§10.6二項分布、超幾何分布與正態分布課標要求1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態曲線了解正態分布的概念，并進行簡單應用.1.二項分布(1)伯努利試驗只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).(3)兩點分布與二項分布的均值、方差①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).②若X~B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min3.正態分布(1)定義若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，(2)正態曲線的特點①曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；②曲線在x＝μ處達到峰值1σ③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態分布的均值與方差若X~N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩點分布是二項分布當n＝1時的特殊情形.(√)(2)若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數，則X服從二項分布.(√)(3)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數X服從超幾何分布.(×)(4)當μ取定值時，正態曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”.(×)2.已知隨機變量ξ~B(4，p)，若E(ξ)＝2，則P(ξ＝3)等于()A.12 B.C.18 D.答案B解析因為隨機變量ξ~B(4，p)，由E(ξ)＝2，得4p＝2，解得p＝12所以P(ξ＝3)＝C43×123.在含有3件次品的10件產品中，任取4件，X表示取到的次品的個數，則P(X＝1)＝.

答案1解析由題意得P(X＝1)＝C34.已知隨機變量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，則P(X<4)的值為.

答案0.8解析因為X~N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，所以μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，所以P(X<4)＝1－0.2＝0.8.1.若X~N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.2.“恰好發生k次”與“有指定的k次發生”不同：恰好發生k次的概率P＝Cnkpk(1－p)n－k，有指定的k次發生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n3.“二項分布”與“超幾何分布”的區別：有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.4.超幾何分布有時也記為X~H(n，M，N)，其均值E(X)＝nMN，方差D(X)＝nM題型一二項分布例1(2024·大慶模擬)2024年7月12日，國家疾控局會同教育部、國家衛生健康委和體育總局制定并發布了《中小學生超重肥胖公共衛生綜合防控技術導則》，其中一級預防干預技術的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學準備發布健康飲食的倡議，提前收集了學生的體重和飲食習慣等信息，其中學生飲用含糖飲料的統計結果如下：學校有14的學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學生的肥胖率為13；而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學生的肥胖率為(1)若從該中學的學生中任意抽取一名學生，求該生肥胖的概率；(2)現從該中學的學生中任意抽取三名學生，記X表示這三名學生中肥胖的人數，求X的分布列和數學期望.解(1)設“學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升”為事件A，則P(A)＝14，P(A)＝3設“學生肥胖”為事件B，則P(B|A)＝13，P(B|A)＝2由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)＝13×14＋所以從該中學的學生中任意抽取一名學生，該生肥胖的概率為14(2)由題意可知，X~B3，14，且X的可能取值為0，1，2P(X＝0)＝C30×14P(X＝1)＝C31×14P(X＝2)＝C32×14P(X＝3)＝C33×14所以X的分布列為X0123P272791X的數學期望E(X)＝3×14思維升華二項分布問題的解題關鍵(1)定型：①在每一次試驗中，事件發生的概率相同.②各次試驗中的事件是相互獨立的.③在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生.(2)定參：確定二項分布中的兩個參數n和p，即試驗發生的次數和試驗中事件發生的概率.跟蹤訓練1某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了50名男生和50名女生，通過調查得到如下數據：50名女生中有10人課間經常進行體育活動，50名男生中有20人課間經常進行體育活動.(1)請補全2×2列聯表，試根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷性別與課間經常進行體育活動是否有關聯；性別體育活動合計課間不經常進行體育活動課間經常進行體育活動男女合計(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的男生中任取4人，記其中課間經常進行體育活動的人數為X，求X的分布列、數學期望和方差.附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝n(ad-bc)2(a＋b)(解(1)依題意，列出2×2列聯表如下：性別體育活動合計課間不經常進行體育活動課間經常進行體育活動男302050女401050合計7030100零假設為H0：性別與課間經常進行體育活動相互獨立，即性別與課間是否經常進行體育活動無關.