§10.1計數原理與排列組合課標要求1.理解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義.2.理解排列、組合的概念.3.能利用計數原理、排列組合解決簡單的實際問題.1.兩個計數原理(1)分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.

(2)分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.2.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組3.排列數與組合數(1)排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，用符號Anm(2)組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，用符號Cnm4.排列數、組合數的公式及性質公式(1)Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n-m)！(n，m(2)Cnm＝AnmAmm＝n！m性質(1)0！＝1；Ann＝n(2)Cn0＝1；Cn1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(×)(3)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(×)(4)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(√)2.從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，一共有種選法()

A.11 B.12C.30 D.36答案C解析6×(6－1)＝30.3.(多選)下列結論正確的是()A.3×4×5＝AB.CC.若C10x＝CD.C70答案AD解析A53＝5×4×3，故C52＋C53＝2C52＝2×故C52＋C5C10x＝C102x-2，則x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2C70＋C72＋C74＋C4.由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動.某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有條.

答案6解析由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有2種走法.故能順帶吃掉“炮”的可能路線共有3×2＝6(條).1.元素之間與順序有關的為排列，與順序無關的為組合.2.(1)排列數與組合數之間的聯系為Cn(2)排列數與組合數公式的兩種形式分別為：①連乘積形式；②階乘形式.前者多用于數字計算，后者多用于含有字母的排列數與組合數式子的變形與論證.3.解有條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏.4.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.題型一計數原理例1(1)用3種不同顏色給如圖所示的五個圓環涂色，要求相交的兩個圓環不能涂相同的顏色，共有_________種不同的涂色方案()A.243 B.32C.48 D.1280答案C解析從左到右依次涂色，第一個圓環可以涂3種顏色，第二、三、四、五個圓環各可以涂2種顏色，共有3×2×2×2×2＝48(種)不同的涂色方案.(2)如圖，在某海岸P的附近有三個島嶼Q，R，S，計劃建立三座獨立大橋，將這四個地方連起來，每座橋直線連接兩個地方，且不出現立體交叉形式，則不同的連接方式有()A.24種 B.20種C.16種 D.12種答案D解析可分為兩類：第一類：從一個地方出發向其他三個地方各建一座橋，共有4種不同的連接方式；第二類：一個地方最多建兩座橋，其中建橋連接方式：P－S－R－Q和Q－R－S－P屬于相同的建橋方法，所以共有12×A44＝12(種)不同的連接方式，其中交叉建橋方法，例如P－R－S－Q，P－R－Q－S，R－P－S－Q，R－P－Q－S所以第二類建橋方法共有12－4＝8(種)不同的連接方式.綜上可得，不同的連接方式有4＋8＝12(種).思維升華完成一件事的方法種數的計算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.(2)分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數.(4)根據分類加法計數原理或分步乘法計數原理計算出完成這件事的方法種數.跟蹤訓練1(1)(2024·成都模擬)某高中運動會設有8個項目，甲、乙兩名學生每人隨機選取3個項目報名參加，則至少選中2個相同項目的報名方法有()A.420種 B.840種C.476種 D.896種答案D解析由題意可知，可以分兩種情況：第一種情況：所選取的3個項目中恰有2個相同項目，第一步，在8個項目中選取2個，共有C82＝28(種第二步，甲在剩下的6個項目中選取1個，共有C61＝6(種第三步，乙在剩下的5個項目中選取1個，共有C51＝5(種由分步乘法計算原理可知，共有28×6×5＝840(種)；第二種情況：所選取的3個項目全部相同，則有C83＝56(種由分類加法計數原理可知，滿足要求的報名方法一共有840＋56＝896(種).(2)如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為1~8號.若甲、乙、丙、丁四名同學要放傘，每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數孔，乙放在偶數孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有()A.68種 B.136種C.272種 D.544種答案C解析根據題意，分2種情況討論：①甲乙放在同一排，有C21C21C②甲乙不放在同一排，有C21C21C則有128＋144＝272(種)不同的放法.題型二排列、組合問題例2(1)甲、乙兩名同學從生物、地理、政治、化學中各選兩門進行學習，若甲、乙不能同時選生物，則甲、乙總的選法有()A.27種 B.18種C.36種 D.48種答案A解析當甲選生物，乙不選生物時，甲、乙的選法有C31C32＝9(種)；當甲不選生物，乙隨便選時，甲、乙的選法有C32C42＝18(種)(2)某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎和鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數是()A.15 B.18C.22 D.26答案D解析甲是特等獎，不考慮丙的獎項有A44種；甲不是特等獎，不考慮丙的獎項有C31C31A3思維升華排列問題和組合問題的區分方法(1)排列問題：若交換某兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關.