專題15與圓有關的位置關系

目錄

01理·思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：與圓有關的位置關系

知識模塊二：與切線有關的知識

知識模塊三：三角形的外接圓與內切圓

03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大基礎考點）

考點一：點與圓的位置關系

考點二：直線與圓的位置關系

考點三：圓與圓的位置關系

考點四：利用切線的性質求解

考點五：切線的性質與判定綜合

考點六：應用切線長定理求解或證明

考點七：由三角形外接圓求值

考點八：由三角形內切圓求值

考點九：三角形外接圓與內切圓綜合

04破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。（5大重難點）

重難點一：證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

重難點二：證明某直線是圓的切線（無明確的交點）

重難點三：直線與圓的最值問題

重難點四：胡不歸問題

重難點五：阿氏圓問題

05辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（1大易錯點）

易錯點1：討論與圓有關位置關系時漏解

1

知識模塊一：與圓有關的位置關系

知識點一：點與圓的位置關系

點和圓共有三種位置關系，分別是點在圓內，點在圓上，點在圓外，如下表所示：

已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，

點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系

點在圓內點P在圓內d<r

點在圓上點P在圓上d=r

點在圓外點P在圓外d>r

【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心的距離與半

徑的關系，可以確定該點與圓的位置關系．

2

知識點二：直線與圓的位置關系

直線和圓共有三種位置關系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：

設⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d

直線和圓的位置關系?相交相切相離

直線和圓有兩個公共點直線和圓只有一個公共點直線和圓沒有公共點時，

定義

時，叫做直線與圓相交時，叫做直線與圓相切叫做直線與圓相離

圖示

公共點個數2個1個無

圓心到直徑的距離d與

圓半徑r之間的大小關d<rd=rd>r

系

公共點名稱交點切點無

直線名稱交線/割線切線無

直線l與⊙O相交d<r直線l與⊙O相切d=r直線l與⊙O相離d>r

結論從左端推出右端是直線與圓的位置關系的性質，從右端推出左端是直線與圓的位置

關系的判斷.

知識點三：圓與圓的位置關系

設,的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關系如下表：

O1O2

位置關系圖形公共點個數性質及判定

外離無兩圓外離

??>?+?

外切1個切點兩圓外切

??=?+?

3

相交兩個交點兩圓相交

????<?<?+?

內切1個切點兩圓內切

??=???

內含無兩圓內含

?0≤?<???

兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心

線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.

知識模塊二：與切線有關的知識

知識點一：切線的性質定理與判定定理

切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．

切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經過

切點與圓心的直線）

【補充】1）經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；

2）經過切點且垂直于切線的直線必過圓心.

切線的判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

用切線的判定定理時,兩個條件缺一不可:1）經過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.

知識點二：切線長定理

切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．

【解題技巧】切線長定理經常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構造直角三角形來求解．

4

知識模塊三：三角形的外接圓與內切圓

知識點一：三角形的外接圓與外心

三角形外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.

三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交

點.

三角形的外心的性質：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.

知識點二：三角形內切圓與內心

三角形內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.

三角形的內心：內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條內角平分性的交點.

三角形的內心的性質：內心到三角形各邊的距離相等.

考點一：點與圓的位置關系

1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點在上，，．所

在的平面內有一點，若，則⊙點?與?的?位置關系4是3（?）⊙???⊥??∠???=30°⊙?

???=5?⊙?

A．點在上B．點在內C．點在外D．無法確定

【答案?】C⊙??⊙??⊙?

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解

題關鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結合特殊角的正弦值，求出

的半徑，即可得到答案．??=23∠???=60°⊙?

【詳解】解：如圖，令與的交點為，

為半徑，為弦，?且???，?

∵????，??⊥??

1

∴??=2??=23

5

∵∠???=30°，

在∴∠???=中2，∠???=60°，，，

△???∠?，??=90°∠???=60°??=23

??

∵sin∠???=??

，即的半徑為4，

??23

3

∴??=sin60°==4⊙?

，2

∵點??在=5>外4，

∴故選?：C⊙．?

