§2.14函數模型的應用課標要求1.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異.2.理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義.3.能選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律,了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.1.三種函數模型的性質函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0,＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨α值的變化而各有不同2.常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a,b為常數,a≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c為常數,a≠0)反比例函數模型f(x)＝kx＋b(k,b為常數,k≠0指數函數模型f(x)＝bax＋c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)對數函數模型f(x)＝blogax＋c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)冪函數模型f(x)＝axα＋b(a,b,α為常數,a≠0,α≠0)1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大.(×)(2)A公司員工甲購買了某公司的股票,第一天漲了10%,第二天跌了10%,則員工甲不賺不賠.(×)(3)已知a>1,在(0,＋∞)上,隨著x的增大,y＝ax的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa和y＝logax的增長速度.(√)(4)在選擇函數模型解決實際問題時,必須使所有的數據完全符合該函數模型.(×)2.下列函數中,隨著x的增長,y的增長速度最快的是()A.y＝50 B.y＝1000xC.y＝2lnx D.y＝11000e答案D解析依據常函數、一次函數、對數函數、指數函數的性質可知隨著x的增長,y＝11000ex的增長速度最快3.在一次數學實驗中,某同學運用圖形計算器采集到如下一組數據：x0.240.5112.023.988.02y－2.0－1.001.02.03.0在下列四個函數模型(a,b∈R)中,最能反映x,y函數關系的是()A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝a＋logbx D.y＝a＋b答案C解析作出散點圖如圖所示,由散點圖可知,散點圖和對數函數圖象接近,可選擇y＝a＋logbx反映x,y函數關系.4.我國的煙花名目繁多,其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的關系為h(t)＝－5t2＋15t＋20,那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為()A.26米 B.28米 C.31米 D.33米答案C解析h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5t-322＋1254,h((1)理解三個術語：“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快,其增長量成倍增加,常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢,其增長速度緩慢.(2)充分理解題意,并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.(3)解題時,易忽視實際問題中自變量的取值范圍,需合理確定函數的定義域,必須驗證數學結果對實際問題的合理性.題型一用函數圖象刻畫變化過程命題點1函數的增長差異例1設f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,當x∈(4,＋∞)時,對這三個函數的增長速度進行比較,下列結論正確的是()A.f(x)的增長速度最快,h(x)的增長速度最慢B.g(x)的增長速度最快,h(x)的增長速度最慢C.g(x)的增長速度最快,f(x)的增長速度最慢D.f(x)的增長速度最快,g(x)的增長速度最慢答案B解析畫出函數f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的圖象,如圖所示,結合圖象,可得三個函數f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中,當x∈(4,＋∞)時,函數g(x)＝2x增長速度最快,h(x)＝log2x增長速度最慢.所以選項B正確.命題點2用函數圖象刻畫變化過程例2(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在人體內發揮治療作用時,該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后,體內血藥濃度及相關信息如圖所示：根據圖中提供的信息,下列關于成人服用該藥物的說法中,正確的是()A.首次服用1單位該藥物,約10分鐘后藥物發揮治療作用B.每次服用1單位該藥物,兩次服藥間隔小于2小時時,一定會產生藥物中毒C.首次服用1單位該藥物,約5.5小時后第二次服用1單位該藥物,可使藥物持續發揮治療作用D.首次服用1單位該藥物,3小時后再次服用1單位該藥物,不會發生藥物中毒答案ABC解析從圖象中可以看出,首次服用1單位該藥物,約10分鐘后藥物發揮治療作用,A正確；根據圖象可知,首次服用1單位該藥物,約1小時后血藥濃度達到最大值,由圖象可知,當兩次服藥間隔小于2小時時,一定會產生藥物中毒,B正確；服藥5.5小時時,血藥濃度等于最低有效濃度,此時再服藥,血藥濃度增加,可使藥物持續發揮治療作用,C正確；首次服用1單位該藥物4小時后與再次服用1單位該藥物1小時后,血藥濃度之和大于最低中毒濃度,因此一定會發生藥物中毒,D錯誤.思維升華判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時,先建立函數模型,再結合模型選擇函數圖象.(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點,結合函數圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案.跟蹤訓練1為了能在規定時間T內完成預期的運輸量Q0,某運輸公司提出了四種運輸方案,每種方案的運輸量Q與時間t的關系如圖(四個選項)所示,其中運輸效率(單位時間內的運輸量)逐步提高的選項是()答案B解析由題意,運輸效率逐步提高,即函數增長速率逐漸加快,選項B滿足.題型二已知函數模型的實際問題例3(1)2024年1月5日,第40屆中國·哈爾濱國際冰雪節在哈爾濱冰雪大世界園區開幕,現場流光溢彩,游客如潮,充滿熱情與活力.該園區為了倡導綠色可循環的理念,配備了先進的污水、雨水過濾系統.已知過濾過程中廢水的污染物數量N(mg/L)與時間t(小時)的關系為N＝N0e－kt(N0為最初污染物數量).如果前2個小時消除了20%的污染物,那么前6個小時消除了污染物的()A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%答案B解析依題意有N0e－2k＝(1－20%)N0,可得e－2k＝0.8,當t＝6時,N0e－6k＝N0(e-2k)3＝0.512N0＝(1－48.因此,前6個小時消除了污染物的48.8%.(2)在不考慮空氣阻力的條件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的質量x(kg)、火箭(除燃料外)的質量m(kg)的函數關系是y＝4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln2,要使火箭的最大速度達到12km/s,則燃料質量與火箭質量的比值是.