(2)組合問題：若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關.跟蹤訓練2(1)(2025·德陽模擬)甲、乙等6名數學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲、乙兩名同學中間恰有1人，則不同的站法數為()A.144 B.192C.360 D.480答案B解析根據題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲、乙中間，有C41A22＝②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有A44＝24(種)則有8×24＝192(種)不同的站法.(2)某學校開展學雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則兩個小組不同的分配方案有()A.20種 B.40種C.60種 D.80種答案C解析由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男為一組，余下的人為一組；2女1男為一組，余下的人為一組；3女1男為一組，余下的人為一組；4女1男為一組，余下的人為一組；所以兩個小組不同的分配方法有C21(C51＋題型三排列、組合的綜合問題命題點1相鄰、相間問題例3(多選)某產品的加工過程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，現將5道工序按不同的順序安排流程，則下列說法正確的是()A.如果甲工序不能放在第一道，共有96種加工順序B.如果甲、乙兩道工序必須相鄰，共有12種加工順序C.如果甲、丙兩道工序必須不相鄰，共有72種加工順序D.如果乙、丙兩道工序必須乙在前，丙在后，共有40種加工順序答案AC解析如果甲工序不能放在第一道，則甲有4種安排方式，根據分步乘法計數原理，共有C41A44＝4×4×3×2×1＝96(甲、乙兩道工序相鄰，將甲和乙捆綁為一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，則共有A22A44＝2×4×3×2×1＝48(如果甲、丙兩道工序不能相鄰，則先安排剩余3道工序，在形成的4個空中，安排甲、丙，故共有A33A42＝3×2×1×4×3＝72(現將5道不同的工序全排列，再除以乙、丙兩道工序的全排列，故共有A55A22＝5×4命題點2定序問題例4花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.如圖，現有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數為.答案90解析由題意，取下6盞不同的花燈，先對6盞不同的花燈進行全排列，共有A6因為每次只取一盞花燈，而且只能從下往上取，所以必須除去不符合題意的排列順序，即先取上方的順序，故不同取法種數為A66命題點3分組、分配問題例5第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月16~22日在重慶市育才中學成功舉辦.在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務項目，則不同的安排方案有()A.108種 B.114種C.150種 D.240種答案B解析5名新教師按3∶1∶1分組有C53種方法，按2∶2∶1分組有C52C32A22種分法，因此5名新教師的安排方案有C53＋C52C32A22思維升華求解排列組合問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化跟蹤訓練3(1)8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，則所有可能的分組方案數量是()A.28 B.2520C.105 D.128答案C解析由題意8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，則所有可能的分組方案數量是C82(2)(多選)(2024·揭陽模擬)身高各不相同的六位同學A，B，C，D，E，F站成一排照相，則說法正確的是()A.A，C，D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B.A與C同學不相鄰，共有A4C.A，C，D三位同學必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D.A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法答案ABD解析將A，C，D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有A66A33＝120(先排B，D，E，F，共有A44種站法，A與C同學插空站，有A52種站法，故共有將A，C，D三位同學捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種站法，捆綁后有A44種站法，故共有2×A44＝48(種當A在排尾，B隨意站時，則有A55＝120(種)站法；當A不在排頭也不在排尾時，有A41種站法，B有A41種站法，剩下的同學隨意站有A44種站法，共有A41A41A44＝384(種)站法，故遞推數列在計數原理中的應用在計數原理中，當計數的基數較大時，用枚舉法會顯得非常困難.如果問題帶有明顯的遞推特征，把此類計數問題的基數從有限個且數目很少推廣到n個，運用數列知識建立遞推關系，經過推廣就可以解決這類計數問題.典例(1)有A1，A2，…，A6共六個人，他們的座位分別為B1，B2，…，B6，現在求每一個人坐一個座位，且都不坐自己座位，則共有種不同的坐法()A.9 B.16C.44 D.265答案D解析記n個人坐位子且自己不坐自己的座位的方法數構成一個數列{an}，易得a2＝1，a3＝2，當n≥4時，首先，讓A1選位，A1不選B1，則共有n－1種坐法，不妨設A1選了Bk(k≠1)，然后再讓Ak選位，①當Ak選B1時，則余下n－2個人和n－2個座位，共有an－2種坐法；②當Ak不選B1時，則余下n－1個人都有一個不能選的座位，則共有an－1種坐法，所以an＝(n－1)(an－2＋an－1)，所以a4＝3(a2＋a3)＝9，a5＝4(a3＋a4)＝44，a6＝5(a4＋a5)＝265.(2)如圖，一個環形的大會場被分成了n個區域，現有k種不同顏色的服裝提供給n個區域的觀眾，要求同一區域的觀眾著裝顏色相同，且相鄰區域的觀眾著裝顏色不同.當k＝5，n＝6時，共有種不同的著裝方法.

