§4.7三角函數中有關ω的范圍問題重點解讀在三角函數的圖象與性質中，ω的求解是近幾年高考的一個熱點內容，但因其求法復雜，涉及的知識點多，歷來是我們復習中的難點.題型一三角函數的單調性與ω的關系例1已知函數f(x)＝2sinωx-π6(ω>0)在0，π3上存在最值，且在2π3，A.0，23 C.52，83答案C解析當0<x<π3時，因為ω>0，則－π6<ωx－π因為函數f(x)在0，π3上存在最值，則ωπ3－當2π3<x<π時，2πω3－π6<因為函數f(x)在2π3，則2πω3-π6，πω所以2πω3-π6≥kπ-π2，πω-π6≤kπ＋π2所以32k－12≤k＋23(k∈Z)，解得k≤73且又因為ω>0，則k∈{0，1，2}.當k＝0時，0<ω≤23當k＝1時，1≤ω≤53當k＝2時，52≤ω≤又因為ω>2，因此ω的取值范圍是52思維升華確定函數的單調區間，根據區間之間的包含關系建立不等式，即可求ω的取值范圍.跟蹤訓練1已知函數y＝sinωx＋π3(ω>0)在區間-π6，π3答案0解析函數y＝sinωx＋π3(ω>0)在區間當－π6<x<π3時，－πω6＋π3<ωx＋π3<πω3＋π3因此-而ω>0，解得0<ω≤1所以ω的取值范圍是0，題型二三角函數的對稱性與ω的關系例2(2025·杭州模擬)已知ω≠0，函數f(x)＝sinωx＋π3在0，π2A.133<ω≤193 B.73<C.－233≤ω<－173 D.－173≤ω答案C解析∵x∈0①當ω>0時，ωx＋π3∈若f(x)在0，π2上有兩個極小值，則f(x)至少有4②當ω<0時，ωx＋π3∈又函數f(x)＝sinωx＋π3在∴－7π2≤πω2＋π3<－5π2，綜上，－233≤ω<－17思維升華三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為T2，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為T4，這就說明，我們可根據三角函數的對稱性來研究其周期性，解決問題的關鍵在于運用整體代換的思想，建立關于ω的不等式組，跟蹤訓練2(2024·銅川模擬)已知函數f(x)＝2sinωx＋π3(ω>0)滿足f

2π3-x＝f

xA.23 B.12 C.1 D答案A解析由已知可得函數f(x)＝2sinωx＋π3(ω>0)滿足f

2π3即f

π4-x＝所以f(x)的圖象關于直線x＝π4對稱所以πω4＋π3＝π2＋所以ω＝4k＋23(k∈Z)又ω>0，所以當k＝0時，ω取得最小值為23題型三三角函數的最值與ω的關系例3已知函數f(x)＝2sinωx在區間-π3，π4上的最小值為－2，則實數答案(－∞，－2]∪3解析顯然ω≠0.若ω>0，當x∈-π3，π4時，－π3ω因為函數f(x)＝2sinωx在區間-π3，π4上的最小值為－2，所以－π3ω≤－若ω<0，當x∈-π3，π4時，π4ω因為函數f(x)＝2sinωx在區間-π3，π4上的最小值為－2，所以π4ω≤－π綜上所述，符合條件的實數ω的取值范圍是(－∞，－2]∪32思維升華利用三角函數的最值與對稱軸或周期的關系，可以列出關于ω的不等式(組)，進而求出ω的值或取值范圍.跟蹤訓練3已知函數f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)，若fπ6＝fπ2，且f(x)在區間π6，π2答案1解析由題意知當x＝π3時，f(x)取得最大值即π3ω＋π3＝2kπ＋π2(k∈解得ω＝6k＋12(k∈Z)又π2－π6＝π3<T，即又ω>0，所以ω＝12題型四三角函數的零點與ω的關系例4(2025·福州模擬)已知函數f(x)＝sinωx＋π4(ω>0)在[0，2]內有且僅有5個零點，則f(x)在[0，2]內的極值點個數為A.4 B.4或5C.5 D.5或6答案D解析因為ω>0，當x∈[0，2]時，π4≤ωx＋π4≤2ω由函數f(x)在[0，2]內有且僅有5個零點，得5π≤2ω＋π4<6π當5π≤2ω＋π4<112π時，函數f(x)在[0，2]內有5個極值點，當112π≤2ω＋π4<6π時，函數f(x)在[0，2]所以f(x)在[0，2]內的極值點個數為5或6.思維升華三角函數兩個零點之間的“水平間隔”為T2，根據三角函數的零點個數，可以研究ω跟蹤訓練4(2023·新高考全國Ⅰ)已知函數f(x)＝cosωx－1(ω>0)在區間[0，2π]上有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是.