答案e3－1解析根據題意,可得4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln2＝12,所以lnm＋x2m4＋ln即lnm＋xm4＝ln可得1＋xm4而1＋xm>0,則1＋xm＝e所以xm＝e3－1即燃料質量與火箭質量的比值是e3－1.思維升華已知函數模型解決實際問題的關鍵(1)認清所給函數模型,弄清哪些量為待定系數.(2)根據已知利用待定系數法,確定模型中的待定系數.(3)利用該函數模型,借助函數的性質、導數等求解實際問題,并進行檢驗.跟蹤訓練2(2024·本溪模擬)我國量子計算機“悟空”預計到2025年可以操控的超導量子比特達到1024個.已知1個超導量子比特共有2種疊加態,2個超導量子比特共有4種疊加態,3個超導量子比特共有8種疊加態,…,每增加1個超導量子比特,其疊加態的種數就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10,k∈N),則稱N為k＋1位數,已知1024個超導量子比特的疊加態的種數是一個m位的數,則m等于(參考數據：lg2≈0.301)()A.308 B.309 C.1023 D.1024答案B解析根據題意,得n個超導量子比特共有2n種疊加態,所以當有1024個超導量子比特時共有N＝21024(種)疊加態.兩邊取以10為底的對數得lgN＝lg21024＝1024lg2≈1024×0.301＝308.224,所以N≈10308.224＝100.224×10308.由于1<100.224<10,故N是一個309位的數,即m＝309.題型三構造函數模型的實際問題例4汽車智能輔助駕駛已開始得到應用,其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離,當此距離等于報警距離時就開啟報警提醒,等于危險距離時就自動剎車.某種算法將報警時間分為4段(如圖所示),分別為準備時間t0、人的反應時間t1、系統反應時間t2、制動時間t3,相應的距離分別為d0,d1,d2,d3,當車速為v(單位：m/s),且0≤v≤33.3時,通過大數據統計分析得到如表(其中系數k隨地面濕滑程度等路面情況而變化,且0.5≤k≤0.9).階段準備人的反應系統反應制動時間t0t1＝0.8st2＝0.2st3距離d0＝30md1d2d3＝v2(1)請寫出報警距離d(單位：m)與車速v(單位：m/s)之間的表達式；(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛,報警距離均小于90m,則汽車的行駛速度應限制在多少以下？解(1)根據題意,d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋v220k＝30＋v＋v220k(0≤v(2)根據題意,對任意的k∈[0.5,0.9],d<90恒成立,即對任意的k∈[0.5,0.9],30＋v＋v220k易知當v＝0時,滿足題意；當0<v≤33.3時,有120k<60v2－1v對任意的k∈[0.5由k∈[0.5,0.9],得120k所以60v2即v2＋10v－600<0,解得－30<v<20,所以0<v<20.綜上,0≤v<20.所以汽車的行駛速度應限制在20m/s以下.思維升華構建函數模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數學模型.(2)推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算,得到問題在數學意義上的解.(3)評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論,作出評價、解釋,然后返回到原來的實際問題中去,得到實際問題的解.跟蹤訓練3“打水漂”是一種游戲,通過一定方式投擲石片,使石片在水面上實現多次彈跳,彈跳次數越多越好.小趙同學在玩“打水漂”游戲時,將一石片按一定方式投擲出去,石片第一次接觸水面時的速度為20m/s,然后石片在水面上繼續進行多次彈跳.不考慮其他因素,假設石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的85%,若石片接觸水面時的速度低于6m/s,石片就不再彈跳,沉入水底,則小趙同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為(參考數據：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg17≈1.23)()A.6 B.7 C.8 D.9答案C解析設石片第n次接觸水面時的速度為vn,則vn＝20×0.85n－1,由題意得20×0.85n－1≥6,即0.85n－1≥0.3,得n－1≤log0.850.3,又log0.850.3＝lg0.3lg0.85＝lg3-1lg85-2所以n≤8.4,故這次“打水漂”石片的彈跳次數為8.