因為χ2＝100×(30×10-20×根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為性別與課間是否經常進行體育活動有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.(2)由題意得，50名男生中課間經常進行體育活動的頻率為2050所以在本校男生中隨機抽取1人為課間經常進行體育活動者的概率為25由題意得X~B4，則P(X＝k)＝C4k25k1-254-k，k＝可得P(X＝0)＝C40×25P(X＝1)＝C41×25P(X＝2)＝C42×25P(X＝3)＝C43×25P(X＝4)＝C44×25X的分布列為X01234P812162169616X的數學期望為E(X)＝np＝4×25X的方差為D(X)＝np(1－p)＝4×25×1-題型二超幾何分布例2為了進一步推動智慧課堂的普及和應用，A市現對全市中小學智慧課堂的應用情況進行抽樣調查，統計數據如表：經常應用偶爾應用或者不應用合計農村40城市60合計10060160從城市學校中任選一個學校，偶爾應用或者不應用智慧課堂的概率是14(1)補全2×2列聯表，根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為智慧課堂的應用與區域有關？(2)在經常應用智慧課堂的學校中，按照農村和城市的比例抽取5個學校進行分析，然后再從這5個學校中隨機抽取2個學校所在的地域進行核實，記其中農村學校有X個，求X的分布列和數學期望.附：χ2＝n(ad-bc)2(a＋b)(α0.10.050.005xα2.7063.8417.879解(1)設城市學校共有x所，因為從城市學校中任選一個學校，偶爾應用或者不應用智慧課堂的概率是14所以x-60解得x＝80，即城市學校有80所，補全列聯表如下：經常應用偶爾應用或者不應用合計農村404080城市602080合計10060160零假設為H0：智慧課堂的應用與區域無關，χ2＝n＝160≈10.667>7.879，所以根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以認為智慧課堂的應用與區域有關.(2)在經常應用智慧課堂的學校中，農村和城市的比例是2∶3，所以抽取的樣本中有2個是農村學校，3個是城市學校，再從樣本中抽取2個，則X的可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝C2P(X＝1)＝C2P(X＝2)＝C2所以X的分布列為X012P331X的數學期望E(X)＝0×310＋1×35＋2×思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型.跟蹤訓練2(2024·聊城模擬)隨著互聯網的普及、大數據的驅動，線上線下相結合的新零售時代已全面開啟，新零售背景下，即時配送行業穩定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優化自身服務，提高客戶滿意度，在其A，B兩個分公司的客戶中各隨機抽取10位客戶進行了滿意度評分調查(滿分100分)，評分結果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數；(2)規定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機抽取3人繼續溝通不滿意的原因及改進建議，設被抽到的3人中分公司B的客戶人數為X，求X的分布列和數學期望.解(1)將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因為20×25%＝5，所以抽取的這20位客戶評分的第一四分位數為73＋77(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.所以X的所有可能取值為1，2，3.P(X＝1)＝C2P(X＝2)＝C2P(X＝3)＝C2所以X的分布列為X123P331X的數學期望E(X)＝1×310＋2×35＋3×題型三正態分布例3(1)(多選)(2024·南京模擬)已知三個密度函數fi(x)＝1σi2πe-(x-μi)22σi2(xA.μ1＝μ2>μ3B.σ1＝σ2<σ3C.若X~N(1，σ12)，P(X<2)＝0.7，則P(0<X<2)D.若X~N(μ2，σ22)，Y~N(μ3，σ32)，則存在實數x0，使得P(X<x0)＝P(Y答案BCD解析根據正態曲線關于x＝μ對稱，且μ越大曲線越靠近右邊，則μ1<μ2＝μ3，故A錯誤；又σ越小數據越集中，曲線越瘦高，則σ1＝σ2<σ3，故B正確；X~N(1，σ12)，P(X<2)＝0.7，則P(1<X<2)＝0.7－0.5＝0.2，所以P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4，故若X~N(μ2，σ22)，Y~N(μ3，σ32)，μ2＝μ3，則存在實數x0＝μ2＝μ3，使P(X<x0)＝P(Y<x0)(2)(多選)(2024·新課標全國Ⅰ)隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N(1.8，0.12)，假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布N(x，s2)，則()(若隨機變量Z服從正態分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8答案BC解析依題可知，x＝2.1，s2＝0.01，所以Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413，所以C正確，D錯誤；因為X~N(1.8，0.12)，所以P(X<1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)≈0.1587，所以B正確，A錯誤.思維升華解決正態分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標準差為σ.(3)分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x＝0.跟蹤訓練3(2024·洛陽質檢)某教學研究機構從參加高考適應性考試的20000名優秀考生中隨機抽取了200人對其數學成績進行了整理分析，作出了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)根據頻率分布直方圖，同一組數據用該組區間的中點值作代表，求得這200名考生數學成績的平均數為x＝110.