一.填空題(每空題2分，共計(jì)60分)

1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件,已知p(A)=0.4,P(8)=0.5,p(AB)=0.3,則D(ABB)=0.6,

p(A-B)=0.1,P(AB)=0.4,p(A|B)=0.6C

2、一個(gè)袋子中有大小相同的紅球6只、黑球4只。(1)從中不放回地任取2只，

則第一次、第二次取紅色球的概率為：1/3O(2)若有放回地任取2只，

則第一次、第二次取紅色球的概率為：9/25o(3)若第一次取一只球觀查

球顏色后，追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，則

第一次、第二次取紅色球的概率為：21/55o

3、設(shè)隨機(jī)變量X服從B(2,0.5)的二項(xiàng)分布，則p{XN1}=/反,Y服從二項(xiàng)

分布B(98,0.5),X與Y相互獨(dú)立，則X+Y服從8(100。5)、與+丫)=50,

方差D(X+Y)=25o

4、甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種零件，設(shè)甲廠、乙廠的次品率分別為0.1、0.15.現(xiàn)

從由甲廠、乙廠的產(chǎn)品分別占60%、40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件。

(1)抽到次品的概率為：0.12

(2)若發(fā)現(xiàn)該件是次品，則該次品為甲廠生產(chǎn)的概率為：0.5

6、若隨機(jī)變量X?N(2,4)且①⑴=0.8413,①(2)=0.9772.則刊一2vXv41=0.8185，

y=2x+i,則y~N(工，16)o

7、隨機(jī)變量X、Y的數(shù)學(xué)期望E(X)=-1,E(Y)=2,方差D(X)=1,D(Y尸2,且

X、Y相互獨(dú)立，貝lj:E(2X-Y)=-4D(2X-Y)=6o

8、設(shè)O(X)=25,D(y)=l,G?u(X,y)=2,則zxx+y)=3()

9、設(shè)X，…,X26是總體M8J6)的容量為26的樣本，G為樣本均值，§2為樣本方

差。則：X-N(8,8/13),—S2-Z2(25),一；?z(25)o

10、假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，易犯兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是：“棄真"，即Ho為真時(shí)拒絕Ho.

第二類錯(cuò)誤是：“取偽”錯(cuò)誤。一般情況下，要減少一類錯(cuò)誤的概率，必然增大

另一類錯(cuò)誤的概率。如果只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，使之<a,而不考

慮犯第二類錯(cuò)誤的概率，這種檢驗(yàn)稱為：顯著性檢驗(yàn)。

二、（6分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/（%）=卜系

求：(1)常數(shù)〃，(2)p(0.5<X<1,5)(3)X的分布函數(shù)F(x)o

解:⑴由匚/⑴公=1,得。=3

(2)p(0.5<X<1.5)=匕"⑴公"公=0.875

x<0

(3)F(x)=0<x<1

,1<x

三、（6分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為：/（；”）=廣，0<x^<y<l

求：（1）X,Y的邊緣密度，（2）討論X與Y的獨(dú)立性。

解:（1）X,Y的邊緣密度分別為：

r,、佗ydy=10<x<l

Aw=r°

j\x,y)dx=2ydx=2y,0<y<\

fY(y)=

其他

（2）由⑴可見(jiàn)/（A,y）-/x（x）-4（y>,可知：x,Y相互獨(dú)立2'

四、（8分）設(shè)總體X?M。，a2）,0是一個(gè)樣本,求"的矩估計(jì)量，并證

明它為〃的無(wú)偏估計(jì)。

解:X的二階矩為:4X2）=，1'

x的二階樣本矩為A=r

令：E（X2）=A,r

解得x；,

標(biāo)的矩估計(jì)量12=1力X；T

〃k=i

^（（T2）=E（1yXf）=o-,它為，的無(wú)偏估計(jì)量.3，

ni

五、（10分）從總體中抽取容量為16的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本

2

方差分別是X=75,S=4,rO975(15)=2.1315芯必(15)=6.26，片由(15)=27.5

求u的置信度為0.95的置信區(qū)間和人的置信度為0.95的置信區(qū)間。

解:⑴n=16,置信水平1-a=0.95。/2=0.025,r0,975(15)=2.1315,

又=75,S?=4由此〃的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

2

(75±-=x2.1315),HP(75±1.0658)5'

