§9.2用樣本估計總體課標要求1.會用統計圖表對總體進行估計，會求n個數據的第p百分位數.2.能用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.1.百分位數一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值.2.平均數、中位數和眾數(1)平均數：x＝1n(x1＋x2＋…＋x(2)中位數：將一組數據按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數據(當數據個數是奇數時)或最中間兩個數據的平均數(當數據個數是偶數時).(3)眾數：一組數據中出現次數最多的數據(即頻數最大值所對應的樣本數據).3.方差和標準差(1)方差：s2＝1nnΣi=1(xi－x)(2)標準差：s＝1n4.總體方差和總體標準差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為Y，則總體方差S2＝1NNΣi=1(Yi－(2)加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝1NkΣi=1fi(Yi－1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數據來說，平均數和中位數總是非常接近.(×)(2)方差與標準差具有相同的單位.(×)(3)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這組數的平均數改變，方差不變.(√)(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數的估計值.(√)2.在下列統計量中，用來描述一組數據離散程度的量是()A.平均數 B.眾數C.百分位數 D.標準差答案D解析標準差反映了數據離散程度的大小，所以說標準差是用來描述一組數據離散程度的統計量，故D正確.3.已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學的物理成績分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數據的平均數和眾數分別是()A.86，84 B.84.5，85C.85，84 D.86.5，84答案D解析將樣本數據按升序排列為79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均數x＝79＋3×844.(2024·周口模擬)已知一組從小到大排列的數據為a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位數等于其極差，則2a＋b＝.

答案10解析因為10×0.7＝7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位數為6＋b2，其極差為8－a，所以6＋b2＝8－a，解得1.若x1，x2，…，xn的平均數為x，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數為mx＋a，方差為m2s2.2.數據x1，x2，…，xn與數據x1'＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a的方差相等，即數據經過平移后方差不變.題型一樣本數字特征的估計例1(1)(多選)(2024·郴州模擬)隨機抽取8位同學對他們2024年數學新課標全國Ⅰ卷的平均分進行預估，得到一組樣本數據：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關于該樣本的說法正確的有()A.平均數為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數為101答案ABD解析平均數為97＋98＋99＋極差為106－97＝9，B正確；方差為(97-101＝16＋9＋4＋因為60%×8＝4.8，故第60百分位數為101，D正確.(2)如圖是2023年11月中國的10個城市地鐵運營里程(單位：公里)及運營線路條數的統計圖，下列判斷正確的是()A.這10個城市中北京的地鐵運營里程最長且運營線路條數最多B.這10個城市地鐵運營里程的中位數是516公里C.這10個城市地鐵運營線路條數的平均數為15.4D.這10個城市地鐵運營線路條數的極差是12答案C解析北京的地鐵運營線路條數最多，而運營里程最長的是上海，A錯誤；地鐵運營里程的中位數是558.6＋5162＝537.3(公里)地鐵運營線路條數的平均數為20＋27＋18＋地鐵運營線路條數的極差是27－8＝19，D錯誤.思維升華計算一組n個數據第p百分位數的步驟跟蹤訓練1(1)(多選)某次比賽通過賽后數據記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，17，18，20，32，則()A.該組數據的極差為25B.該組數據的75%分位數為19C.該組數據的平均數為17D.若該組數據去掉一個數得到一組新數據，則這兩組數據的平均數可能相等答案ACD解析極差為32－7＝25，故A正確；7×75%＝5.25，故75%分位數為20，故B錯誤；平均數為7＋12＋13＋去掉17后，這兩組數據的平均數相等，故D正確.(2)若某校高一年級10個班參加合唱比賽的得分分別為89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，則這組數據的眾數是；中位數是.

