§1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標(biāo)要求1.掌握等式性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法a-b>0?a>b,a-2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性：如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性：a>b?b<a；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種.(√)(2)若ba>1，則b>a.(×(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(×)(4)若1a>1b，則b<a.(×2.(多選)下列命題為真命題的是()A.若ac2>bc2，則a>bB.若a>b>0，則a2>b2C.若a<b<0，則a2<ab<b2D.若a<b<0，則1a>答案ABD解析C中，若a＝－2，b＝－1，則a2>ab>b2，故C錯(cuò)誤.3.設(shè)M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，則M與N的大小關(guān)系為()A.M>N B.M＝NC.M<N D.無(wú)法確定答案A解析因?yàn)镸－N＝(2a2＋5a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋a＋1＝a＋122＋34.若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足0<a<2，0<b<1，則a－b的取值范圍是.

答案(－1，2)解析∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，∴－1<a－b<2.1.熟練應(yīng)用兩個(gè)倒數(shù)性質(zhì)(1)a<0<b?1a<1(2)ab>0，a>b?1a<12.牢記四個(gè)常用不等式若a>b>0，m>0，則：(1)ba<b(2)ba>b-ma-m((3)ab>a(4)ab<a-mb-m(題型一數(shù)(式)的大小比較例1(1)(多選)下列不等式中正確的是()A.x2－2x>－3(x∈R)B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C.a2＋b2>2(a－b－1)D.ab<a＋2025b＋2025答案AD解析∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正確；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∵(a－b)2≥0，a＋b的符號(hào)不確定，∴a3＋b3與a2b＋ab2的大小不確定，故B錯(cuò)誤；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯(cuò)誤；用作差法比較a＋∵b>a>0，∴2025(b-∴ab<a＋2025b(2)若實(shí)數(shù)m，n，p滿(mǎn)足m＝4e35，n＝5e23，p＝18A.p<m<n B.p<n<mC.m<p<n D.n<p<m答案A解析因?yàn)閷?shí)數(shù)m，n，p滿(mǎn)足m＝4e35，n＝5e23，p＝18e2，則m>0，所以mn＝4e355e又mp＝4e3518e所以p<m<n.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知c>1，且x＝c＋1－c，y＝c－c-1，則A.x>yB.x＝y(tǒng)C.x<yD.x，y的關(guān)系隨c而定答案C解析方法一由題設(shè)，易知x>0，y>0，又xy＝c＋1-c方法二設(shè)f(x)＝x－x-1，定義域?yàn)閇1，＋則f(x)＝1x＋x-1，故f又c＋1>c>1，則f(c＋1)<f(c)，即x<y.(2)(多選)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是()A.b＋1a＋1>bC.a>ab>b D.a＋1b>b＋答案ACD解析對(duì)于A，因?yàn)閍>b>0，所以b＋1a＋對(duì)于B，ab>1>ba>0，故對(duì)于C，a>b>0，aab＝ab>1，所以a>ab，因?yàn)閍bb＝ab>1，所以ab>b，所以對(duì)于D，a＋1b－b－1a＝(a－b)1＋1ab題型二不等式的基本性質(zhì)例2(1)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若a>b，則ac>bcB.若a>b，c>d，則a－c>b－dC.若b<a<0，則1b>D.若a>b，c>d，則ac<bd答案ABD解析對(duì)于A，當(dāng)c＝0時(shí)，ac＝bc，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，滿(mǎn)足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若b<a<0，則－b>－a>0，所以1-b<1-a，則1b對(duì)于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－12，此時(shí)ac>bd，故D錯(cuò)誤(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是()A.a2>ab B.aa＋C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－1a>b－答案ABD解析對(duì)于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；對(duì)于B，∵a>b>0，∴1a<1b，∴1＋1a<1＋1b，即0<a＋1a<b＋對(duì)于C，令a＝1，b＝1e，則a＋b＋ln(ab)＝1＋1e＋ln1e＝對(duì)于D，易得y＝x－1x(x>0)為增函數(shù)，且a>b>0，故a－1a>b－1b，故思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)a，b∈R，則“a<b<0”是“1a2>1b2”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案D解析充分性：由a<b<0，可得－a>－b>0，則(－a)2>(－b)2>0，即a2>b2>0，兩邊同乘1a2b2，可得必要性：取特殊值a＝1，b＝2，滿(mǎn)足1a2>1b2，但不滿(mǎn)足a<b<0，不滿(mǎn)足必要性，所以“a<b<0”是“1a(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結(jié)論正確的是()A.ad>bcB.a(a＋c)>b(b＋d)C.da＋D.ac＋bd>ad＋bc答案BCD解析對(duì)于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，則ad＝bc，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，則a(a＋c)>b(b＋d)，故B正確；對(duì)于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，且da＋d<cb＋等價(jià)于ad>bc，等價(jià)于ac>bd，故對(duì)于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，則ac＋bd>ad＋bc，故D正確.