第二章《直線和圓的方程》2.1.1傾斜角與斜率【劃重點】1．了解直線的斜率和傾斜角的概念.2．理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3．了解斜率公式的推導過程，會應用斜率公式求直線的斜率．【知識梳理】知識點一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識點二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對應關系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【例題詳解】一、直線的傾斜角例1(1)過兩點和的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據直線的斜率公式計算即可求出.【詳解】斜率，傾斜角為，，．故選：D(2)直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與軸垂直即可求得答案【詳解】因為直線與軸垂直，故直線的傾斜角為故選：C跟蹤訓練1(1)直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直線傾斜角和斜率的關系即可.【詳解】直線；；故選：C(2)下列圖形中，對直線的傾斜角與斜率描述正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據傾斜角定義及傾斜角與斜率的關系可以判斷.【詳解】對于:傾斜角為鈍角,且,則,與已知矛盾,故錯誤;對于:傾斜角定義:軸正向與直線向上的方向之間所成的角為傾斜角,傾斜角錯誤,故錯誤;對于:傾斜角為鈍角,且,則,,故正確;對于:傾斜角定義:軸正向與直線向上的方向之間所成的角為傾斜角,傾斜角錯誤,故錯誤;故選:.二、直線的斜率例2(1)下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【答案】D【分析】根據直線的傾斜角和斜率概念分別判斷即可.【詳解】對于:直線的傾斜角,,所以錯誤；對于:兩直線的傾斜角相等為,斜率不存在,所以錯誤；對于:當直線的傾斜角為時直線斜率不存在，所以錯誤；對于:任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以正確.故選：.(2)已知點，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據斜率公式列式計算即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C跟蹤訓練2(1)如圖，直線l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖中求出直線l的傾斜角，再根據斜率公式求出直線l的斜率.【詳解】如圖，直線l的傾斜角為30°，tan30°，所以直線l的斜率為.故選：B.(2)直線過點，，則直線的斜率為______，傾斜角為______.【答案】1/【分析】根據斜率和傾斜角的定義求解即可.【詳解】因為直線過點，，所以直線的斜率，由斜率可得傾斜角為，故答案為：；三、斜率與傾斜角的變化關系例3(1)如圖，已知直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關系求解.【詳解】解：設直線的傾斜角分別為，由題圖知，直線的傾斜角為鈍角，.又直線的傾斜角均為銳角，且，，.故選：D.(2)設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，由圖可得的范圍，即可得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，如圖所示：由此可得.故選：A.(3)經過兩點，的直線的傾斜角是銳角，則實數m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意列出相應的不等式，即可得答案.【詳解】由題意經過兩點，的直線的傾斜角是銳角，可知，且，解得，即實數m的范圍是，故選：C跟蹤訓練3(1)已知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據傾斜角和斜率的關系求得正確答案.【詳解】因為，為銳角，所以．故選：C(2)若直線的斜率為，傾斜角為且，則的取值范圍是_________________.【答案】【分析】直接利用斜率和傾斜角的關系來得答案.【詳解】，且，或，即的取值范圍是.故答案為：.四、直線與線段的相交關系求斜率范圍例4(1)已知點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據兩點斜率公式，結合圖形以及傾斜角與斜率的關系即可求解.【詳解】直線的斜率分別為,結合圖形可知：直線過點且與線段相交時，，故選：B(2)已知兩點，過點的直線與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求出點與線段端點所成直線的斜率，即可得直線的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關系求傾斜角范圍即可求解.【詳解】由題意：如下圖所示：所以，，則，若直線的傾斜角，則，所以，故選：.跟蹤訓練4(1)直線與線段沒有公共點，其中，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】數形結合即可求得的取值范圍.【詳解】直線化為，由題可知，當直線經過點時，解得，當直線經過點時，解得，若直線與線段沒有公共點，則有或，即.故選：A(2)已知點，，若點在線段上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示點與與直線的斜率取值范圍，先求出與點連線斜率，再結合題意即可得出答案.【詳解】解：∵，∴可得為點與與直線的斜率取值范圍，如圖所示：∴與點連線斜率為，與點連線斜率為，∴可得斜率取值范圍為．故選:A．【課堂鞏固】1．以下四個命題，正確的是（

）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經過兩點的直線的傾斜角為銳角C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應【答案】D【分析】根據直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為，故A錯誤；B：過點A、B的直線的斜率為，即(為直線的傾斜角)，則為鈍角，故B錯誤；C：當直線的傾斜角為時，該直線的斜率不存在，故C錯誤；D：若直線的斜率存在，則必存在對應的傾斜角，故D正確.故選：D.2．已知直線的斜率為,則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據斜率和傾斜角之間的關系即可得傾斜角.【詳解】解:因為斜率為-1,設直線傾斜角為,,所以,即.故選:D3．已知直線經過點，，該直線的傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據兩點表示直線斜率求出直線的斜率，再由斜率的定義即可得傾斜角.【詳解】因為直線過點，，所以直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，故選：C.4．若直線l的斜率k=2，又過一點(3，2)，則直線l經過點（