答案9692.5解析這組數據從小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96出現的次數最多，則這組數據的眾數是96，中位數是92＋93題型二總體集中趨勢的估計例2某考試機構舉行了新高考適應性考試，在聯考結束后，根據聯考成績，考生可了解自己的學習情況，作出升學規劃，決定是否參加強基計劃.在本次適應性考試中，某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本，并按照分數段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求出圖中a的值并估計本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學生所占的比例)；(2)估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數；(3)估計該校學生聯考數學成績的眾數、平均數.解(1)由頻率分布直方圖的性質，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.本次考試的及格率約為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110分以下的學生所占的比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130分以下的學生所占的比例為0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位數位于[110，130)內，由110＋20×0.8-0.660.94-0.66＝120，估計第80百分位數為(3)由題圖可得，眾數的估計值為100.平均數的估計值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.思維升華頻率分布直方圖中的數字特征(1)眾數：最高矩形的底邊中點的橫坐標.(2)中位數：中位數左邊和右邊的矩形的面積和應該相等.(3)平均數：平均數在頻率分布直方圖中等于各組區間的中點值與對應頻率之積的和.跟蹤訓練2某高中為了解本校高二年級學生的體育鍛煉情況，隨機抽取100名學生，統計他們每天體育鍛煉的時間，并以此作為樣本，按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中體育鍛煉時間在[50，60)內的學生有10人.(1)求頻率分布直方圖中a和b的值；(2)估計樣本數據的中位數和平均數(求平均數時，同一組中的數據以該組區間的中點值為代表).解(1)由題意可知，學生每天體育鍛煉的時間在[50，60)內的頻率為10100＝0.1則a＝0.110＝0.01由各組頻率之和為1，可知(0.005＋0.01＋b＋0.025×2＋0.005)×10＝1，解得b＝0.03.(2)前3組的頻率之和為(0.005＋0.01＋0.03)×10＝0.45<0.5，前4組的頻率之和為0.45＋0.025×10＝0.7>0.5，所以樣本數據的中位數在第4組，設為x，所以0.45＋(x－70)×0.025＝0.5，解得x＝72，估計樣本數據的中位數是72，估計平均數是(45＋95)×0.05＋55×0.1＋65×0.3＋(75＋85)×0.25＝72.題型三總體離散程度的估計例3某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行了10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10).試驗結果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數為z，樣本方差為s2.(1)求z，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2s210，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高解(1)由題意得zi＝xi－yi的值分別為9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，則z＝110×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝(2)由(1)知，z＝11，2s210＝2故有z≥2s2所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.思維升華總體離散程度的估計標準差(方差)反映了數據的離散與集中、波動與穩定的程度.標準差(方差)越大，數據的離散程度越大；標準差(方差)越小，數據的離散程度越小.跟蹤訓練3某校隨機抽取了100名學生參加“奧運會”知識競賽，統計得到參加競賽的每名學生的成績(單位：分)，然后按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知b＋0.03＝2a.(1)求a，b的值，并估計參加競賽的學生成績的第30百分位數；(2)已知成績在[80，90)內所有學生的平均成績為84分，方差為6，成績在[90，100]內所有學生的平均成績為98分，方差為10，求成績在[80，100]內所有學生的平均成績x和方差s2.