答案4100解析設提供k種顏色來給排成環形的n個區域涂色且相鄰區域不同色，記方法數為fk(n)，若先考慮給n個排成一行的區域涂色且相鄰區域不同色，則方法數應為k·(k－1)n－1，①若區域1和區域n不同色，則把區域1和區域n粘在一起成一個環狀時滿足條件；②若區域1和區域n同色，則把區域1和區域n粘在一起成一個環狀時不滿足條件，此方法數需從k·(k－1)n－1種方法中減掉.所以fk(n)＝k·(k－1)n－1－fk(n－1)，易得f5(3)＝A53＝所以f5(4)＝5×(5－1)3－f5(3)＝260，所以f5(5)＝5×(5－1)4－f5(4)＝1020，所以f5(6)＝5×(5－1)5－f5(5)＝4100.課時精練[分值：83分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.(2024·徐州模擬)甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有()A.18種 B.48種C.108種 D.192種答案D解析因為甲不去北京，應該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有4×4×4＝64(種)選法，由分步乘法計數原理，可得不同選法有3×64＝192(種).2.已知A，B兩個公司承包6項工程，每項工程均被承包且至多被一個公司承包，每個公司至少承包2項，則承包方式共有()A.24種 B.70種C.48種 D.50種答案D解析根據題意，分三種情況：①A公司承包2項工程，剩余4項工程由B公司承包，則有C62＝15(種②A公司承包3項工程，剩余3項工程由B公司承包，則有C63＝20(種③A公司承包4項工程，剩余2項工程由B公司承包，則有C64＝15(種)所以承包方式共有15＋20＋15＝50(種).3.身高各不相同的7名同學排成一排照相，要求正中間的同學最高，左右兩邊分別順次一個比一個矮，則這樣的排法種數是()A.5040 B.36C.18 D.20答案D解析最高的同學站中間，從余下6人中選3人在一側只有一種站法，另3人在另一側也只有一種站法，所以排法有C63＝20(種4.(2025·南京模擬)北京大興國際機場擁有機器人自動泊車系統，解決了停車滿、找車難的問題.現有3輛不同的車停放在7個并排的泊車位上，要求4個空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有______種()A.16 B.18C.24 D.32答案C解析從7個車位里選擇4個相鄰的車位，共有4種方式，停放的3個車輛，有A33＝6(種)方式，則不同的泊車方案有4×6＝24(種5.將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的情況種數是()A.10 B.20C.18 D.40答案C解析將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的情況共有A33A22C6.有5個人到南京、鎮江、揚州的三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數是()A.90 B.150C.390 D.420答案C解析若5人中有且僅有3人被錄用，滿足條件的錄用情況有A53＝60(種若5人中有且僅有4人被錄用，滿足條件的錄用情況有C54·C41C31A若5人都被錄用，滿足條件的錄用情況有C51C41A22·A綜上，符合要求的不同的錄用情況種數是60＋180＋150＝390.7.(2024·南通模擬)把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為()A.70 B.99C.110 D.165答案D解析當8個相同的籃球只分給其中1人時，有4種分法；當8個相同的籃球分給其中的2人時，先從4人里面選出2人，再將8個相同的籃球排成一排，從形成的7個空里面選出1個空插入1個“隔板”即可，此時有C42C71＝當8個相同的籃球分給其中的3人時，先從4人里面選出3人，再將8個相同的籃球排成一排，從形成的7個空里面選出2個空插入2個“隔板”即可，此時有C43C72＝當8個相同的籃球分給4人時，每人至少一個，此時將8個相同的籃球排成一排，從形成的7個空里面選出3個空插入3個“隔板”即可，此時有C73＝35(種)因此把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人時，不同的分發種數為4＋42＋84＋35＝165.8.