§7.4空間直線、平面的平行課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用.1.線面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?αb?性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥αa?2.面面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行a?βb?性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行α∥βα?1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面.(×)(2)若直線a與平面α內無數條直線平行，則a∥α.(×)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線也互相平行.(×)2.如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的()A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數條直線不相交D.任意一條直線都不相交答案D解析因為直線a∥平面α，直線a與平面α無公共點，因此直線a與平面α內的任意一條直線都不相交.3.設有兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面α，β，則下列命題正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥n，m∥α，則n∥αD.若α∥β，m?α，則m∥β答案D解析若m∥α，n∥α，則m，n可以平行、相交或異面，故A錯誤；若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，故B錯誤；若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故C錯誤；若α∥β，m?α，則m∥β，故D正確.4.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為.

答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面DCGH=HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.1.掌握三種平行關系的轉化2.靈活應用以下結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.題型一直線與平面平行的判定與性質命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E為PC的中點.求證：BE∥平面PAD.證明方法一如圖，取PD的中點F，連接EF，FA.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF=12CD又∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴ABEF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法二如圖，延長DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴HBHC=ABCD=即B為HC的中點，又E為PC的中點，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法三如圖，取CD的中點H，連接BH，HE，∵E為PC的中點，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知ABDH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH=H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.命題點2直線與平面平行的性質例2如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH.思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面確定交線.跟蹤訓練1如圖，四邊形ABCD為長方形，點E，F分別為AD，PC的中點.設平面PDC∩平面PBE=l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.證明(1)取PB的中點G，連接FG，EG，因為點F為PC的中點，所以FG∥BC，FG=12BC因為四邊形ABCD為長方形，所以BC∥AD，且BC=AD，所以DE∥FG，DE=FG，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以DF∥GE，因為DF?平面PBE，GE?平面PBE，所以DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF?平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，所以DF∥l.題型二平面與平面平行的判定與性質例3(1)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分別是棱B1C1，AC，BC的中點.證明：AD∥平面C1EF.證明連接BD.因為E，F分別是棱AC，BC的中點，所以EF∥AB.因為EF?平面C1EF，AB?平面C1EF，所以AB∥平面C1EF.因為D，F分別是棱B1C1，BC的中點，所以BF∥C1D，BF=C1D，所以四邊形BDC1F是平行四邊形，則BD∥C1F.因為C1F?平面C1EF，BD?平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.因為AB∩BD=B，AB，BD?平面ABD，所以平面ABD∥平面C1EF，因為AD?平面ABD，所以AD∥平面C1EF.(2)如圖所示，AA1，BB1為圓臺的兩條不同的母線，O1，O分別為圓臺的上、下底面圓的圓心.求證：A1B1∥AB.證明∵圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，∴圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.∴母線AA1與母線BB1的延長線必交于一點，∴A，A1，B，B1四點共面.∵圓O1∥圓O，且平面ABB1A1∩圓O1=A1B1，平面ABB1A1∩圓O=AB.∴A1B1∥AB.思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).③利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).(2)當已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個平面的交線.跟蹤訓練2如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC=BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH，∴由面面平行的性質定理得BC∥GH.(2)∵E，F分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1AB，∴A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.題型三平行關系的綜合應用例4如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點.(1)當A1D1D1C1為何值時，BC1(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值解(1)當A1D1D1C1=1時，BC1如圖，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點.在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當A1D1D1C1=1時，BC1(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.∴A1D1D1又A1OOB=1，∴DCAD=1思維升華解決面面平行問題的關鍵點(1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.(2)解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和研究的重要思想方法.跟蹤訓練3如圖，在四棱錐A-BCDE中，N是BC的中點，四邊形BCDE為平行四邊形.試探究在線段AE上是否存在點M，使得MN∥平面ACD？若存在，請確定M點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由.解在線段AE上存在點M，且M為AE的中點，使得MN∥平面ACD.證明如下：取AD的中點G，連接CG，GM，如圖.因為M為AE的中點，所以GM∥DE，且GM=12DE因為N為BC的中點，且四邊形BCDE為平行四邊形，所以CN∥DE，且CN=12DE所以GM∥CN，且GM=CN，所以四邊形CNMG為平行四邊形.所以GC∥MN.因為GC?平面ACD，MN?平面ACD，所以MN∥平面ACD.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，下面四個命題中，正確的是()A.若m∥n，n?α，則m∥αB.若m∥α，n∥α且m?β，n?β，則α∥βC.若m∥α，n?α，則m∥nD.若m⊥α，m⊥β，則α∥β答案D解析對于A，若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故A錯誤；對于B，當m∥α，n∥α，m?β，n?β且m與n相交時，α∥β，故B錯誤；對于C，若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故C錯誤；對于D，由線面垂直的性質可以證得，故D正確.2.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點，E，F分別為BD，PD上的點，若EF∥平面PBC，則()A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能答案B解析由線面平行的性質定理可知EF∥PB.3.(2025·貴陽模擬)設l為直線，α為平面，則l∥α的一個充要條件是()A.α內存在一條直線與l平行B.l平行α內無數條直線C.垂直于α的直線都垂直于lD.存在一個與α平行的平面經過l答案D解析對于A中，由α內存在一條直線與l平行，則l∥α或l?α，所以A不正確；對于B中，由l平行α內無數條直線，則l∥α或l?α，所以B不正確；對于C中，由垂直于α的直線都垂直于l，則l∥α或l?α，所以C不正確；對于D中，如圖所示，由l∥α，在直線l上任取一點P作直線a，使得a∥α，因為l∩a=P且l，a?平面β，所以α∥β，即充分性成立；反之，若存在一個與α平行的平面經過l，根據面面平行的性質，可得l∥α，即必要性成立，所以D正確.4.已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α分別交線段PA，PB，PC于點A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC等于()A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC=(PA'∶PA)2，又PA'∶AA'=2∶3，∴PA'∶PA=2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.5.(2024·衡水模擬)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F為PC上一點，當PA∥平面EBF時，PFFC等于(A.23 B.14 C.1答案D解析連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，所以PA∥FG，所以PFFC=AGGC.又AD∥BC，E為AD所以AGGC=AEBC=12，所以PF6.(2025·廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F，則()A.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四邊形MNEF為平行四邊形D.四邊形MNEF為梯形答案D解析由于B，E，F三點共面，F∈平面BEF，M?平面BEF，EB不過點F，故MF，EB為異面直線，故A錯誤；由于B1，N，E三點共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，NE不過點B1，故A1B1，NE為異面直線，故B錯誤；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM=2MA1，BN=2NB1，∴AM∥BN，AM=BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列說法不正確的有()A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行答案ABD解析若兩條直線和同一平面所成的角相等，這兩條直線可能平行，也可能異面，也可能相交，故A錯誤；若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，這兩個平面可能平行，也可能相交，故B錯誤；由線面平行的性質定理可知C正確；若兩個平面垂直同一個平面，則兩平面可以平行，也可以垂直，故D錯誤.8.已知三棱臺ABC-A'B'C'，上、下底面邊長之比為1∶2，棱AB，BC，AC的中點分別為點M，P，N，則下列結論錯誤的有()A.A'N∥PC'B.A'P與AC為異面直線C.AB∥平面A'C'PD.平面A'MN∥平面BCC'B'答案AC解析對于A，因為A'N?平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P?平面A'C'CA，且C'?A'N，所以A'N，PC'是異面直線，故A錯誤；對于B，因為AC?平面A'C'CA，A'∈平面A'C'CA，P?平面A'C'CA，且A'?AC，所以A'P與AC為異面直線，故B正確；對于C，因為棱AB，BC的中點分別為點M，P，所以AC∥MP，因為AC∥A'C'，所以MP∥A'C'，可得AB∩平面A'C'PM=M，故C錯誤；對于D，因為AB，AC的中點分別為點M，N，所以MN∥BC，因為MN?平面BCC'B'，BC?平面BCC'B'，所以MN∥平面BCC'B'，因為AC∥A'C'，A'C'=12AC=NC，所以四邊形A'C'CN為平行四邊形，可得A'N∥C'C，因為A'N?平面BCC'B'，C'C?平面BCC'B'，所以A'N∥平面BCC'B'，因為MN∩A'N=N，MN，A'N?平面A'MN，所以平面A'MN∥平面BCC'B'，故D正確三、填空題(每小題5分，共10分)9.如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，則AB=.