課時精練[分值：80分]一、單項選擇題(每小題5分,共20分)1.已知a,b,c,d四個物體沿同一方向同時開始運動,假設其經過的路程和時間x的函數關系分別是f1(x)＝x2,f2(x)＝x12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果運動時間足夠長,則運動在最前面的物體一定是(A.a B.b C.c D.d答案D解析在運動時間足夠長時,指數函數f4(x)＝2x的增長速度大于二次函數f1(x)＝x2的增長速度,大于冪函數f2(x)＝x12的增長速度,大于對數函數f3(x)＝log2x的增長速度,所以運動在最前面的物體一定是2.一組實驗數據及對應散點圖如圖所示,則體現這些數據關系的最佳函數模型是()x10202941505870y123.87.4111521.8A.y＝Alogax＋p B.y＝A·ax＋pC.y＝ax2＋bx＋c D.y＝kx＋b答案C解析由散點圖中各點的變化趨勢：非線性、且在第一象限內單調遞增,對于Δxi＝xi＋1－xi,Δyi＝yi＋1－yi,i∈{1,2,3,4,5,6},由題意可得x102029415058Δ0.10.20.30.40.50.57可知x,Δyi3.輸血是外傷人員救治的重要手段,血液質量對提高救治成功率極為關鍵.血液質量的主要評判指標是血液中ATP含量.已知血液中ATP濃度S(單位：μmol/gHb)隨溫度λ(單位：℃)、時間t(單位：天)、及起始濃度S0變化的近似函數關系式為S＝S0t1.08λe－1.30λ(e為自然對數的底數,e≈2.71828).由此可知,當血液在20℃恒溫條件下,保存5天后的ATP濃度大約相當于血液在4℃恒溫條件下保存天后的ATP濃度(參考數據：ln5≈1.6)()A.16 B.20 C.25 D.30答案C解析設所求為t天,由題意得S0×51.08×20e－1.30×20＝S0×t1.08×4e－1.30×4,解得t4.32＝5取對數為lnt＝21.6ln5-20.84.32≈3.2≈2ln5＝ln25,所以t≈254.(2025·宜賓模擬)根據調查統計,某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型y＝N1＋Ny0-1e-px,其中y(單位：萬輛)為第x年年底新能源汽車的保有量,p為年增長率,N為飽和度,y0為初始值.若2023年年底該市新能源汽車的保有量是20萬輛,以此為初始值,以后每年的增長率為12%,飽和度為1300萬輛,那么2033年年底該市新能源汽車的保有量約為(結果四舍五入保留整數,參考數據：ln0.887≈－0.12,ln0.A.65萬輛 B.64萬輛C.63萬輛 D.62萬輛答案B解析根據題中所給模型,代入有關數據,則2033年年底該市新能源汽車的保有量為y＝1300因為ln0.30≈－1.2,所以e－1.2≈0.30,所以y＝13001＋64e所以2033年年底該市新能源汽車的保有量約為64萬輛.二、多項選擇題(每小題6分,共12分)5.已知函數y1＝x2,y2＝2x,y3＝x,則下列關于這三個函數的描述中,正確的是()A.在[0,＋∞)上,隨著x的逐漸增大,y1的增長速度越來越快于y2B.在[0,＋∞)上,隨著x的逐漸增大,y2的增長速度越來越快于y1C.當x∈(0,＋∞)時,y1的增長速度一直快于y3D.當x∈(0,＋∞)時,y1的增長速度有時快于y2答案BD解析在同一平面直角坐標系中畫出函數y1＝x2,y2＝2x,y3＝x的圖象,如圖所示.對于A,B,在[0,＋∞)上,隨著x的逐漸增大,y2的增長速度越來越快于y1,故A錯誤,B正確；對于C,當x∈(0,＋∞)時,y1的增長速度不是一直快于y3的,故C錯誤；對于D,當x∈(0,＋∞)時,y1的增長速度有時快于y2,故D正確.6.某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態,經搶修排氣扇恢復正常,排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm,繼續排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(單位：ppm)與排氣時間t(單位：分鐘)之間滿足函數關系y＝aeRt(a,R為常數,e是自然對數的底數).若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進入車庫了,則下列說法正確的是()A.a＝128B.R＝14C.排氣12分鐘后濃度為16ppmD.排氣32分鐘后,人可以安全進入車庫答案ACD解析設f(t)＝aeRt,由題意得ae4R＝64,ae此時f(t)＝128(eR)t＝27·(2-14)t＝27-t4,當f(t)≤0.5時,27-t4≤0.5＝2－1,得7－t4≤－1,所以t≥32,所以排氣32分鐘后,三、填空題(每小題5分,共10分)7.函數y＝x與函數y＝x·lnx在區間(4,＋∞)上增長較快的一個是.

