§1.4基本不等式課標要求1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.1.基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立.(3)其中a＋b2叫做正數a，b的算術平均數，ab叫做正數a，2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)y＝x＋1x的最小值是2.(×(2)y＝x(2－x)的最大值是1.(√)(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.(√)(4)函數y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值為4.2.若函數f(x)＝x＋1x-2(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(A.1＋2 B.1＋3C.3 D.4答案C解析當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x-2＋2≥2(x-2)·1x-2＋2＝4，當且僅當x－2＝1x-2(x>2)，即x＝3時，取等號，即當f(x3.(多選)下列命題正確的是()A.若x<0，則x＋1x≤－B.若x>0，則x－1x≤－C.若x∈R且x≠0，則x＋1D.x2＋1x2答案ACD解析當x<0時有－x>0，則x＋1x＝－-x＋1-x≤當且僅當－x＝1-x，即x＝－1時等號成立，當x>0時，y＝x－1x單調遞增，其值域為R，B若x∈R且x≠0，則x＋1x＝|x|＋1x≥2當且僅當|x|＝1x，即x＝－1或x＝1時等號成立，Cx2＋1x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1－1當且僅當x2＋1＝1x2＋1，即x＝04.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，則1x＋1y答案5＋26解析1x＋1y＝1x＋1y(2x＋3y)＝5＋3yx＋2xy≥1.靈活應用兩個基本不等式的變形公式(1)ab＋ba≥2(a，b同號，當且僅當a＝(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b222.謹防兩個易誤點(1)在運用基本不等式時，要特別注意等號成立的條件，尤其是題目中多次使用基本不等式，等號成立的條件必須相同，否則會造成錯誤.(2)盡量對式子進行化簡、變形，再利用一次基本不等式求最值.題型一基本不等式的理解及常見變形例1(1)(多選)下列說法不正確的是()A.x＋4x的最小值是B.不等式ab≤a＋b22與C.x2＋D.存在a，使得a＋1a<2答案ABC解析對于A，當x>0時，x＋4x≥2x·4x＝4(當且僅當x＝2當x<0時，x＋4x＝－(-x)＋4-x≤－2(-x)·4-對于B，ab≤a＋b22恒成立，而ab≤a＋b2成立的條件為a對于C，y＝x2＋2＋1x2＋2≥2，等號成立的條件是x2對于D，存在a＝－1，使得a＋1a<2成立，故D正確(2)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A.b>a＋b2>a>ab B.b>ab>C.b>a＋b2>ab>a D.b>a>答案C解析∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>a＋b2∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.故b>a＋b2>ab思維升華基本不等式的常見變形(1)ab≤a＋b2(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a跟蹤訓練1(1)已知p：a>b>0，q：a2＋b22>a＋b2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析∵a>b>0，則a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴a2＋b22>a＋b當a<0，b<0時，q也成立，如a＝－1，b＝－3時，a2＋b22＝∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要條件.(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是()A.4ab≤(a＋b)2 B.a＋bC.2aba＋b≤a＋答案ABD解析A選項，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A選項正確；B選項，當a＋b>0時，a＋b2>0，則a＋b22－a2＋b222C選項，當a＋b>0時，2ab－(a＋b)22＝-(a-b)22≤0，即2ab≤(a＋b)22，2aba＋b≤aD選項，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤a2＋b2題型二基本不等式的性質命題點1直接法例2(1)若實數x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為()A.1 B.2 C.2 D.22答案D解析方法一由xy＝1得x2＋2y2≥2x2·2y當且僅當x2＝2y2，即x2＝2，y2＝22時，等號成立，x2＋2y2的最小值為22方法二x2＋2y2＝x2＋2y2xy＝xy＋2yx≥22，當且僅當x2＝2y2，即x2＝2，y2(2)當0<x<1時，3x(3－3x)的最大值為.