答案5解析∵α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，∴CD∥AB，則PCPA=CD∴AB=PA×CDPC=510.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)

答案點M與點H重合(點M在線段FH上即可)解析連接HN，FH，FN(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN=H，FH，HN?平面FHN，DD1，BD?平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.四、解答題(共28分)11.(13分)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點.(1)證明：MN∥平面PAD；(7分)(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論.(6分)(1)證明取CD中點Q，連接MQ，NQ.因為M，N，Q分別為AB，PC，CD的中點，故MQ∥AD，NQ∥PD，又MQ?平面PAD，AD?平面PAD，故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.又MQ，NQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，故平面MNQ∥平面PAD，又MN?平面MNQ，故MN∥平面PAD.(2)解BC∥l，證明如下.因為四邊形ABCD為平行四邊形，故AD∥BC，又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC=l，BC?平面PBC，故BC∥l.12.(15分)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E為棱AA1的中點，AB=2，AA1=3.(1)求三棱錐A-BDE的體積；(6分)(2)在DD1上是否存在一點P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，請說明P點位置并證明；如果不存在，請說明理由.(9分)解(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以V三棱錐A-BDE=V三棱錐E-ABD=13AE·S△=13×32×12×(2)當P為棱DD1的中點時滿足平面PA1C∥平面EBD，連接AC，設AC∩BD=O，連接OE，CP，A1P，如圖，因為四邊形ABCD為正方形，所以O