺寸相同的冰塊.在雕刻的過程中，有時會導(dǎo)致冰塊碎裂，且一旦有裂痕冰塊就不能使用了.A，B，C三個工程隊所采冰塊總數(shù)之比為6：7：5，冰塊利用率即所使用冰塊數(shù)占所采冰塊總數(shù)的比例分別為0.8，0.6，0.6.在計算以上數(shù)值的過程中忽略了少量冰塊對計算結(jié)果的影響，這種思路可用于整個問題求解的過程中.現(xiàn)在從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取冰塊，用頻率估計概率.（1）若只取1塊，求它是由B隊所采的概率；（2）若抽取2塊，其中由A隊采出的冰塊數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望；（3）假設(shè)每年使用的冰塊數(shù)一樣多，已知往年任意一塊冰被利用的概率為0.65，那么能否判斷今年冰塊的利用率有顯著提升？你有什么好的建議？【解析】（1）由題意知，冰塊之間是沒有差異的，所以，從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取一塊抽到每一塊冰的可能性可以看作是相等的.因為A，B，C三個工程隊所采冰塊總量之比為6：7：5，（2分）所以若只取1塊，它是B隊所采的概率為.（3分）（2）據(jù)題意知在計算過程中可以忽略少量冰塊對計算結(jié)果影響，即可以將“從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取”看作是有放回的抽取.設(shè)事件A，B，C分別表示隨機抽取的一塊冰是由A，B，C二個隊分別采回的，（4分）與（1）同理可求得若只取1塊