青島版數學七年級下冊10.整式乘法與除法復習冪的運算整式的乘法和除法

知識梳理am·an=am+n(am)n=am·n

(a·b)n=an·bn

am÷an=am-n整式的乘除同底數冪相乘冪的乘方積的乘方同底數冪相除單項式與單項式相乘單項式與多項式相乘多項式與多項式相乘零指數冪與負整數指數冪原有的正整數指數冪的運算性質擴大到全體整數指數。絕對值小于1的非零小數的科學記數法單項式除以單項式多項式除以單項式平方差公式完全平方公式

(a±b)

2=a2±2ab+b21.同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加am·an=am+n

2.積的乘方法則:(ab)n

=an·bn積的乘方等于積中每個因數乘方的積

anbn

=(ab)n

(n是正整數)3.冪的乘方的法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘.(am)n=amn

amn=(am)n=(an)m

(m，n為正整數)成立。4.同底數冪除法的法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減。am÷an=am-nam-n

=am÷an

(a≠0，m，n是正整數).am+n=am·an(m,n都是正整數)

考點一

冪的運算基礎知識填空：

1.（-x3）÷(-x)2·(-x4)=.

2.3m2n·(-mn3)=.

3.(-2x2)3=.

4.41023×（-0.5）2025=

.

5.2-2×2-3=.

6.-0.000823=

(用科學記數法表示)x5-3m3n4-8x6

-8.23×10-4

考點一

冪的運算-2

考點一

冪的運算思路導引對于同底數冪的乘法,當底數互為相反數時,底數經過轉化才能運用同底數冪的的運算性質，底數變化時注意符號的變化。例1計算:

(a-b)3·(b-a)2解：(a-b)3·(b-a)2=(a-b)3·(a-b)2=(a-b)5跟蹤練習1.

考點一

冪的運算(1)y3·(-y)·(-y)5·(-y)2;(2)(m-n)2·(n-m)3·(m-n)6。(3)(2x-3y)n·(3y-2x)2n+1。=y11=-(m-n)11或=(n-m)11=(2x-3y)3n+1例2計算:(1)-(-x2)3·(-x3)2;(2)已知2x=a,3x=b,求6x;

考點一

冪的運算思路導引積的乘方與冪的乘方的運算性質運用時，要時刻牢記乘方的意義.解：(1)-(-x2)3·(-x3)2=-(-x6)·x6=x12(2)∵2x=a,3x=b,

∴6x=2x·3x=ab運用積的乘方的運算性質時,底數的系數也要乘方,且注意符號,逆用積的乘方的運算性質也是解決問題的一種有效方法已知:2x+3y-4=0,求4x

·

8y

的值。解：∵2x+3y-4=0

∴2x+3y=4∴4x

·

8y=(22)x

·(23)y

=22x·23y=22x+3y=24=16跟蹤練習2.

考點一

冪的運算1.零指數冪的法則：任何不等于零的數的零次冪都等于1.

2.負整數指數冪的性質：任何不等于零的數的-n次冪等于這個數的n次冪的倒數.

考點二

零指數冪與負整數指數冪的運算例3.計算：(1)(ab-2c-3)-3; (2)a5·a2÷a-6; (3)(-3a2b-2)-3.(-2a-3b4)-2;(4)-1-2025+(2024-π)0-+(-2)3。

解:(1)(ab-2c-3)-3=a-3b6c9(2)a5·a2÷a-6=a7÷a-6=a13

考點二

零指數冪與負整數指數冪的運算(3)(-3a2b-2)-3.(-2a-3b4)-2=（-3）-3（a-6b6)

.(-2）-2（a6b-8)

考點二

零指數冪與負整數指數冪的運算1.單項式與單項式相乘的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。2.單項式乘以多項式的法則：單項式與多項式相乘，先將單項式分別乘多項式的各項，再把所得的積相加。3.多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