2．（2022·吉林·中考真題）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作

圓，當點在內且點在外時，△?的??值可能∠是??（?=）90°??=5??=4??

?⊙??⊙??

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】先利用勾股定理可得，再根據“點在內且點在外”可得，由此即可得出

答案．??=3?⊙??⊙?3<?<5

【詳解】解：在中，，，，

∵△???，∠???=90°??=5??=4

22

∴點??在=??內?且?點?在=3外，

∵?⊙?，即?⊙?，

∴觀?察?四<個?選<項??可知，3只<有?選<項5C符合，

故選：C．

6

【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．

3．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）已知的半徑為，點到圓心的距離為，若關于的方程

2

不存在實數根，則點與的位置⊙關?系是（）1??????2?+?=0

A．點在外?⊙?B．點在上

C．點?在⊙?內D．無?法確⊙定?

【答案?】A⊙?

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點與圓的位置關系，根據一元二次方程根的情況，判斷

的取值范圍，再根據點與圓心的距離，判斷點與圓的位置關系，熟練掌握根的判別方法和判斷點與圓的位?

置關系的方法是解題的關鍵．

【詳解】解：由題意，得，

2

解得，Δ=??4??=4?4?<0

?>1，則點在外，

∴故?選>：?=．1?⊙?

A

考點二：直線與圓的位置關系

1．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，中，，，，以點為圓心，為半徑

4

作，當時，與的位置關?系??是??（?）∠?=90°??=5cos?=5??

⊙??=3⊙???

A．相離B．相切C．相交D．無法確定

【答案】B

【分析】根據中，，，求出AC的值，再根據勾股定理求出BC的值，比較BC

4

??????∠?=90°cos?=5

與半徑r的大小，即可得出與的位置關系．

【詳解】解：中，⊙???，，

4

∵??????∠?=90°cos?=5

cosA=

??4

∴??，=5

∵??=5

7

AC=4

∴BC=

22

∴當?時?，???與=3的位置關系是：相切

故選?=：3B⊙???

【點睛】本題考查了由三角函數解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關系等知識，利用勾股定理

解求出BC是解題的關鍵．

2．（2024·湖北·模擬預測）的三邊，，的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，為半

徑作圓，則該圓與直線的△位?置?關?系是（??）????2.4

A．相交B?．?相離C．相切D．以上都不是

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關系，先由勾股定理逆定理判斷

出為直角三角形，且，設斜邊上的高為，根據等面積法求出，即可得解．

【詳△解??】?解：∠???=90°，????=2.4

22222

為直角∵三??角形+?，?且=3+4=，25=??

設∴△斜?邊??上的高為，則∠???=90°，

11

????△???=2?????=2????

，

?????3×4

∴?=??=5=2.4

以頂點A為圓心，為半徑作圓，則該圓與直線的位置關系是相切，

∴故選：C．2.4??

3．（2023·湖北孝感·一模）已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線l的

2

距離，則直線與的位置⊙關?系是（）??3??4=0

A．相?切=6?⊙B．?相離C．相交D．相切或相交

【答案】B

【分析】本題考查一元一次方程的解法，直線與圓的位置關系等知識與方法，求出一元一次方程

2

的解并且判斷圓心到直線的距離與的半徑之間的大小關系是解題的關鍵．??3??

4設=0的半徑為，解一元?一次方?程?⊙?得?，，則，所以，可知直線

2

與圓⊙?相離，于是?得到問題的答案．??3??4=0?1=4?2=?1?=4?>??

【詳解?】解：設的半徑為，

解一元一次方程⊙??得，，

2

的半徑是一?元?二3次?方?1程=0?1=4?2的=一?個1根，

2

∵⊙?，??3??4=0

∴?=4

8

圓心到直線的距離，

∵?，??=6

∴?直>線?與相離，

∴故選：?B．⊙?

4．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標系中，點P（）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B

00

不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離可用公式?,?來計算．

??0+??0+?

22

??=?+?