答案9解析由題意及基本不等式可知3x(3－3x)≤3x當且僅當x＝1－x，即x＝12時取等號命題點2配湊法例3(1)函數f(x)＝4x＋9x＋1，x∈(－1，＋∞)的最小值為A.6 B.8 C.10 D.12答案B解析因為x∈(－1，＋∞)，則x＋1>0，則f(x)＝4x＋9x＋1＝4(x＋1)＋9x＋1－4≥24(x＋1)當且僅當4(x＋1)＝9故函數f(x)＝4x＋9x＋1，x∈(－1，＋∞)(2)(2025·咸陽模擬)已知a>0，b>0，且1a＋1＋2b＋1＝1答案22＋1解析由a>0，b>0，1a＋1得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝1a＋1＋2b＋1[(a＋1)＝b＋1a＋1＋2(＝22＋1，當且僅當b＋1a＋1＝2(a＋1)b＋1，即a＝2，b＝與基本不等式模型結構相似的對勾函數模型如圖，對于函數f(x)＝x＋kx，k>0，x∈[a，b]，[a，b]?(0，＋∞)(1)當k∈[a，b]時，f(x)＝x＋kx≥2k，f(x)min＝f(k)＝k＋kk(2)當k<a時，f(x)＝x＋kx在區間[a，b]上單調遞增，f(x)min＝f(a)＝a＋k(3)當k>b時，f(x)＝x＋kx在區間[a，b]上單調遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋k因此，只有當k∈[a，b]時，才能使用基本不等式求最值，而當k?[a，b]時只能利用對勾函數的單調性求最值.典例函數f(x)＝x2＋3x2＋2答案3解析由f(x)＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋令x2＋2＝t(t≥2)，則有f(t)＝t＋3t－2由對勾函數的性質知，f(t)在[2，＋∞)上單調遞增，所以當t＝2時，f(t)min＝32即當x＝0時，f(x)min＝32命題點3常數代換法例4(多選)已知a，b為正實數，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，則下列結論正確的是()A.1a＋B.ab的最大值為4C.2a＋b的最小值為3＋22D.1a-1答案ACD解析因為a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.對于A，因為(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得1a＋1b＝對于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2ab(當且僅當a＝b＝2時取等號)，所以ab≥2，ab≥4，所以ab的最小值為4，B錯誤；對于C，2a＋b＝(2a＋b)1a＋1b＝3＋2ab＋b對于D，因為(a－1)(b－1)＝1，所以1a-1＋1b-1≥21(a-1)(b-1)＝2(當且僅當命題點4消元法例5已知實數x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，則2x＋y的最小值是()A.23 B.223 C.22 D答案B解析因為實數x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，所以x＝1-y則2x＋y＝2-2y23y＋y＝2當且僅當23y＝y3所以2x＋y的最小值是22命題點5構造不等式法例6(多選)(2024·鄭州模擬)已知正數a，b滿足a2＋b2＝1＋ab，則下列結論正確的是()A.a2＋b2的最小值為2B.a＋b的最大值為2C.1a2D.lga＋lgb<0答案BC解析對于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋a2＋b22，當且僅當a＝b時等號成立，則a2＋b2對于B，由ab≤a＋b22≤a2＋b22≤1，當且僅當a＝b時等號成立，得a＋b對于C，由1a2＋1b2＝a2＋當1ab＝1時，1a2＋1對于D，因為0<ab≤1，所以lga＋lgb＝lg(ab)≤0，當且僅當a＝b＝1時等號成立，故D不正確.思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有五種方法：一是直接法；二是配湊法；三是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；四是消元法；五是構造不等式法.跟蹤訓練2(1)(多選)(2024·威海模擬)已知a>0，b>0，a＋b＝1，則下列結論正確的是()A.ab的最大值為1B.1a＋C.a2＋b2的最小值為1D.1ab＋答案BCD解析對于A，1＝a＋b≥2ab?ab≤14，當且僅當a＝b＝12時取等號，故對于B，1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5當且僅當ba＝4ab,a＋b＝1,對于C，a2＋b2≥(a當且僅當a＝b＝12時取等號，故C對于D，1ab＋3ba＝(a＋b)2ab＋3ba＝2＋ab＋4b(2)(多選)(2025·青島模擬)若實數a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，則下列結論正確的是()A.a＋b≤8 B.ab≥16C.a＋3b≥4＋63 D.1a-1答案BCD解析對于選項A，由a＋b＋8＝ab≤a＋b22，當且僅當a＝b時等號成立，不妨設a＋則t2－4t－32≥0，解得t≥8或t≤－4，因為a>0，b>0，則a＋b≥8，故A項錯誤；對于選項B，由ab－8＝a＋b≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立，不妨設ab＝s，則s2－2s－8≥0，解得s≥4或s≤－2，因為s>0，則s≥4，即ab≥16，故B項正確；對于選項C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，則b－1>0，且a＝b＋則a＋3b＝b＋8b-1＋3b＝1＋9b-1＋3b＝4＋9b-1＋3(b－1)≥4＋當且僅當9b-1＝3(b－1)，即b＝3＋1，a＝33＋1時取等號，a＋3b有最小值4＋63，故對于選項D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，則1a-1＋4b-1由1a-1即當且僅當a＝52，b＝7時，1a-1＋4b課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.27答案B解析因為m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，當且僅當m＝n＝9時，等號成立，所以m＋n的最小值是18.2.