§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積課標要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法.(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為45°或135°.②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π(r1+r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表=S側(cè)+2S底V=Sh錐體S表=S側(cè)+S底V=13臺體S表=S側(cè)+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S表=4πR2V=43πR1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形.(×)(2)圓臺的母線長都相等.(√)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(×)(4)錐體的體積等于底面積與高之積.(×)2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，則該三棱柱的體積為()A.43 B.33 C.23 D.3答案C解析在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，所以S△ABC=12×2×2×sin60°=3所以V三棱柱ABC-A1B1C13.用斜二測畫法作一個水平放置的邊長為6的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為()A.36 B.182 C.92 D.9答案C解析在斜二測畫法中，直觀圖面積是原圖形面積的24，而邊長為6的正方形面積為36，所以所求的直觀圖的面積為24×36=94.已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于23π，則該圓錐的體積為.

答案π解析設(shè)圓錐PO的底面圓半徑為r，由母線長為2，側(cè)面積等于23π，得12×2πr×2=23π，解得r=3因此圓錐的高h=22-r2所以該圓錐的體積V=13πr2h=13π×(1.掌握三個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)(祖暅原理)等高處的截面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.(3)直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖=24S原圖形，S原圖形=22S直觀圖2.關(guān)于幾何體的表面積和側(cè)面積的兩個注意點(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.(2)組合體的表面積應注意重合部分的處理.題型一基本立體圖形命題點1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中正確的是()A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長方體是直四棱柱C.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面答案BD解析對于A，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，故A錯誤；對于B，易知長方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對于C，根據(jù)圓臺的定義，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分為圓臺，故C錯誤；對于D，球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確.命題點2直觀圖例2用斜二測畫法得到一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖為如圖所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=13O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面圖形OABC的面積為32，則O'A'的長為(A.2 B.2 C.3 D.3答案D解析方法一如圖所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，得到原幾何圖形OABC，設(shè)O'A'=x，可得O'B'=2x，則OB=2O'B'=22x，BC=B'C'=x3，OA=O'A'=x且OB為原平面圖形中梯形的高，所以原平面圖形OABC的面積為S=12x+x3×2解得x=32方法二由S直觀圖=24S原圖形可得S直觀圖=3設(shè)O'A'=x，則O'B'=2x，B'C'=x3，A'B'=x根據(jù)直角梯形的面積公式得12x+x解得x=32命題點3展開圖例3(2025·大同模擬)已知圓臺的上、下底面的圓心分別為O1，O2，母線AB=1(點A位于上底面)，且BO2=2AO1，圓O2的周長為2π3，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓臺側(cè)面爬行一周到點B，則其爬行的最短路程為(A.1 B.3 C.2 D.5答案B解析將圓臺的側(cè)面沿著母線AB剪開，展成平面圖形，延長BA，B1A1交于點O，連接AA1，AB1，BB1，如圖，顯然弧BB1的長為2π3，弧AA1的長為π3，設(shè)∠BOB1=α，則α×OA=π3，α×OB則OB=2OA，即OA+1=2OA，得OA=1，于是A是OB的中點，α=π3因此△OBB1是等邊三角形，有AB1⊥OB，且AB1與弧AA1相切，則AB1在此側(cè)面展開圖內(nèi)，所以螞蟻爬行的最短路線為線段AB1，AB1=ABtanπ3=3思維升華(1)辨別空間幾何體的兩種方法①定義法：緊扣定義進行判定；②反例法：要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可.(2)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.(3)在解決空間曲線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.跟蹤訓練1(1)下列說法正確的是()A.棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側(cè)棱B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C.有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺D.直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體不一定是圓錐答案D解析對于A，底面和側(cè)面的公共邊不是側(cè)棱，A錯誤；對于B，底面是正多邊形的棱錐，頂點與底面中心的連線不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱錐，B錯誤；對于C，兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，還要滿足各側(cè)棱的延長線交于一點，C錯誤；對于D，直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，以其斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體由兩個共底的圓錐組合而成，D正確.