例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝

（）

－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：．

??0+??0+?2×1+?1×2+115

2222

根據以上材料，解答下列問題：?=?+?=2+(?1)=5=5

（1）求點M（0，3）到直線的距離；

（2）在（1）的條件下，M?的=半徑3?r+＝94，判斷M與直線的位置關系，若相交，設其弦長

為n，求n的值；若不相⊙交，說明理由．⊙?=3?+9

【答案】（1）3；（2）直線與圓相交，

【分析】（1）直接利用公式計算即可；?=27

（2）根據半徑和點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系，再根據垂徑定理求弦長．

【詳解】解：（1）y＝x＋9可變形為x－y＋9＝0，則其中A＝，B＝－1，C＝9，

由公式可得∵333

3×0?3+9

2

?=2=3

點M到直線y＝3+x＋?19的距離為3，

∴（2）由（1）可知：3圓心到直線的距離d＝3，圓的半徑r＝4，

d＜r

∵直線與圓相交，

則∴弦長，

22

?=2×4?3=27

【點睛】本題考查了閱讀理解和圓與直線的位置關系，垂徑定理，解題關鍵是熟練運用公式求解和熟練運

用圓的相關性質進行推理和計算．

9

考點三：圓與圓的位置關系

1．（2024·上海·中考真題）在中，，，，點在內，分別以、、為圓

心畫，圓半徑為1，圓半徑△為?2?，?圓半?徑?=為33，?圓?=與4圓?內?切=，5圓與?圓△的??關?系是（）???

A．內含?B?．相交?C．外切??D?．相離?

【答案】B

【分析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據題意，作出圖形，數形結合，即可得到答案，熟記

圓的位置關系是解決問題的關鍵．

【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內切，

圓含在圓內∵，?即?，??

∴在?以為圓?心、?為?半=徑3的?圓1與=2邊相交形成的弧上運動，如圖所示：

∴??2△???

當到位置時，圓與圓圓心距離最大，為，

'22

，∴?????1+4=17

∵圓1與7<圓3相+交2=，5

∴故選?：B．?

2．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）實驗學校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓O1與O2的半徑為3

米，且O1經過O2的圓心O2．已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（⊙）⊙

⊙⊙

A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米

【答案】C

【分析】連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根據等邊三角形的判定得出AO1O2和BO1O2是等邊三角形，

根據等邊三角形的性質得出AO1O2＝AO2O1＝BO1O2＝BO2O1＝60°，△求出優弧△所對的圓心角的度數，

再根據弧長公式求出即可．∠∠∠∠??

10

【詳解】解：連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，

等圓O1與O2的半徑為3米，O1經過O2的圓心O2，

∵AO1＝⊙AO2＝⊙BO1＝BO2＝O1O2＝3⊙米，⊙

∴AO1O2和BO1O2是等邊三角形，

∴△AO1O2＝△AO2O1＝BO1O2＝BO2O1＝60°，

∴∠優弧所對∠的圓心角∠的度數是∠360°﹣60°﹣60°＝240°，

∴花壇的??周長為2×＝8π（米），

240?×3

∴180

故選：C．

【點睛】本題考查了相交兩圓的性質，弧長公式，等邊三角形的性質和判定等知識點，能求出圓心角的度

數是解此題的關鍵．

3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點，經過的圓心，若

，則圖中陰影部分的面積為（）⊙?1⊙?2⊙?1⊙?2?2?1?2=

2

A．B．C．D．

42

2?3??3?

【答案】D

【分析】先證明，再把陰影部分面積轉換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可．

【詳解】如圖，連△接???1≌，△??，?2

?2??1?

等圓和相交于A，B兩點

12

∵⊙?⊙?11

,

∴?1?2和⊥????是=等?圓?

∵⊙?1⊙?2

∴?1?=?1是?2等=邊?三1?角=形?2?

∴△?1?2?

∴∠?1?2?=60°,,

∵∠???1=∠???2=90°??=???1?=?2?

12

∴△???≌△???．

圖形圖形扇形2

60?22?