）A．(0，4) B．(4，0)C．(0，4) D．(2，1)【答案】B【分析】利用斜率公式逐個驗證即可【詳解】對于A，，不符合題意；對于B，，所以B正確；對于C，，不符合題意；對于D，，不符合題意，故選：B5．若過點，的直線的傾斜角為銳角，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據兩點斜率公式求得斜率，再根據斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】因為直線的斜率，又因為直線的傾斜角為銳角，所以，解得.故選：C6．經過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫出坐標系，連接，結合斜率變化可知，，聯立斜率與傾斜角關系即可求解.【詳解】如圖所示，設直線l的傾斜角為，，則，，∵直線l與連接，的線段總有公共點，∴，即，∴．故選：A．7．已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，分別求出，，根據表示直線的斜率即可得到結果.【詳解】設，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.8．已知、，若直線經過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出圖形，數形結合可得出直線的斜率的取值范圍.【詳解】過點作，垂足為點，如圖所示：設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.9．已知坐標平面內三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】作出圖象，求出的斜率，再結合圖象即可得解.【詳解】如圖所示，，因為為的邊上一動點，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.10．若正方形一邊對角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為______，______.【答案】【分析】建立直角坐標系，由已知可設，根據圖象結合正方形的性質可知，兩條鄰邊所在直線的傾斜角分別為，，根據兩角和與差的正切公式，以及直線的傾斜角與斜率的關系，即可得出答案.【詳解】正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為，建立如圖直角坐標系，設對角線OB所在直線的傾斜角為，則，由正方形性質可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故，.故答案為：；.11．已知三點三點共線，則實數的值為__________.【答案】6【分析】依題意可得，根據斜率公式計算可得.【詳解】解：因為三點共線，所以，即，解得；故答案為：12．直線經過兩點，直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則的斜率為___________.【答案】【分析】根據已知兩點求斜率，以及直線斜率計算即可.【詳解】因為直線經過兩點所以直線的斜率為所以直線的傾斜角為又因為直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，所以直線的傾斜角為，所以的斜率為故答案為：.13．直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【答案】【分析】作出圖形，求出、，觀察直線與線段的交點運動的過程中，直線的傾斜角的變化，可得出直線的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設過點且與軸垂直的直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，此時，；當點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，此時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.14．已知，，三點.(1)若直線的傾斜角為135°，求的值.(2)是否存在，使得三點共線？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，使得三點共線，【分析】（1）根據題意得，再解方程即可得答案；（2）根據三點共線時，列方程求解即可.【詳解】（1）解：因為，，直線的傾斜角為135°所以，，解得故的值為（2）解：因為，，三點.所以，當三點共線時，，即，解得所以，存在，使得三點共線，【課時作業】1．直線經過，兩點，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出直線的傾斜角，求出其正切值，即斜率，進而可得出傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，由已知可得直線的斜率，又，所以傾斜角是，故選：B.2．若直線l的斜率為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據斜率的定義求解.【詳解】由定義：斜率，其中為直線l的傾斜角，，又；故選：C.3．若直線的傾斜角為α，則α為（

）A．0 B． C． D．不存在【答案】C【分析】為常數，所以直線的傾斜角為，得出結果.【詳解】解：為常數，所以直線的傾斜角為.故選：C4．傾斜角為的直線經過點和，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由傾斜角和兩點坐標分別表示出斜率，由此可構造方程求得的值.【詳解】直線斜率，.故選：C.5．已知直線的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據斜率與傾斜角的關系，結合正切的二倍角公式，可得答案.【詳解】由直線的斜率為，設其傾斜角為，則，由直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，設直線的傾斜角為，則，，，解得或，由傾斜角的取值范圍為，則，故直線的斜率為.故選：C.6．經過兩點，的直線的傾斜角是鈍角，則實數m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于0，列不等式解實數m的范圍【詳解】直線的傾斜角是鈍角，則直線斜率，解得或．故選：D．7．已知直線過點，且不過第四象限，則直線的斜率的最大值是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由直線不過第四象限，可畫出所有符合要求的直線，觀察可得.【詳解】如圖，，，只有當直線落在圖中所示位置時才符合題意，故.故直線的斜率的最大值為2．故選：A.8．經過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫出坐標系，連接，，，結合斜率變化可知，，聯立斜率與傾斜角關系即可求解.【詳解】由題知，直線的傾斜角為，則，，，且直線與連接點，的線段總有公共點，如下圖所示，則，即，.故選：B9．已知點，若點在線段上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據已知條件，結合直線的斜率公式，即可求解【詳解】可看作與的斜率，則，，因為點在線段上，所以的取值范圍為，故選：A10．已知直線的斜率不存在，且，則直線的斜率為___________.【答案】0【分析】由直線的傾斜角結合垂直關系得出直線的斜率.【詳解】直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為0，則斜率為0故答案為：011．若直線的斜率為，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【分析】根據正弦函數的取值范圍，結合直線斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】由題意可得直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，解得，故答案為：12．線段AB，其中，，過定點作直線l與線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是______.【答案】【分析】計算，，得到范圍.【詳解】，，，故，，兩點之間橫坐標不包含，故直線l的斜率的取值范圍是.故答案為：13．已知實數