V16

(2)n=16,置信水平l-a=0.95,a/2=0.025,片02s(15)=6.26,片加(15)=27.5

S?=4由此，的置信水平為().95的置信區(qū)間為：

15x415x4

)=(2.182,9.585)5'

/975(15)'竟。2s(15)

六、（10分）設(shè)某工廠生產(chǎn)工件的直徑服從正態(tài)分布，要求它們的均值

〃=802<0.25,現(xiàn)檢驗(yàn)了一組由16只工件，計(jì)算得樣本均值、樣本方差分

別H=7.65,1=0.49,試在顯著水平a—0.05下，對(duì)該廠生產(chǎn)的工件的均值和方

差進(jìn)行檢驗(yàn)，看它們是否符合標(biāo)準(zhǔn)。

2

此題中，品(15)=1-5)=2.13,Zo.o5(15)=25,設(shè)必?(15)=27.5,

解：(1)首先對(duì)工件的均值進(jìn)行檢驗(yàn)：Ho：〃=8出：”81分

取統(tǒng)計(jì)量為”與，可得拒絕域?yàn)椋褐?|與|>rOO25(15)=2.13|,2分

5/V161115/V161

經(jīng)計(jì)算，”?=等^=2<2.13,不在拒絕域內(nèi)，因此接受Ho.認(rèn)為這批工件的

5/V160.7/4

均值符合標(biāo)準(zhǔn)。2分

其次首先對(duì)工件的方差進(jìn)行檢驗(yàn)：Ho：<72<0.5\//.:<72>0.521分

取統(tǒng)計(jì)量為/=當(dāng)薩，可得拒絕域?yàn)椋簕/="*2N/05(15)=25}2分

經(jīng)計(jì)算，/=吐1"=29.4>25,在拒絕域內(nèi)，因此拒絕Ho.認(rèn)為這批工件的方差

0.5-

不符合標(biāo)準(zhǔn)。2分

一.填空題(每小題2分，共計(jì)60分)

1.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E對(duì)應(yīng)的樣本空間為So與其任何事件不相容的事件為不可能事件,而與

其任何事件相互獨(dú)立的事件為望然事件；設(shè)E為等可能型試驗(yàn)，且S包含10個(gè)樣本點(diǎn)，

則按古典概率的定義其任一基本事件發(fā)生的概率為」四。

2.P(A)=0.4,P(B)=0.3。若A與8獨(dú)立，則一打一陰二0。28；若已知4,B中至少有一

個(gè)事件發(fā)生的概率為0.6,則尸(4一4)=3，P(A\B)=1/3o

3、一個(gè)袋子中有大小相同的紅球5只黑球3只，從中不放回地任取2只，則取到球顏色不同

的概率為:15/28。若有放回地回地任取2只，則取到球顏色不同的概率為:15/32。

4、E(X)=Z)(X)=L若X服從泊松分布，則P{XH()}="/；若X服從均勻分布，則P{X0()}=

0<1

5、設(shè)X~N(〃02),且P{Xv2}=P{XN2},片2Vx<4}=0.3,則〃二―2；P{X>0]=

0.8,

6、某體育彩票設(shè)有兩個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，一等獎(jiǎng)為4元，二等獎(jiǎng)2元，假設(shè)中一、二等獎(jiǎng)的概率

分別為0.3和0.5,且每張彩票賣2元。是否買此彩票的明智選擇為：買(買,不

買或無(wú)所謂)。

7、若隨機(jī)變量X~U(I,5),則p{0<X<41=0,75；E(2X+1)=_7—,

D[3X+1)=12

8、設(shè)X~伏兒〃),E(X)=2.4,D(X)=1.44,則P{X=n}=0.43,并簡(jiǎn)化計(jì)算

0.4A0.66t=6x0.4x0.6+(6x0.4)2=7.2。

1=0

9、隨機(jī)變量X、Y的數(shù)學(xué)期望E(X)=-1,E(Y)=2,方差D(X)=1,D(Y尸2,且X、Y相互獨(dú)