∴?=?△???1+????1=?△???2+????1=???1?2=360=3

故選：D．

【點睛】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質，扇形的面積公式，轉化思想是解題的關鍵．

考點四：利用切線的性質求解

1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與相切于點，為的直徑，過點作于點，

延長交直線于點．?⊙????⊙????⊥??

????

(1)求證：平分；

(2)如果??，∠???，求的半徑．

【答案】??(1=)見1解析??=3⊙?

(2)4

【分析】（1）連接，根據切線的性質可得出，結合題意可證，即得出，

再根據等邊對等角可?得?出，即得出??⊥?，即??平∥分??；∠???=∠???

（2）設的半徑為r，∠則???=∠???∠，???=∠．??再?根據勾??股定理∠可??列?出關于r的等式，求解

即可．⊙???=??+??=?+1??=?

【詳解】（1）證明：如圖，連接．

??

12

直線與相切于點，

∵?．⊙??

∴??⊥?，

∵??⊥?，

∴??∥??．

∴∠???=∠，???

∵??=??，

∴∠???=∠???，即平分；

∴（∠2?）?解?：=設∠???的半?徑?為r，∠則???，．

在中⊙，???，=??+??=?+1??=?

222

Rt△?????，+??=??

222

∴解?得+：3=，?+1

的?半=徑4為4．

∴【⊙點?睛】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質，同圓半徑相等，平行線的判定和性質，角平分線的判

定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關鍵．

2．（2024·北京·中考真題）如圖，是的直徑，點，在上，平分.

??⊙???⊙???∠???

(1)求證：；

??∥??

(2)延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，

??5

??⊙????????⊙??????=6??=1

求半徑的長.

【答⊙案?】(1)見解析

(2)

3

2

【分析】（1）根據題意，得，結合，得到，繼而得到，根

據平分，得到∠???=∠?，+繼∠而?得到??=??，可證∠?=∠?；∠???=2∠?

??∠???∠???=2∠???∠?=∠?????∥??

13

（2）不妨設，則，求得，證明

??=5?,??=6???=??+??=11?=??=????=??+??=11?+1

，，求得，取的中點M，連接，則，求得，

66?33?3

△???∽△???∠???=∠?????=5??????=5cos∠???=5

，結合切線性質，得到，解答即可.

33??????

cos∠???=5cos∠???=5=??=??+??=??+1

【詳解】（1）根據題意，得，

，∠???=∠?+∠?

∵??=??，

∴∠?=∠?，

∴∠??平?分=2∠?，

∵??∠???，

∴∠???=2∠?，??

∴∠?=∠?；??

∴??∥??

（2），，

??5

不妨設∵??=6??=1，則，

??=5?,??=6?，??=??+??=11?=??=??

∴??=??，+??=11?+1

∵??∥??，，

∴△???∽△，???∠???=∠???

????5

∴??=??=6

，

11?5

∴??=6

解得，

66?

??=5

取的中點M，連接，

則????

33?

??=5，

∵??=??，

∴??⊥??，

??3

∴cos∠???=??=5

，

3

∴cos是∠???的=切5線，

∵??⊙?，

∴??⊥??

14

，

3??????

∴cos∠???=5=??=??+??=??+1

解得，

3

??=2

故半徑的長為.

3

⊙?2

【點睛】本題考查了圓的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，三角形相似的判定和性質，切線的性

質，解直角三角形的相關計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質，切線的性質，解直角

三角形的相關計算是解題的關鍵.

3．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，過點C作的切線交

延長線于點D，點E為上一點，且⊙?△．?????⊙?????

????=??

(1)求證：；

(2)若垂?直?平∥分??，，求陰影部分的面積．

【答案??】(1)見解析????=3

(2)

93

【分3π析?】（41）如圖1，連接．則，即．由為直徑，可得，

即．則??∠?．?由?=90°，∠可??得?+∠???．=由90°??，可得∠．??則?=90°

∠1+∠??．?進=而90可°證∠???=．∠1??=??∠1=∠2??=??∠2=∠3

（∠?2?）?如=圖∠23，連接、??．由∥??垂直平分，可得．則為等邊三角形．，

．由?，?可得??????．由??=?，?可得△???．∠???=6．0證°明∠???=

1為2等0°邊三?角?形=．??則∠???=，∠???=30°．??∥??∠．?則=∠???=30°∠???=60°△???