(2)如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為2的菱形A'B'C'D'，且O'D'=2，則原平面圖形的周長為()A.42+4 B.46+4C.82 D.8答案B解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA=22，OD=4，AB=CD=2，則AD=8+16=2故原平面圖形的周長為2+2+26+26=46+4.(3)如圖在一根高為11cm，外圓周長為6cm的圓柱體外表面纏繞一根細鐵絲，組成10個螺旋，如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線的兩端，則鐵絲長度的最小值為()A.61cm B.157cmC.2021cm D.1037cm答案A解析∵圓柱體的高為11cm，外圓周長為6cm，又鐵絲在柱體上纏繞10圈，且鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一條母線的兩端，則我們可以得到將圓柱側(cè)面展開后的平面圖形，如圖所示，其中每一個小矩形的寬為圓柱的外圓周長6cm，高為圓柱的高11cm，則大矩形的對角線即為鐵絲長度的最小值，此時鐵絲長度的最小值為112+602=61題型二表面積與體積命題點1表面積例4(1)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A.8π B.4π C.8 D.4答案A解析以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的底面半徑r=2，高h=2，∴所得圓柱的側(cè)面積S=2πrh=2π×2×2=8π.(2)(2025·棗莊模擬)已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，側(cè)面展開圖是半個圓環(huán)，則圓臺的側(cè)面積為()A.6π B.16π C.26π D.32π答案B解析圓臺的上底面圓半徑r'=1，下底面圓半徑r=3，設(shè)圓臺的母線長為l，扇環(huán)所在的小圓的半徑為x，依題意有2π解得x所以圓臺的側(cè)面積S=π(r'+r)l=π(1+3)×4=16π.命題點2體積例5(1)(2024·武漢模擬)“極目一號”Ⅲ型浮空艇(如圖1)是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的，它曾多次成功完成大氣科學觀測，彰顯了中國的實力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)()A.9064m3 B.9004m3C.8944m3 D.8884m3答案A解析由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為R=192=9.5(m)，而圓臺另一個底面的半徑為r=1m則V半球=12×43×π×9.53≈17143π(mV圓柱=π×9.52×14≈1260π(m3)，V圓臺=13×(9.52π+9.52π×π+π)×31.5≈3166所以V=V半球+V圓柱+V圓臺≈17143π+1260π+31663π≈9064(m3(2)木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足.如圖為一個木楔子，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF=2，則該木楔子的體積為()A.423 B.2 C.2答案D解析如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，由題意知等腰梯形ABFE全等于等腰梯形DCFE，則EG=HF=2-12=12，AG=GD=BH=HC=12取AD的中點O，連接GO，因為AG=GD，所以GO⊥AD，則GO=322-所以S△ADG=S△BCH=12×22×1=因為AB∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，又因為AD∩AG=A，AD，AG?平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，所以多面體的體積V=V三棱錐E-ADG+V三棱錐F-BCH+V三棱柱AGD-BHC=2V三棱錐E-ADG+V三棱柱AGD-BHC=13×24×12×2+24思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓練2(1)(2024·新課標全國Ⅰ)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為()A.23π B.33π C.63π D.93π答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長為r2而它們的側(cè)面積相等，所以2πr×3=πr×3+即23=3+r2，故故圓錐的體積為13π×9×3=33(2)(多選)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=3，CC1=4，且AB⊥BC，P為BC1的中點，則()A.三棱錐A-BCC1的體積為4B.三棱錐C-APC1的體積為5C.四棱錐C1-ABB1A1的體積為8D.三棱錐C1-ABC的表面積為14+213答案ACD解析對于A，V三棱錐A-BCC1=V三棱錐C1-ABC=13×CC1×S△ABC=1對于B，V三棱錐C-而三棱錐A-BCC1與三棱錐A-PCC1有共同的高，∵P為BC1的中點，∴S△PCC∴V三棱錐A-PCC1=12V對于C，V四棱錐C1-ABB1A1=V三棱柱ABC-A1對于D，由題可知，AC=13，AC1=29，BC1=5，∴AB2+BC12=A∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1，∴三棱錐C1-ABC的表面積為S△ABC+S=12×2×3+12×3×4+12×13×4+12×2×5=14+213，課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.下面關(guān)于空間幾何體敘述不正確的是()A.正四棱柱都是長方體B.在圓柱的上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線C.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐D.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱答案C解析對于A，正四棱柱的側(cè)面都是長方形，底面是正方形，因此它是長方體，A正確；對于B，在圓柱的上、下底面圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是圓柱的母線，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線，B正確；對于C，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，C錯誤；對于D，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，D正確.2.已知某幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8π3C.10π3答案B解析由題圖可知，此幾何體為從底面半徑為1，高為4的圓柱的母線的中點處截去了圓柱的14后剩余的部分，所以所求幾何體的體積V=π×12×4-14×π×123.已知一個直四棱柱的高為4，其底面ABCD水平放置的直觀圖(由斜二測畫法得到)是邊長為2的正方形，則這個直四棱柱的表面積為()A.40 B.32+162C.64+162 D.64+163答案C解析由于直觀圖是正方形，所以四邊形ABCD是兩鄰邊分別為2與6，高為42的平行四邊形，其周長是2+6+2+6=16，面積是2×42=82，所以直四棱柱的表面積是16×4+82×2=64+162.4.(2025·新鄉(xiāng)模擬)已知某圓錐的軸截面是頂角為α的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為β的扇形，若β=3α，則β等于()A.