題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(1)(多選)已知－1<a<5，－3<b<1，則下列結(jié)論正確的是()A.－15<ab<5 B.－4<a＋b<6C.－2<a－b<8 D.－53<a答案ABC解析因?yàn)椋?<a<5，－3<b<1，所以－1<－b<3，對(duì)于A，當(dāng)0≤a<5，0≤b<1時(shí)，0≤ab<5；當(dāng)0≤a<5，－3<b<0時(shí)，0<－b<3，則0≤－ab<15，即－15<ab≤0；當(dāng)－1<a<0，0≤b<1時(shí)，0<－a<1，則0≤－ab<1，即－1<ab≤0；當(dāng)－1<a<0，－3<b<0時(shí)，0<－a<1，0<－b<3，則0<ab<3，綜上，－15<ab<5，故A正確；對(duì)于B，－1－3＝－4<a＋b<5＋1＝6，故B正確；對(duì)于C，－1－1＝－2<a－b<5＋3＝8，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)a＝4，b＝12時(shí)，ab＝8，故D(2)(2024·遼寧縣域重點(diǎn)高中協(xié)作體模擬)公園的綠化率是指公園內(nèi)的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為am2，綠化面積為bm2(0<b<a)，現(xiàn)對(duì)該公園再擴(kuò)建2xm2，其中綠化面積為xm2，則擴(kuò)建后公園的綠化率與原來(lái)公園的綠化率相比()A.變大 B.變小C.不變 D.不確定答案D解析原來(lái)公園的綠化率為ba，擴(kuò)建后公園的綠化率為b則b＋所以b＋xa＋2x與ba思維升華利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點(diǎn)(1)必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì).(2)在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知2<a<3，－2<b<－1，則2a－b的取值范圍是()A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)答案D解析由題意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.(2)手機(jī)屏幕面積與整機(jī)面積的比值叫手機(jī)的“屏占比”，它是手機(jī)外觀設(shè)計(jì)中一個(gè)重要參數(shù)，其值通常在(0，1)之間.設(shè)計(jì)師將某手機(jī)的屏幕面積和整機(jī)面積同時(shí)增加相同的數(shù)量，升級(jí)為一款新的手機(jī)外觀，則該手機(jī)“屏占比”和升級(jí)前比()A.不變 B.變小C.變大 D.變化不確定答案C解析設(shè)原來(lái)手機(jī)屏幕面積為b，整機(jī)面積為a，則屏占比為ba(a>b>0)，設(shè)手機(jī)的屏幕面積和整機(jī)面積同時(shí)增加相同的數(shù)量為m(m>0)，升級(jí)后屏占比為b＋ma＋m，∴b＋m即該手機(jī)“屏占比”和升級(jí)前比變大.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，則下列結(jié)論正確的是()A.a>bB.a<bC.a≥bD.a，b的大小關(guān)系不確定答案B解析因?yàn)閎－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a<b.2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是()A.1a<1b B.2aC.a2>b2 D.|a|>|b|答案B解析取a＝1，b＝－2，滿(mǎn)足a>b，顯然有1a>1b，a2<b2，|a|<|b|成立，即選項(xiàng)A，C，指數(shù)函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，若a>b，則必有2a>2b，B正確.3.已知a，b，x均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是()A.若a<b，則a2026<b2026B.若a<b，則2026a<C.若ax2026<bx2026，則a<bD.若a<b，則ax2026<bx2026答案C解析當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，(－2)2026>12026，A錯(cuò)誤；當(dāng)a＝0時(shí)，2026a沒(méi)意義，B由ax2026<bx2026，知x2026>0，所以a<b，C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，ax2026<bx2026不成立，D錯(cuò)誤.4.A，B，C，D四名同學(xué)的年齡關(guān)系如下.A，C的年齡之和與B，D的年齡之和相同，C，D的年齡之和大于A，B的年齡之和，B的年齡大于A，D的年齡之和，則A，B，C，D的年齡關(guān)系是()A.B>C>A>D B.B>C>D>AC.C>B>A>D D.C>B>D>A答案D解析用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同學(xué)的年齡，則A>0，B>0，C>0，D>0.則A＋C＝B＋D，①C＋D>A＋B，②B>A＋D.③①＋②得C>B，①＋③得C>2D，②＋③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，由①得C－B＝D－A，∵C>B，∴C－B>0，∴D－A>0，∴D>A，綜上，C>B>D>A.5.