答案[2，3)解析因為0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，則cosωx＝1有3個根，令t＝ωx，則cost＝1有3個根，其中t∈[0，2ωπ]，結合余弦函數y＝cost的圖象性質可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.課時精練[分值：52分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知函數f(x)＝Asinωx＋π3(A>0，ω>0)的圖象向左平移3π4個單位長度后與原圖象重合，則實數ωA.43 B.83 C.163 答案B解析由題可知，3π4即3π4＝2πω×k，k∈Z，解得ω＝8又ω>0，故其最小值為832.(2025·呼和浩特模擬)已知函數f(x)＝sinωx-π3(ω>0)在區間[0，π]上有且僅有兩條對稱軸，則ω的取值范圍是A.116，176C.116，176答案A解析x∈[0，π]，ω>0，則ωx－π3∈函數f(x)＝sinωx-π3(ω>0)在區間[0，π則3π2≤ωπ－π3<5π2，故3.為了使函數y＝sinωx(ω>0)在區間[0，1]上至少出現50次最大值，則ω的最小值為()A.98π B.197π2 C.199π2 D答案B解析由題意，在[0，1]上至少出現50次最大值即在[0，1]上至少有4914個周期，即1974個周期，所以1974T＝1974·所以ω≥197π2，ω的最小值為4.(2025·內江模擬)設函數f(x)＝2sinωx＋π6(ω>0)，若存在x1，x2∈-π3，π3ω，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2A.[4，＋∞) B.(4，6]C.[6，＋∞) D.(6，10]答案A解析∵f(x)＝2sinωx＋π6(ω∴當x∈-π3，π3ω時易知0∈-π3，π3ω，又2sin-7π6＝1，∴若存在x1，x2且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，則－πω3＋π6≤－7π5.(2024·廣州模擬)設函數f(x)＝sinωx-π4(ω>0)，已知方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且僅有2個不相等的實數根，則ω的取值范圍是A.0，34 C.78，118答案C解析∵f(x)＝sinωx-π4(ω∴當x∈[0，2π]時，ωx－π4∈∵方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且僅有2個不相等的實數根，∴3π2≤2πω－π4<5π2，解得786.(2024·銀川模擬)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)A，ω>0，|φ|≤π2，若x＝π3為f(x)的零點，直線x＝－π6是f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在區間πA.π6 B.－π6 C.π3 D答案B解析因為f(x)的最小正周期T＝2πω，且f(x)在區間π66，7π66又ω>0，故0<ω≤11，①又因為x＝π3為f(x)的零點，直線x＝－π6是f(x)所以π3－-π6＝T4＋k·T2＝2k＋14·2πω＝π2(k由①②得0<ω≤11且ω為奇數，當ω＝11時，將x＝－π6代入ωx＋φ令11×-π6＋φ＝k'π(k'∈Z得φ＝k'π＋11π6(k'∈Z)又|φ|≤π2，故取k'＝－2，得φ此時f(x)＝Acos11x-π6(驗證當π66<x<7π66時，0<11x－π滿足f(x)在區間π66，故實數ω的最大值為11，此時φ＝－π6二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·北京模擬)已知函數f(x)＝sinωx(ω>0)在-π4，2π3上單調遞增，那么常數A.14 B.12 C.34 答案ABC解析f(x)＝sinωx(ω>0)在-π4，2π3上單調遞增，則ω·2π3≤∴0<ω≤34，∴選項ABC8.(2025·江門模擬)已知函數f(x)＝sin2ωx＋π3＋sin2ωx-π3＋23cos2ωx－3(A.若f(x)相鄰兩條對稱軸的距離為π2，則ωB.當ω＝1，x∈0，π2時，f(x)的值域為[－C.當ω＝1時，f(x)的圖象向左平移π6個單位長度得到圖象的函數解析式為y＝2cosD.若f(x)在區間0，π6內有且僅有兩個零點，則5答案BCD解析f(x)＝12sin2ωx＋32cos2ωx＋12sin2ωx－32cos2ωx＋3＝sin2ωx＋3cos2ωx＝2sin2A項，若f(x)相鄰兩條對稱軸的距離為π2，則T＝π＝2π2ω，∴ωB項，f(x)＝2sin2x＋π3，當x∈0，π2時，2x＋π3∈πC項，當ω＝1時，f(x)的圖象向左平移π6個單位長度得到圖象的函數解析式為y＝2sin2x＋π6＋π3D項，f(x)＝2sin2ωx＋π3，當x∈0，π6時，ω>0若f(x)在區間0，π6內有且僅有兩個零點，則2π≤ωπ3＋π3<3π，∴三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·上海模擬)已知函數f(x)＝2sinωx＋π6－1(ω>0)在(0，π)內恰有兩個零點，則實數ω的取值范圍為答案2解析令f(x)＝0，∴sinωx∵x∈(0，π)，ω>0，∴ωx＋π6∈∵f(x)在(0，π)內恰有兩個零點，故13π6<ω