某同學計劃用他姓名的首字母T，X，身份證的后4位數字(4位數字都不同)以及3個符號α，β，θ設置一個六位的密碼.若T，X必選，且符號不能超過兩個，數字不能放在首位和末位，字母的相對順序和數字的相對順序不變，則他可設置的密碼的種數為()A.864 B.1009C.1225 D.1441答案D解析①當符號的個數為0時，六位密碼由字母T，X及身份證的后4位數字組成，此時只有1種情況；②當符號的個數為1時，六位密碼由字母T，X，3個數字及1個符號組成.若末位是符號，則首位是字母T，可能的種數為C31C若末位是字母X，則可能的種數為C31C③當符號的個數為2時，六位密碼由字母T，X，2個數字及2個符號組成.若首位和末位均為符號，則可能的種數為A32C若首位和末位均為字母，則可能的種數為C32C若首位和末位一個是字母、一個是符號，則可能的種數為C32C故他可設置的密碼的種數為1＋48＋96＋216＋216＋864＝1441.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.下列說法正確的是()A.已知A2n3＝100An2(n∈N*，n≥2B.已知C12x＋2C.4個人排成一排，則甲不站首尾的排法有12種D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙兩人不相鄰共有12種排法答案ACD解析由2n(2n－1)(2n－2)＝100n(n－1)，且n≥2，解得n＝13，故A正確；由x＋2＝2x－5或x＋2＋2x－5＝12，解得x＝7或x＝5，故B錯誤；先排甲，有2種排法，再排其余3人，有A33種排法，故滿足條件的排法有2A33＝12(種先排丙、丁兩人，有A22種排法，出現3個空，再排甲、乙兩人，有A32種排法，故滿足條件的排法有A22A3210.有甲、乙、丙、丁、戊5位同學，下列說法正確的是()A.若5位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B.若5位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.若甲、乙、丙3位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D.若5位同學被分配到3個社區參加志愿活動，每個社區至少1位同學，則不同的分配方案有150種答案BCD解析對于A，甲、乙相鄰可看作一人，與戊一起排列形成3個空，插入丙、丁兩人即可，不同的排法種數為A22A22若甲排最左端，則有A44＝24(種)排法，若乙排最左端，則最右端有3人可選，中間三人有A33＝6(種)排法，即3×6＝18(種)排法，故滿足條件的不同的排法共有24＋18＝42(種五個位置，先排丁、戊兩人，有A52＝20(種)排法，余下三個位置甲、乙、丙三人按從左到右就1種排法，故滿足條件的不同排法有20種，故五人分三組，有3，1，1或2，2，1兩種分配方法，若分為3，1，1三組，則有C53A33＝60(種)方法，若分為2，2，1三組，則有C52C32C112！·A33＝11.定義“圓排列”：從n個不同元素中選m個元素圍成一個圓形，稱為圓排列，所有圓排列的方法數計為Hnm.圓排列是排列的一種，區別于通常的“直線排列”，既無“頭”也無“尾”，所以Hnm＝Anmm.現有A.共有H6B.若兩名女生相鄰，則有2H5C.若兩名女生不相鄰，共有4H4D.若男生甲位置固定，則有5H5答案ABD解析現有2個女生，4個男生共6名同學圍坐成一圈，共有A666＝H6若兩名女生相鄰，則有A22A555＝2H若兩名女生不相鄰，共有A44A424＝12H若男生甲位置固定，考慮以甲為基準的順、逆時針排列，則有A55＝5H55(種)三、填空題(每小題5分，共15分)12.某員工在開辦公室四位數的數字密碼門時，發現按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確實由“3”“6”“9”這三個數字組成，則該密碼有種可能.(用數字作答)答案36解析依題意可知，密碼由“3”“6”“9”三個數字組成，所以四位數密碼中有兩個位置是同一數字，將這兩個位置捆綁