考點三

整式乘法與除法

考點三

整式乘法與除法例3.（1）(-2a2)3·(-3a3)2先做乘方，再做單項式乘法。還要注意符號（2）先化簡,再求值:(2a-3)(3a+1)-6a(a-4),其中a=1解:(2a-3)(3a+1)-6a(a-4)=6a2+2a-9a-3-6a2+24a=17a-3當a=1時原式=17×1=17

考點三

整式乘法與除法

考點三

整式乘法與除法(1)至少需要多少平方米的木地板?(2)如果去年地磚的價格是m元/m2，今年地磚的價格每平方米上漲了5元錢,那么李叔叔至少需要花多少錢買地磚?例4.李叔叔剛購置一套新房，其結構如圖,他打算將廚房和衛生間鋪地磚，其余部分鋪木地板,請你幫他解決下面的問題:(2)(3a2+7ab+2a+2b)(m+5)

考點三

整式乘法與除法解:(1)（a+b)(a+2+2a)+ab+2b(2a+2)=（a+b)(3a+2)+ab+4ab+4b=3ab+2a+3ab+2b+ab+4ab+4b=(3a2+7ab+2a+2b)m2;=(abm+5ab+4bm+20b)元答：需要(3a2+7ab+2a+2b)m2的木地板.答：需要花(abm+5ab+4bm+20b)元買地磚。1.平方差公式：兩數和與這兩數差的積,等于它們的平方差.(a+b)(a?b)=a2?b2

相同的項為a，異號的項為b.

2.完全平方公式：兩個數的和(差)的平方，等于這兩個數的平方和加上（或減去）它們乘積的二倍。(a+

b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=

a2-2ab+b2

考點四

乘法公式

考點四

乘法公式例4計算:(1)2(3-5a)2-5(-7+3a)(3a+7);(2)20242-2022×2026;(3)(x-2y-1)2;(4)(a-b+c)(a+b-c)。解:(1)2(3-5a)2-5(-7+3a)(3a+7)=2(9-30a+25a2）-5(25a2-49)=18-60a+50a2-125a2+245=-60a-75a2+263(2)20242-2022×2026=20242-（2024+2）×（2024-2）=20242-（20242-4）=4(3)(x-2y-1)2=(x-2y）2-2(x-2y）+12=x2-4xy+4y2-2x+4y+1

考點四

乘法公式(4)(a-b+c)(a+b-c)=﹝a-（b-c)﹞﹝(a+（b-c)﹞=a2-（b-c）2=a2-b2+2bc+2

考點四

乘法公式跟蹤練習4.運用乘法公式計算:(1)(x+y)2-(x-y)2;(2)(x+y-2)(x-y+2);(3)79.8×80.2;(4)19.92。

考點四

乘法公式例5已知(x+y)2=18,(x-y)2=6，分別求下列代數式的值:(1)x2+y2; (2)x2+3xy+y2;

（3）x4+y4

考點四

乘法公式(3)x4+y4解:∵(x+y)2=18,(x-y)2=6∴x2+y2+2xy=18,x2+y2-2xy=6,∴x2+y2=12,xy=3,(1）x2+y2=12(2)x2+3xy+y2=12+3×3=21;=(x2+y2)2-2x2y2=122-2×32=126。例6.若(x2-px+8)與(x2+3x+q)乘積中x3項的系數為2,常數項為

-16,求這兩個多項式乘積的一次項系數。

因此，一次項系數為-(pq-24)=-(1×-2-24)=26。解：將兩個多項式相乘，得到:(x2-px+8)(x2+3x+q)=x4+(3-p)x3+(q-3p+8)x2-(pq-24)x+8q根據題意，x3項系數為2，即3-p=2，解得

p=1。常數項為-16，即8q=-16，解得

q=-2。

考點五

整式乘法的混合例7.先化簡,再求值:4(x+y)2-7(x-y)(x+y)+3(x-y)2,其中

x=-2，y=1.

考點五

整式乘法的混合解：