．∠???=60°??=??=?．?∠???=30°．．，

扇形2

1120π×3

∠?=∠?????=??=??=??=??=3??=???sin60°?△???=2?????????=360

15

再根據陰影扇形，計算求解即可．

?=??????△???

【詳解】（1）證明：如圖1，連接．

??

圖1

為的切線，

∵??⊙?，即．

∴又∠???為=直9徑0°，∠???+∠???=90°

∵??，即．

∴∠???=90°．∠1+∠???=90°

∴∠???=∠，1

∵??=??．

∴∠1=∠2，

∵??=??．

∴∠2=∠3．

∴∠???=．∠3

（∴?2?）∥解?：?如圖2，連接、．

????

圖2

垂直平分，

∵??．??

∴又??=??，

∵??=為?等?邊三角形．

∴△???，．

∴∠???=6，0°∠???=120°

∵??=??．

∴∠???=，∠???=30°

∵??∥??

16

．

∴又∠?=∠???=，30°

∵∠???=9．0°

∴∠???=，60°

∵??=?為?等邊三角形．

∴△???，．

∴∠???=60°．??=??=??

∴∠???=30°．

∴∠?=∠???．

∴??=??=??=??=．??=3

33

∴??=???sin60°=2

．

193

∴?△???=2?????=4

又，

扇形2

120π×3

∵????=360=3π

陰影扇形，

93

∴?=??????△???=3π?4

陰影部分的面積為．

93

【∴點睛】本題考查了3切π線?的4性質，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判

定與性質，等邊三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，正弦，扇形面積等知識．熟練掌握相關圖形的

性質定理、正確添加輔助線是解題的關鍵．

考點五：切線的性質與判定綜合

1．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，是的直徑，點E，C在上，點C是的中點，垂直于

過C點的直線，垂足為D，的延長??線交⊙直?線于點F．⊙?????

??????

(1)求證：是的切線；

??⊙?

(2)若，，①求的半徑；②求線段的長．

1

??=2sin∠???=3⊙???

【答案】(1)證明見解析

17

(2)①3；②2

【分析】（1）根據等弧所對的圓周角相等和等邊對等角的性質，得到，推出，進而得

到，再利用圓的切線的判定定理即可證明結論；∠???=∠?????∥??

（2?）?①⊥?連?接，根據直徑所對的圓周角是直角和平行線的判定，得到，進而得到，

再利用銳角三?角?函數，求得，即可求出的半徑；??∥??∠???=∠???

②利用銳角三角函數，分別求??出=6和的長，⊙即?可得到線段的長．

【詳解】（1）證明：如圖，連接??，????

??

點C是的中點，

，∵??

∴??=??，

∴∠???=∠，???

∵??=??，

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∴??∥??，

∵??⊥??，

∴??是⊥??的半徑，

∵??是⊙?的切線；

∴（?2）?解⊙：?①如圖，連接，

??

是直徑，

，∵??

∴∠???=，90°

∴??⊥??，

∵??⊥??

18

，

∴??∥??，

∴∠???=∠??，?

1

∵sin∠???=3

，

??1

∴sin∠??，?=??=3

∵??=2，

∴??=的6半徑為；

∴②⊙由（?1）可知，3，

??，⊥??

??1

∴sin∠??，?=??=3，

∵??=3，??=??+??=3+??

31

∴3+??=，3

∴??=6，

∴??=??，+??=6+6=12

∵??⊥??，

????1

∴sin∠???，=??=12=3

∴??=4，

∵??=2．

∴【?點?睛=】?本?題??是?圓=和4三?角2形=綜2合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質，等腰三角形的性質，銳角三

角函數等知識，熟練掌握圓的相關性質，靈活運用正弦值求邊長是解題關鍵．

2．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為

上的一點．連接、、，且??⊙．??⊙???⊙???⊙?