答案y＝x·lnx解析當x∈(4,＋∞)時,x·lnx－x＝x(lnx－1)>x(ln4－1)>0,所以函數y＝x·lnx在區間(4,＋∞)上增長較函數y＝x快.8.表觀活化能的概念最早是針對阿倫尼烏斯公式k＝Ae-EaRT中的參量Ea提出的,是通過實驗數據求得,又叫實驗活化能,公式中的k為反應速率常數,R為摩爾氣體常量,T為熱力學溫度(單位為開爾文,簡稱開),A(A>0)為阿倫尼烏斯常數.已知某化學反應的溫度每增加10開,反應速率常數k變為原來的2倍,則當溫度從300開上升到400開時,估計EaR的值為.(結果精確到百位,參考數據：ln答案8400解析根據題意,溫度每增加10開,反應速率常數k變為原來的2倍,則當溫度從300開上升到400開時,反應速率常數k變為300開時的210倍,由k＝Ae-EaRT,當T＝300開時,當T＝400開時,k2＝Ae所以k2k1＝Ae-Ea400eEa1200R＝210,EEaR＝12000ln2≈12000×0.7＝8四、解答題(共27分)9.(13分)研究表明：在一節40分鐘的網課中,學生的注意力指數y與聽課時間x(單位：分鐘)之間的變化曲線如圖所示,當x∈[0,16]時,曲線是二次函數圖象的一部分；當x∈[16,40]時,曲線是函數y＝log0.8(x＋a)＋80圖象的一部分,當學生的注意力指數不高于68時,稱學生處于“欠佳聽課狀態”.(1)求函數y＝f(x)的解析式；(6分)(2)在一節40分鐘的網課中,學生處于“欠佳聽課狀態”的時間有多長？(參考數據：0.8－12≈14.6,精確到1分鐘)(7分)解(1)當x∈[0,16]時,設函數f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0),因為f(16)＝b(16－12)2＋84＝80,所以b＝－14,所以f(x)＝－14(x－12)2當x∈[16,40]時,f(x)＝log0.8(x＋a)＋80,由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80,解得a＝－15,所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80,綜上,f(x)＝-(2)當x∈[0,16]時,令f(x)＝－14(x－12)2＋84≤68即(x－12)2≥64,解得x≤4或x≥20(舍去),所以x∈[0,4]；當x∈[16,40]時,令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68,得x≥15＋0.8－12≈29.6,所以x∈[30,40],所以學生處于“欠佳聽課狀態”的時長為4－0＋40－30＝14(分鐘).10.(14分)用打點滴的方式治療“支原體感染”病患時,第一次注射的血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度)隨時間變化的函數符合c1(t)＝N0(1－2－kt),其函數圖象如圖所示,其中N0為與環境相關的常數,此種藥物在人體內有治療效果的濃度在4到15之間,當達到上限濃度時,必須馬上停止注射,之后血藥濃度隨時間變化的函數符合c2(t)＝c·2－kt,其中c為停藥時的人體血藥濃度.(1)求出函數c1(t)的解析式；(5分)(2)一病患開始第一次注射后,最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果,最多再隔多長時間開始進行第二次注射？(如果計算結果不是整數,保留小數點后一位,參考數據：lg3≈0.48,lg2≈0.30)(9分)解(1)由圖象可知,圖象經過(4,8),(8,12)兩點,將兩點坐標代入c1(t)＝N0(1－2－kt),則N解得N所以c1(t)＝16×(1－2-1(2)由題意,可知有治療效