據此估計這20000名優秀考生數學成績的標準差s；(2)根據以往經驗，可以認為這20000名優秀考生的數學成績X近似服從正態分布N(μ，σ2)，其中參數μ和σ可以分別用(1)中的x和s來估計.記考生本次考試的各科總成績為Y，若Y＝5X－10，試估計這20000名優秀考生中總成績Y∈[600，660]的人數.另：6≈2.4；若X~N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取的200名考生數學成績的方差估計值為s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150.故估計這20000名考生數學成績的方差為150，標準差s＝150＝56≈5×2.4＝12.(2)由(1)知μ可用x＝110來估計，σ2可用s2＝150來估計.故X~N(110，150).σ＝150＝56≈12.又P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝P≈0.9545-0.68272＝0.1359故P(122≤X≤134)≈0.1359.又Y＝5X－10，所以P(600≤Y≤660)＝P(600≤5X－10≤660)＝P(122≤X≤134)≈0.1359.故這20000名優秀考生中總成績在[600，660]的人數約為20000×0.1359＝2718.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知隨機變量ξ~B6，23，則P(ξ＝2)等于A.1243 B.C.20243 D.答案C解析由題意可知P(ξ＝2)＝C62×232.若隨機變量X服從正態分布N(3，σ2)，P(X≤5)＝0.55，則P(X<1)等于()A.0.45 B.0.55C.0.1 D.0.9答案A解析因為隨機變量X服從正態分布N(3，σ2)，所以P(X≤5)＝P(X≥1)＝0.55，所以P(X<1)＝1－P(X≥1)＝1－0.55＝0.45.3.數學老師從6道題中隨機抽3道檢測學生，規定至少要解答正確2道題才能及格.某學生只能正確求解其中的4道題，則該學生能及格的概率為()A.45 B.C.35 D.答案A解析由題意知抽取3道題該學生不及格的情況只有只對一道題一種情況，則只答對一道題的概率為P＝C41C4.數軸上一個質點在隨機外力的作用下，從原點O出發，每隔1秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為25，向左移動的概率為35，共移動8次，則質點位于－2的位置的概率是(A.254C.C83答案D解析依題意此實驗滿足8重伯努利實驗，設向左移動次數為X，則X~B8，35，從原點O出發，共移動8次，最后質點位于－2，則需向右移動3次，向左移動5次，所以質點位于－2的位置的概率為P(X＝5)5.從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，抽到的女生人數的數學期望為()A.32 B.C.95答案A解析抽到的女生人數X可能為0，1，2，3，P(X＝0)＝C7P(X＝1)＝C7P(X＝2)＝C7P(X＝3)＝C7所以E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋36.泊松分布是一種描述隨機現象的概率分布，在經濟生活、事故預測、生物學、物理學等領域有廣泛應用，泊松分布的概率分布列為P(X＝k)＝λkk！e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e為自然對數的底數，λ是泊松分布的均值.若隨機變量X服從二項分布，當n很大且p很小時，二項分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X~B(n，p)，P(X＝i)＝e-np(np)ii！(n∈N*)參考數據：A.99% B.97%C.92% D.74%答案C解析由題意得n＝100，p＝0.01，泊松分布可作為二項分布的近似，此時λ＝100×0.01＝1，所以P(X＝k)＝1k！e－P(X＝0)＝10！e－1＝P(X＝1)＝11！e－1＝P(X＝2)＝12！e－1＝正品率大于97%的概率為P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1e二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列判斷正確的是()A.若隨機變量ξ服從0－1分布，且P(ξ＝0)＝0.35，則P(ξ＝1)＝0.7B.若隨機變量ξ~B3，12，則D(ξC.若隨機變量ξ~H(3，3，10)，則E(ξ)＝0.9D.若隨機變量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)＝0.8，則P(ξ<－1)＝0.2答案BCD解析若ξ服從0－1分布，則P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.65，故A錯誤；若隨機變量ξ~B3，12，則D(ξ)＝3×12×若隨機變量ξ~H(3，3，10)，則E(ξ)＝3×310＝0.9若隨機變量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)＝0.8，則P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝1－0.8＝0.2，故D正確.8.若隨機變量X服從正態分布N(6，4)，且P(2<X<10)＝m，P(4<X<8)＝n，則()A.P(7<X<9)>P(1<X<3)B.E(2X＋1)＝13C.P(4<X<10)＝mD.D(2X＋1)＝8答案ABC解析隨機變量X服從正態分布N(6，4)，則μ＝6，σ＝2，P(7<X<9)＝P(3<X<5)>P(1<X<3)，A正確；E(X)＝μ＝6，則E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝13，B正確；由P(2<X<10)＝m，P(4<X<8)＝n，得P(6<X<10)＝m2，P(4<X≤6)＝n2，因此P(4<X<10)＝P(4<X≤6)＋P(6<X<10)＝m＋D(X)＝σ2＝4，則D(2X＋1)＝4D(X)＝16，D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南通調研)已知隨機變量X~N(4，42).若P(X<3)＝0.3，則P(3<X<5)＝，若Y＝2X＋1，則Y的方差為.