立，貝ij：E(2X-Y]=-4,D(2X-Y)=6

1()、設(shè)七,…,Xm是總體N(20,4)的容量為16的樣本，G為樣本均值，S?為樣本方差。

則：X-N(20,1/4),pjx-2()|>l)=0.0556

J淙~皿。

此題中中(2)=0.9772。

11、隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)（x）=.，則稱X服從指數(shù)分布，4X）=（。

12、做假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，容易犯兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是：“棄真"，即H。為真時(shí)拒絕Ho,第二類

錯(cuò)誤是：取偽錯(cuò)誤。一般情況下，要減少一類錯(cuò)誤的概率，必然上血另一類錯(cuò)誤的概

率。如果只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，使之《a,而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率，

這種檢驗(yàn)稱為顯著性檢驗(yàn)，a稱為顯著水平。

13、設(shè)二維隨機(jī)向量（x,y）的分布律是:

X01

Y

00.40.3

則X的方差D（X）=0.21；

10.30

X與丫的相關(guān)系數(shù)為：PXY=3/7。

二、（7分）甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一種零件，設(shè)甲廠、乙廠、丙廠的次品率分別為

0.2,0.1,0.3.現(xiàn)從由甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品分別占15%,80%,5%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)

抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品為甲廠生產(chǎn)的概率.

解：設(shè)A1,A”A3分別表示產(chǎn)品取自甲、乙、丙廠，

有：p(A,)=15%,P(A2)=80%,P(A3)=5%T

B表示取到次品，p(B|A,)=0.2,P(B|A2)=0.1,P(B|A3)=0.3,T

由貝葉斯公式:p(AJB)=p(A)?P(8|A)/<￡>(4).P(3|4)=0.244'

*=1

三、（7分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/*）=|如‘

0,其匕

求：(1)常數(shù)〃，(2)p(0<X<0.5)(3)X的分布函數(shù)F(x)。

解:⑴由［f(x)dx=1,得。=22'

J-8

(2)p(0.<X<1,5)=￡f(x)dx=2xdx=0.25y

0x<0

(3)F(x)=</,o<x<1T

1,1<x

4呼,0<x<1,0<y<1

四、（7分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為:f(x，y)=jo

,其它

求：(1)X,Y的邊緣密度，(2)由(1)判斷X,Y的獨(dú)立性。

解:(1)X,Y的邊緣密度分別為：

,/、「/(%F'4A

>W=ydy=2xf0<x<l

小(x)=〈JyJ°

0其他

5'

J/(x,y)clx=J4xydx=2yf0<y<1

A(y)=

0其他

⑵由⑴可見(jiàn)/(x,y)=//x)./r(y),可知：X,Y相互獨(dú)立2'

五、(7分)從總體X~N(〃.<T2)中抽取容量為16的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是

I2

X=75,S=4,r0975(15)=2.1315,片02s(15)=6.26，片97s(15)=27.5

求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間和。2的置信度為0.95的置信區(qū)間。

解:(l)n=16,置信水平1-a=0.95,a/2=0.025,Z0025(15)=2.1315,

又=75,相=4由此u的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

2

(75±-=x2.1315),即(75±1.0658)4'

V16

⑵n=16,置信水平l-a=0.95,a/2=0.025,片025a5)=6.26,片975a5)=27.5

S?=4由此/的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

=(2.182,9.585)3'

1().025。5)ZO.97S(15)

六、(7分)設(shè)總體X?M〃，1),〃未知。X「.，X〃是一個(gè)樣本，求〃的最大似然估計(jì)量，并證明它

為〃的無(wú)偏估計(jì)。

解：樣本X1,...,X〃的似然函數(shù)為：

1”

2

xn,u)=(2乃尸2exp[--^(x.-I/)]T

2*=i

I〃

2

而InL(X1xn,u)=-/?/21n(2^-)——-u)]1'

2k=i

令：火In〃司,...,乙,〃))=才(項(xiàng)—〃)=0,

V

du念

]"1n

解得：6二一Z七〃的最大似然估量6=上￡X*r

nk.x〃一

E(W)=E(-YXk)=u,它為〃的無(wú)偏估計(jì)量.