????????=??

(1)求證：為的切線；

(2)延長?與?⊙的?延長線交于點D，求證：；

?????????=?????

19

(3)若，，求陰影部分的面積．

【答案∠?】?(?1)=見3解0°析??=8

(2)見解析

(3)

8

83?3π

【分析】（1）連接，證明，即可得證；

??△???≌△???

（2）根據，即可得證；

????

sin?=??=??

（3）根據圓周角定理得出，進而勾股定理求得，根據陰影扇形，

△??????

即可求解．∠???=2∠???=60°???=???

【詳解】（1）證明：∵是的切線，

∴??⊙?

如圖∠?所??示=，9連0接°

??

在與中，

△???△???

??=??

??=??

∴??=??

△???≌△???SSS

∴∵∠?為??=上∠?的?一?點=．90°

∴?是⊙?的切線；

（2?）?∵⊙?是的切線；

∴??，⊙?

∴??⊥??

????

∴sin?=??=??

（3?）?解??：?∵=?????，，

∴??=??∠，???=30°??=8

∠???=2∠???=60°

20

∵

∴??⊥??，

∴∠?=30°

1

∴??=2??，=4

??=43

∴陰影扇形

1602

?=?△????????=2×??×???360π×??

112

=×4×43?×4π

26

8

=83?π

【點睛】3本題考查了切線的性質與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，求扇

形面積，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．

考點六：應用切線長定理求解或證明

1．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切

于點，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數為（）????

???∠???=28°∠???

A．B．C．D．

【答2案8°】C50°56°62°

【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因為PA、PB分別相切

于點A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內角和即可求出∠APB．

【詳解】連接OB，

21

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=28°，

∴∠AOB=124°，

∵PA、PB切⊙O于A、B，

∴OA⊥PA，OP⊥AB，

∴∠OAP+∠OBP=180°，

∴∠APB+∠AOB=180°；

∴∠APB=56°．

故選：C

【點睛】本題考查切線的性質，三角形和四邊形的內角和定理，切線長定理，等腰三角形的性質等知識，

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造等腰三角形解決問題．

2．（2024·山西·模擬預測）如圖，是的直徑，點是上的一點，射線，，．與

相切時，連接，求的?長?．⊙??⊙???⊥????=10??=6??

⊙?????

【答案】

20

【分析】本??題=考3查了切線長定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握相關的知識．連

接，，，得到，根據勾股定理求出，根據切線長定理可得，，

推出???垂?直平??分，證∠?明??=90°，得到??=8，即可求解．??=????=??

【詳解??】解：如圖??，連接△，???，∽△?，????:??=??:??

??????

22

是的直徑，

，∵??⊙?

∴∠???=90°，

2222

∴??=?，????=10?6=8

∵??為⊥??的切線．

∴??與⊙?相切，

∵??⊙?，，

∴??=垂直??平分??=，??

∴????，，

∵∠???+∠???，=90°∠???+∠???=90°

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴△???∽△???，即．

∴??:??=．??:????:8=5:6

20

∴??=3

3．（2024·湖南長沙·模擬預測）在中，為的直徑，為過C點的切線．

△?????⊙???

(1)如圖①，以點為圓心，為半徑作圓弧交于點，連結，若，求的大小；

(2)如圖②，過點?作的切??線交于點，??求證：??；?∠???=66°∠???

?⊙????????=??

(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若，求的值．

3

tan?=4?△???:?△???

【答案】(1)

33°

23

(2)見解析

(3)

4

【分5析】本題考查圓周角定理，切線性質，三角函數的定義；

（1）由三角形內角和角的計算問題；

（2）連接，則，根據切線長定理得到，則，得到，即可

求解；??∠???=90°??=??∠???=∠???∠?=∠???

（3）根據，設，，則，再依據

3??3??

tan∠???=tan∠?=4=????=3???=4???=??=5?tan∠?=4=??=

，求出，，再求出，即可計算，，

4???5?16?20?10