答案0.464解析由題意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，所以D(Y)＝4D(X)＝64，因為3＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3<X<5)＝1－2P(X<3)＝0.4.10.(2024·煙臺模擬)甲、乙兩位同學進行乒乓球比賽，采用五局三勝制(當一人贏得三局時，該同學獲勝，比賽結束).根據以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是p(0<p<1)，且各局比賽結果相互獨立.若甲以3∶0獲勝的概率不低于甲以3∶1獲勝的概率，則p的取值范圍為.

答案2解析甲以3∶0獲勝的概率為p1＝p3，甲以3∶1獲勝的概率為p2＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p由題意，p1≥p2，即p3≥3p3(1－p)，解得p≥23所以p的取值范圍為23四、解答題(共27分)11.(13分)某公司在員工招聘面試環節準備了4道面試題，面試者按順序提問，若每位被面試者答對兩道題則通過面試，面試結束；若每位被面試者前三道題均答錯，則不通過面試，面試結束.已知李明答對每道題的概率均為35，且每道題是否答對相互獨立(1)求李明沒通過面試的概率；(5分)(2)記李明所答題目的數量為X，求X的分布列和數學期望.(8分)解(1)李明沒通過面試包含前3題有1題答對，第4題答錯和前3題均答錯兩種情況，故所求概率為C31×35(2)由題意得X的可能取值為2，3，4，則P(X＝2)＝35×3P(X＝3)＝C21×35×2P(X＝4)＝C31×35故所求分布列為X234P94436所以E(X)＝2×925＋3×44125＋4×12.(14分)臺風是我國東部沿海地區夏秋季節常見的自然災害，當臺風來臨之際，沿海居民點的居民必須提前進行疏散.某地有關部門為了解居民疏散所需時間，在當地隨機抽取了100處居民點進行疏散所需時間的調查，所得數據如表：疏散時間t(最接近的時間，取整數)單位：小時12131415161718頻率0.040.050.250.350.180.100.03(1)根據以上數據，視頻率為概率，估計這一地區居民點疏散所需時間t的均值和方差；(6分)(2)根據工作安排，需要在疏散時間超過16小時的13個居民點中再抽取5個進行深入調查，從而尋求縮短疏散時間的辦法.設X為抽到的居民點中疏散時間為18小時的居民點數量，求X的分布列.(8分)解(1)∵12×0.04＋13×0.05＋14×0.25＋15×0.35＋16×0.18＋17×0.10＋18×0.03＝15，∴估計這一地區居民點疏散所需時間t的均值為15，∵(12－15)2×0.04＋(13－15)2×0.05＋(14－15)2×0.25＋(15－15)2×0.35＋(16－15)2×0.18＋(17－15)2×0.10＋(18－15)2×0.03＝1.66，∴估計這一地區居民點疏散所需時間t的方差為1.66.(2)∵疏散時間為17小時，18小時兩組的頻率之比為10∶3，∴在疏散時間超過16小時的13個居民點中，疏散時間為17小時的有10個，疏散時間為18小時的有3個，再從這13個居民點中抽取5個，X為抽到的居民點中