已知－3<a<－2，3<b<4，則a2b的取值范圍為(A.(1，3) B.4C.23，3答案A解析因?yàn)椋?<a<－2，所以4<a2<9，而3<b<4，即14<1b<故a2b的取值范圍為(1，36.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＝0且a>b>c，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.bc>acB.a2>c2C.2ac－2bc<a2－b2D.(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2答案B解析因?yàn)閍＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，A選項(xiàng)，bc－ac＝(b－a)c>0，故bc>ac，A正確；B選項(xiàng)，不妨設(shè)a＝1，b＝0，c＝－1，此時(shí)滿(mǎn)足a＋b＋c＝0且a>b>c，但a2＝c2，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)閍＋b＋c＝0且a>b>c，所以a－b>0，a＋b－2c＝a－c＋b－c>0，a2－b2＋2bc－2ac＝(a＋b)(a－b)＋2c(b－a)＝(a－b)(a＋b－2c)>0，所以2ac－2bc<a2－b2，C正確；D選項(xiàng)，2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝2(a－b)2＋2(b－c)2－[(a－b)＋(b－c)]2＝2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－b)2－2(a－b)(b－c)－(b－c)2＝(a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)＝[(a－b)－(b－c)]2＝(a＋c－2b)2，因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝(－b－2b)2＝9b2≥0，故(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2，D正確.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知c>b>a，則下列結(jié)論正確的是()A.c＋b>2a B.1c-C.bc-b>ac-答案AB解析對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閏>b>a，所以c＋b>2a，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閏>b>a，所以c－a>c－b>0，所以1c-b>1c對(duì)于選項(xiàng)C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，滿(mǎn)足c>b>a，此時(shí)bc-b＝-2-1＋2＝－2，ac對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)c＝1，b＝－1，a＝－2時(shí)，ab＝2，ca＝1-2＝－12，此時(shí)a8.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，則()A.－1<x<2 B.－2<y<1C.x＋y的取值范圍是(－3，3)D.x－y的取值范圍是(－1，3)答案ABD解析因?yàn)椋?<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，則－5<5x<10，即－1<x<2，故A正確；又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正確；x＋y＝3(x＋2y)＋(2x-yx－y＝-(x＋2y)＋3(2x-y)三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知0<β<α<π2，則α－β的取值范圍是.答案0解析∵0<β<π2，∴－π2<－β又0<α<π2，∴－π2<α－β<又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π210.若a，b同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①a＋b>ab；②1a＋b請(qǐng)寫(xiě)出一組a，b的值.

答案a＝－1，b＝2(答案不唯一)解析容易發(fā)現(xiàn)，若將①式轉(zhuǎn)化為②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b與ab異號(hào)，顯然應(yīng)使a＋b>0，ab<0，當(dāng)a<0，b>0時(shí)，要使a＋b>0，則|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，要使a＋b>0，則|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.綜上，取任意兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值皆為合理答案.四、解答題(共28分)11.(13分)證明下列不等式：(1)已知a>b>c>d，求證：1a-d<1b-(2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：ea-c>eb-證明(1)∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，∴a－d>b－c>0，則1a-d(2)∵a>b>0，c<d<0，e<0，∴－c>－d>0，∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，則ea-∴ea-c12.(15分)已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(7分)(2)求3a－2b的取值范圍.(8分)解(1)a＝12[(a＋b)＋(a－b)]由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，∴－2≤12[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2，3].(2)設(shè)3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，則m＋n∴3a－2b＝12(a＋b)＋52(a－b∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