解(1)因為在頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，所以(0.005＋0.01＋b＋0.03＋a＋0.01)×10＝1，所以a＋b＝0.045，所以a＋b因為(0.005＋0.01)×10＝0.15，(0.005＋0.01＋0.02)×10＝0.35，所以參加競賽的學生成績的第30百分位數在[60，70)內，設為x，所以(0.005＋0.01)×10＋(x－60)×0.02＝0.3，解得x＝67.5.(2)成績在[80，90)和成績在[90，100]內的學生人數之比為0.025∶0.01＝5∶2，所以x＝5×s2＝5×課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知一組樣本數據1，2，2，3，4，5，則2.5是該組數據的()A.極差 B.平均數C.中位數 D.眾數答案C解析由題意得眾數為2，極差為5－1＝4，平均數為1＋2＋22.若一組數據x1，x2，…，xn的方差為9，則數據2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差為()A.9 B.18C.19 D.36答案D解析∵x1，x2，x3，…，xn的方差為s2＝9，∴2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差為22·s2＝4×9＝36.3.某時間段公路上車速的頻率分布直方圖如圖所示，則()A.a＝0.1B.車速眾數的估計值是70C.車速平均數的估計值大于其中位數的估計值D.車速中位數的估計值是62.5答案D解析由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A錯誤；車速在[60，70)內的頻率最大，所以車速眾數的估計值是65，B錯誤；車速的平均數約為0.1×45＋0.3×55＋0.4×65＋0.2×75＝62，車速的中位數m∈[60，70)，則(m－60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，C錯誤，D正確.4.某班50名同學進行了黨史知識競賽，測試成績統計如表所示，其中兩個數據被遮蓋.成績/分919293949596979899100人數■■1235681012下列關于成績的統計量中，與被遮蓋的數據無關的是()A.平均數，方差 B.中位數，方差C.中位數，眾數 D.平均數，眾數答案C解析由表格數據可知，成績為91分、92分的人數為50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3(人)，成績為100分的出現的次數最多，所以成績的眾數為100，成績從小到大排列后處在第25，26位的兩個數都是98分，所以數據的中位數為98，所以中位數和眾數與被遮蓋的數據無關.5.身體質量指數，簡稱體質指數，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準.該指標是通過體重(kg)除以身高(m)的平方計算得來.這個公式所得比值在一定程度上可以反映人體密度.一般情況下，我國成年人的身體質量指數在18.5~23.9內屬正常范圍.已知A，B，C三人的體質指數的平均值為20，方差為3.D，E兩人的體質指數分別為18和22.則這5人的體質指數的方差為()A.175 B.C.173 D.答案A解析設A，B，C三人的體質指數分別為a，b，c，由于A，B，C三人的體質指數的平均值為20，方差為3，故(a-20)2＋(b-20)2＋(c-20)23＝3，則(a－20)2＋(b－20)2＋(c－20)2＝9，由于a＋b＋c＋18＋225＝20×3＋18＋225＝20，故5個人的體質指數的平均數為20，故15[(a－206.(2024·海口模擬)已知數據x1，x2，x3，…，x10滿足xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后組成一組新數據，則新數據與原數據相比，下列說法錯誤的是()A.中位數不變B.若x1＝1，則數據x1，x2，x3，…，x10的第75百分位數為7.5C.平均數不變D.方差變小答案B解析原來的中位數與現在的中位數均為x5＋x62＝2x當x1＝1時，數據按從小到大的順序排列為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因為10×75%＝7.5，所以該組數據的第75百分位數是第8個數8，故B錯誤；由于xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，故x2＝x1＋1，x3＝x1＋2，…，x9＝x1＋8，x10＝x1＋9，原來的平均數為x1＋x2＋…＋x1010＝10x1＋4510＝x1＋原來的方差為110[(x1－x1－4.5)2＋(x2－x1－4.5)2＋…＋(x10－x1－4.5)2]＝8.25，去掉x1，x10后的方差為18[(x2－x1－4.5)2＋(x3－x1－4.5)2＋…＋(x9－x1－4.5)2]＝5.25，方差變小，故D二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.某公司為保證產品生產質量，連續10天監測某種新產品生產線的次品件數，得到關于每天出現的次品的件數的一組樣本數據：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關于這組數據的結論正確的是()A.