安岳縣來鳳初級(jí)中學(xué)第18章

平行四邊形的性質(zhì)18.1.3平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)授課教師：吳青青學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用；（重點(diǎn)）2.綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明.（難點(diǎn)）問題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的哪些性質(zhì)？ADBC研究對(duì)象研究結(jié)果符號(hào)語言對(duì)邊對(duì)角鄰角平行且相等相等∠A＝∠C∠B＝∠D互補(bǔ)∠A+∠B＝180°思考：平行四邊形除了以上邊和角的特征，對(duì)角線有什么特征呢？這節(jié)課我們一起探討一下吧.AB∥CDAD∥BC一、知識(shí)回顧ACDBO●二、探究發(fā)現(xiàn)O猜想：OA

OCOB

OD＝＝證明：平行四邊形的對(duì)角線互相平分

平行四邊形的對(duì)角線：

已知：如圖,□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA=OC，OB=OD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

AD=BC，AD∥BC,∴∠1=∠2，∠3=∠4,在△AOD和△COB中，

∠1=∠2

AD=BC

∠3=∠4∴

OA=OC，OB=OD.（一）證明命題∴△AOD≌△COB（ASA）,互相平分ACDBO2314ACDBO平行四邊形的對(duì)角線互相平分.平行四邊形的性質(zhì)定理3符號(hào)語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

OA=OC，OB=OD（二）歸納性質(zhì)ADBC研究對(duì)象研究結(jié)果符號(hào)語言對(duì)邊平行且相等AB∥CDAD∥BC對(duì)角相等∠A＝∠C∠B＝∠D鄰角互補(bǔ)∠A+∠B＝180°平行四邊形的性質(zhì)ACDBO互相平分OA=OC，OB=OD對(duì)角線1.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,則下列說法一定正確的是(

)A.AO=OD B.AO⊥ODC.OB=OD D.AO⊥ABC（三）隨堂演練ACDBO2．【中考·清遠(yuǎn)】如圖，在?ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，則BC的長為()

A．4cmB．5cmC．6cmD．8cmA例5如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長為15，AB＝6，那么對(duì)角線AC與BD的和是多少？解：在?ABCD中：

∵AB=6,AO+BO+AB=15

∴AO+BO=15-6=9又∵AO=OC,BO=OD(平行四邊形的對(duì)角線互相平分）

∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18（四）例題講解ACDBO例6如圖，ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB，CD分別相交于點(diǎn)E、F(1)求證：OE=OFABCDFEO證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ODF=∠OBE

∠DFO=∠BEO∴△DOF≌△BOE（AAS）

∴OD=OB（平行四邊形對(duì)角線互相平分）又∵AB∥CD（平行四邊形對(duì)邊平行）∴OE=OF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）(2)求證：四邊形AEFD與四邊形BEFC的周長相等；證明：由(1)得△DOF≌△BOE，∴DF＝BE.又∵在?ABCD中，AB＝DC，∴AB－BE＝DC－DF.∴AE＝CF.又∵在?ABCD中，AD＝BC，四邊形AEFD的周長＝AE＋EF＋DF＋AD，四邊形BEFC的周長＝CF＋EF＋BE＋BC，∴四邊形AEFB與四邊形DEFC的周長相等．ABCDFEO(3)直線EF是否將

?ABCD的面積平分？解：由(1)可知△DOF≌△BOE同理易證△AOD≌△COB

△AOE≌△COF∴S四邊形AEFB＝S四邊形DEFC即直線EF將?ABCD的面積平分ABCDFEO思考：繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)直線EF是否還能將

?ABCD的面積平分？

任意畫直線EF能將

?ABCD的面積平分嗎？結(jié)論：過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，平分平行四邊形的面積。EF應(yīng)用：張大爺家有一塊平行四邊形的菜園，園中有一口水井P，如圖②所示，張大爺計(jì)劃把菜園平均分成兩塊，分別種植西紅柿和茄子，且使兩塊菜園共用這口水井，請(qǐng)你幫助張大爺把菜園分開．應(yīng)用：解：連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，作直線OP，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，則沿EF分開這塊菜園即可．(圖略)平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)平行四邊形對(duì)角線互相平分過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，平分平行四邊形的面積（五）課堂小結(jié)課后作業(yè)布置：1．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，則AB的范圍是_______．2．變式：如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，求證：AE＝