若x>0，則函數y＝x2＋x＋A.6 B.7 C.10 D.11答案D解析∵x>0，∴y＝x2＋x＋25x＝x＋25x＋1≥當且僅當x＝25x，即x＝5∴函數y＝x2＋x3.(2024·亳州模擬)已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，則2x＋y的最小值為()A.8 B.4 C.82 D.42答案A解析方法一由x>0，y>0，2x＋y＝xy，可得y＝2xx-1>0，則則2x＋y＝2x＋2＝2(＝2(x－1)＋2x-1≥22(x-1)·2x當且僅當2(x－1)＝2x-1，即x＝所以2x＋y的最小值為8.方法二由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得2y＋1所以2x＋y＝(2x＋y)2y＋1x＝4xy＋y當且僅當4xy＝yx，2x即x＝2，y＝4時，等號成立，所以2x＋y的最小值為8.4.(2025·連云港模擬)設a>0，b>－1，且a＋b＝1，則1a＋1bA.1 B.2 C.4 D.8答案B解析因為a>0，b>－1，則b＋1>0，因為a＋b＝1，則a＋(b＋1)＝2，所以1a＋1b＋1＝12＝122＋ab當且僅當b＋1a因此1a＋15.(2024·漯河模擬)設正實數x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則xyz的最大值為(A.4 B.2 C.3 D.1答案D解析因為正實數x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則z＝x2＋y2－xy，所以xyz＝xyx2當且僅當xy＝yx(x>0，y>0)，即x＝y時，等號成立，故6.已知x>2，且x－y－2＝0，則x24＋2A.2 B.3 C.4 D.9答案D解析由題意得x＝y＋2>2，所以y>0，所以x2＋2y＝y＋22＋2y＝y2＋2所以x2＋2又因為x2所以x24＋二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.若m>0，n>0，且m＋2n＝1，則下列結論正確的是()A.mn≤18 B.m＋C.1m＋2n≥9 D.m2＋4答案AC解析對于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，則有mn＝12·m·2n≤1當且僅當m＝12，n＝14時等號成立，故對于B，(m＋2n)2由A可得mn≤18，故1＋22mn≤所以m＋2n≤2對于C，1m＋2n＝1m＋2n(m＋2n)＝5當且僅當m＝n＝13時等號成立，故C對于D，m2＋(2n)22≥m＋2n22＝14，即m2＋4n8.下列說法正確的是()A.函數y＝2x＋2x(x<0)的最大值是－B.函數y＝x2＋C.函數y＝x＋16x＋2(x>－2D.若x＋y＝4，則x2＋y2的最小值是8答案ACD解析A選項，對于函數y＝2x＋2x(x<0)2x＋2x＝－(-2x)＋2-x當且僅當－2x＝2-x，即x＝－1時等號成立，所以B選項，y＝x2＋10x2＋當x2＋9C選項，對于函數y＝x＋16x＋2(x>－2)，xx＋16x＋2＝x＋2＋16x＋2－2≥2當且僅當x＋2＝16x＋2，即x＝2D選項，由基本不等式得x2＋y所以x2＋y2≥2·x＋y22＝2×2當且僅當x＝y＝2時等號成立，所以D選項正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·南京模擬)已知x>12，則x＋12x-1答案2解析由于x>12，所以2x－1>0所以x＋12x-1＝當且僅當2x-12＝12x-1，即x＝10.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是.

答案4解析方法一∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝1-y∴x2＋y2＝1-y45y2＋y2＝當且僅當15y2＝4y25，即x2∴x2＋y2的最小值為45方法二由5x2y2＋y4＝1，可得y2(5x2＋y2)＝1，即4y2(5x2＋y2)＝4，又4＝4y2(5x2＋y2)≤4y2＋(5x2＋y2)2∴(x2＋y2)2≥1625，即當且僅當5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝310，y2＝12時取等號，∴x2＋y2的最小值是四、解答題(共28分)11.(13分)已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(6分)(2)2x＋y的最小值.(7分)解(1)因為x>0，y>0，根據基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(當且僅當x＝2y＝6時取等號)令xy＝t(t>0)，則t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值為18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30-x2＋x>0，0<x<30，2x＋y＝2x＋30-x2＋x＝2(x＋2)＋322＋當且僅當2(x＋2)＝322＋x，即x所以2x＋y的最小值為11.12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x3－3x，x∈[0，＋∞)的最小值.解：利用平均值不等式，對任意非負實數a，b，c，有a＋b＋c≥33abc(當且僅當a＝b＝c時等號成立)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，當且僅當x＝1時等號成立，即當且僅當x＝1時，x3－3x取到最小值－2(1)請模仿上述例題，求x4－4x，x∈[0，＋∞)的最小值；(提示：對任意非負實數a