極差是4B.眾數小于平均數C.方差是1.8D.數據的80%分位數為4答案AC解析數據從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.該組數據的極差為5－1＝4，故A正確；眾數為3，平均數為1×2＋2＋方差為110×[(1－3)2×2＋(2－3)2×1＋(3－3)2×4＋(4－3)2×1＋(5－3)2×2]＝1.8，故C∵10×80%＝8，∴這組數據的80%分位數為第8個數和第9個數的平均數4.5，故D錯誤.8.移動互聯網時代，智能終端市場商機無限，全球商家強勢搶攻市場.通過同比數據發現，中國智能手機市場呈現出積極的增長趨勢.據報載，2023年11月，中國市場智能手機新機激活量為2871萬臺，同比增長12.9%(同比增長率＝本期數據-去年同期數據去年同期數據×100%)，具體分為7個品牌排名，統計數據如表所示，則下列說法正確的有排名品牌當月新機激活量/萬臺同比新機激活量增長/萬臺No.1A604.413.0No.2B524.3160.5No.3C403.145.0No.4D401.4172.9No.5E383.3－47.5No.6F376.3－44.8No.7G178.228.0A.該月7個品牌同比新機激活量增長數據的極差為125.4B.該月7個品牌新機激活量數據的平均數大于中位數C.該月D品牌新機激活量同比增長率大于75%D.去年同期中國市場智能手機新機激活量小于2600萬臺答案BCD解析同比新機激活量增長數據的極差為172.9－(－47.5)＝220.4，故A錯誤；該月新機激活量數據的平均數為28717≈410.14，該月7個品牌新機激活量數據的中位數為401.4，故B去年同期D品牌新機激活量為401.4－172.9＝228.5，所以同比增長率為172.9228.5×100%≈75.67%>75%，故C設去年同期中國市場智能手機新機激活量為x，由題意可得2871-xx×100%＝12.9%，解得x≈2543<2600，故D三、填空題(每小題5分，共10分)9.一組數據按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數據的中位數是極差的35，則該組數據的第40百分位數是.答案6解析由題意知該組數據的極差為17－2＝15，中位數為m＋所以m＋122＝15×35＝9，解得又6×40%＝2.4，所以該組數據的第40百分位數是該組數據的第三個數6.10.已知某7個數的平均數為2，方差為4，現加入一個新數據2，此時這8個數的方差為.

答案7解析原7個數的方差為177∑i即7∑i=1(xi-2加入一個新數據2后所得8個數的平均數為x＝7×所以這8個數的方差為s2＝18[28＋(2－2)2]＝7四、解答題(共28分)11.(13分)第8屆中國－南亞博覽會暨第28屆中國昆明進出口商品交易會在昆明滇池國際會展中心隆重開幕.本屆南博會以“團結協作，共謀發展”為主題，共設15個展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個國家、地區和國際組織參會，2000多家企業進館參展.某機構邀請了進館參展的100家企業對此次展覽進行評分，分值均在[90，100]內，并將部分數據整理如表：分數[90，92)[92，94)[94，96)[98，100]頻數10102020(1)估計這100家企業評分的中位數(保留小數點后一位)；(6分)(2)估計這100家企業評分的平均數與方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表).(7分)解(1)由題意得這100家企業評分在[96，98)內的頻數為100－10－10－20－20＝40.設這100家企業評分的中位數的估計值為x，因為評分在[90，96)內的頻數之和為10＋10＋20＝40<50，評分在[90，98)內的頻數之和為40＋40＝80>50，所以x∈[96，98)，由50-4040得x＝96.5.(2)這100家企業評分的平均數的估計值為x＝1100(91×10＋93×10＋95×20＋97×40＋99×20)這100家企業評分的方差的估計值為s2＝1100[(91－96)2×10＋(93－96)2×10＋(95－96)2×20＋(97－96)2×40＋(99－96)2×20]＝12.(15分)某英語老師負責甲、乙兩個班的英語課，其中甲班有60名學生，乙班有48名學生.為分析他們的英語成績，該老師計劃用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取18名學生，統計他們英語考試的分數.(1)該老師首先在甲班采用隨機數法抽取所需要的學生，為此將甲班學生隨機編號為01~60，按照以下隨機數表，以第2行第21列的數字4為起點，從左到右依次讀取數據，每次讀取兩位隨機數，重復的跳過，一行讀完之后接下一行左端.求抽出的學生編號的中位數；(5分)78166572080263140702436997280198320492434935820036234869693874812976341328414241242419859313232283039822588824101158272964432943(2)已知甲班的樣本平均數為x1＝72，方差為s12＝92，兩班總的樣本平均數為x＝76，方差為s①求乙