π3 B.π2 C.答案D解析設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑r=lsinα2，因為側(cè)面展開圖的扇形弧長即圓錐底面的周長，所以lβ=2πl(wèi)sinα2，即β=2πsin因為0<β<2π，β=3α，則0<α<2π3故0<α2<π所以β關(guān)于α單調(diào)遞增，驗證選項可知當α=π3時，β=π=3α符合題意5.魔方，又叫魯比克方塊，最早是由厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具.魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經(jīng)久不衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個三階魔方，由27個單位正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了45°，則該魔方的表面積是()A.54 B.108-362C.162-722 D.81-182答案C解析如圖，中間一層轉(zhuǎn)動了45°后，此時的魔方相對原來正方體的魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)直角邊為x，則斜邊為2x，故(2+2)x=3，可得x=3-32由幾何關(guān)系得陰影部分的面積S=12×3-3222所以所求面積S'=6×3×3+16×274-96.多面體的歐拉定理：簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足V+F-E=2的數(shù)學關(guān)系.請運用歐拉定理解決問題：碳60(C60)具有超導特性、抗化學腐蝕性、耐高壓以及強磁性，是一種應用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖所示.碳60(C60)的分子結(jié)構(gòu)是一個由正五邊形面和正六邊形面共32個面構(gòu)成的凸多面體，60個碳原子處于多面體的60個頂點位置，則32個面中正六邊形面的個數(shù)是()A.22 B.20 C.18 D.16答案B解析由題意可知V=60，F(xiàn)=32，由V+F-E=2可得E=90，設(shè)正五邊形面的個數(shù)為x，正六邊形面的個數(shù)為y，則x+y=32，因為一條棱連著兩個面，所以足球烯表面的棱數(shù)E=12(5x+6y)=90聯(lián)立12(5即32個面中正六邊形面的個數(shù)是20.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2023·新高考全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則()A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43πC.AC=22 D.△PAC的面積為3答案AC解析依題意，∠APB=120°，PA=2，所以O(shè)P=1，OA=OB=3.A項，圓錐的體積為13×π×(3)2×1=π，故AB項，圓錐的側(cè)面積為π×3×2=23π，故B錯誤；C項，取AC的中點D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，則∠PDO=45°，所以O(shè)P=OD=1，故AD=CD=3-1=2，則AC=22，故C正確；D項，PD=12+1所以S△PAC=12×22×2=2，故D錯誤8.(2025·喀什模擬)如圖是圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2，下列說法正確的是(A.線段AC=23B.該圓臺的表面積為11πC.該圓臺的體積為73πD.沿著該圓臺的表面從點C到AD中點的最短距離為5答案ABD解析顯然四邊形ABCD是等腰梯形，AB=AD=BC=2，CD=4，其高即為圓臺的高h=AD2-對于A，在等腰梯形ABCD中，AC=h2+CD-CD對于B，圓臺的表面積S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π，B正確；對于C，圓臺的體積V=13π(12+1×2+22)×3=733π對于D，將圓臺一半側(cè)面展開，如圖中扇環(huán)ABCD所示，且E為AD中點，而圓臺對應的圓錐一半側(cè)面展開為扇形COD且易知OC=4，又∠COD=2π4=π2，在Rt△COE中，CE=42+32=5，斜邊CE上的高為OC·OECE=125>2，即CE與弧AB相離，所以點C三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2023·新高考全國Ⅰ)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，則該棱臺的體積為.

答案7解析如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，因為AB=2，A1B1=1，AA1=2，則A1O1=12A1C1=12×2A1B1=AO=12AC=12×2AB=故AM=AO-A1O1=22則A1M=AA12-A所以所求棱臺體積為V=13×(4+1+4×1)×610.如圖1中的機械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3，若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點之間的距離為20，則其側(cè)面積為.

答案200π解析由題意得底面是由三段以20為半徑，π3為圓心角的圓弧構(gòu)成所以底面周長為3×π3×20=20π又曲側(cè)面三棱柱的高為10，所以曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為20π×10=200π.四、解答題(共27分)11.(13分)如圖，AB是圓柱的底面直徑，AP是圓柱的母線且AB=AP=4，點C是圓柱底面圓周上的點.(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；(5分)(2)若AC=2，D是PB的中點，點E在線段AP上，求CE+DE的最小值.(8分)解(1)由題知，底面半徑為2，母線長為4，所以圓柱的側(cè)面積S=2π×2×4=16π，圓柱的體積V=π×22×4=16π.(2)記底面圓心為O，連接OC，因為底面半徑為2，AC=2，以AP所在直線為軸，將△APC旋轉(zhuǎn)到△APC'，使得△APC'和軸截面PAB共面，如圖，則OC'=2+2=4，OD=2，當C'，E，D三點共線時，CE+DE取得最小值42+212.(14分)如圖，矩形O'A'B'C'是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O'A'=3，O'C'=1.(1)求平面四邊形OABC的面積；(4分)(2)若四邊形OABC以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.(10分)解(1)因為S原圖形=22S直觀圖，所以S平面四邊形OABC=22S直觀圖=62.(2)平面四邊形OABC如圖所示，在Rt△ODC中，有OC2=OD2+CD2=(22)2+12=9，所以O(shè)C=3，所以AB=3.如圖，分別過點B，C作AO及其延長線的垂線，垂足為E，F(xiàn).矩形FEBC繞AO及其延長線旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r=OD=22，母線l1=BC=3的圓柱；Rt△BEA繞AO旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r=OD=22，母線l2=AB=3，高h1=AE=1的圓錐；Rt△CFO繞AO及其延長線旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面