七、(5分)某人壽保險(xiǎn)公司每年有1000()人投保，每人每年付12元的保費(fèi)，如果該年內(nèi)投

保人死亡，保險(xiǎn)公司應(yīng)付1000元的賠償費(fèi)，已知一個(gè)人一年內(nèi)死亡的概率為0.0064。用中心

極限定理近似計(jì)算該保險(xiǎn)公司一年內(nèi)的利潤(rùn)不少于48000元的概率。已知。⑴=0.8413,

0(2)=0.9772。

解:設(shè)X為該保險(xiǎn)公司一年內(nèi)的投保人死亡人數(shù)，則X-B(10000,0.0064)0

該保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)函數(shù)為：L=120000-1000xXo2'

所以P{以N48000)=P{12()000-l(X)()xX>48000)=P{X<72}

X-6477-64

=P{-rvW勺?｝用中心極限定理

/10000X0.0064X0.99367.996

"(1)=0.84133，

答：該保險(xiǎn)公司一年內(nèi)的利潤(rùn)不少于48000元的概率為0。8413

一、填空題(每小題2分，共計(jì)60分)

1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件,已知p(A)=0.5,p(B)=0.3,則

a)若互斥,則D(A-B)=().5;

b)若A8獨(dú)立.則D(AUB)=0.65:

c)若〃(48)=0.2訓(xùn)玲閭和=_321

2、袋子中有大小相同的紅球7只，黑球3只，

(I)從中不放回地任取2只，則第一、二次取到球顏色不同的概率為：7/15o

(2)若有放回地任取2只，則第一、二次取到球顏色不同的概率為：21/50o

(3)若第一次取一只球后再追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中再取第二只球，則第一、

二次取到球顏色不同的概率為：21/55.

3、設(shè)隨機(jī)變量*服從泊松分布九(4),〃{乂=7}=8*=8},則曰{*}=8.

4、設(shè)隨機(jī)變量X服從B(2,0.8)的二項(xiàng)分布，則p{X=2}=_(吆，Y服從B(8,0.8)的二

項(xiàng)分布，且X與Y相互獨(dú)立，則P{X+YN1}二上?2,E(X+Y)=S_O

5設(shè)某學(xué)校外語(yǔ)統(tǒng)考學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布N(75,25),則該學(xué)校學(xué)生的及格率為0.9987,

成績(jī)超過(guò)85分的學(xué)生占比X285}為0.0228。

其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值①⑴=0.8413,中(2)=0.9772中⑶=0.9987.

6、設(shè)二維隨機(jī)向量(x,y)的分布律是有

則。=0.1,X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=0.4X與V的相關(guān)系

數(shù)/%,=-0.25

7、設(shè)XX16及X，..,分別是總體M8J6)的容量為16,8的兩個(gè)

獨(dú)立樣本，匕?分別為樣本均值，S；,S；分別為樣本方差。

則：又~N(8.1),X-Y-N(()J.5),-F|>2VL5}=0.0456,

—S,2-Z2(15),上?F(15,7).

161------S；-....

此題中中(1)=0.8413,6(2)=0.9772,0(3)=0.9987

8、設(shè)X「.X2，X3是總體X的樣本，下列的統(tǒng)計(jì)量中，A,B,C是E(X)的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量,E(X)

的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量中統(tǒng)計(jì)量^最有效。

A.X.+X~XB.2X.—X,C.—（X]+X2—X3）D.X,+X2

9.設(shè)某商店一天的客流量X是隨機(jī)變量，服從泊松分布乃⑷，X1,...,X7為總體X的樣本，

E（X）的矩估計(jì)量為X，160,168,152,153,159,167,⑹為樣本觀測(cè)值，則E（X）的矩

估計(jì)值為160

10、在假設(shè)檢驗(yàn)中，容易犯兩類錯(cuò)誤，笫一類錯(cuò)誤是指：Ho成立的條件下拒絕HQ的錯(cuò)誤，

也稱為棄真錯(cuò)誤。

a

二、（6分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/5）=乒‘°°

0,其它

求：(1)常數(shù)(2)p(0.5<X<4)(3)X的分布函數(shù)F(X)。

解：(1)由匚=1,得。=2I

(2)〃(0.5<X<4)=[J(x)公=，餐公=°-52'

0x<2

(3)/*)=?2.2'

12<x<+00

x

eA，

三、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度分別為：fxW=\0"'；、

[0，其它

fy（y）=^…，且隨機(jī)變量x,Y相互獨(dú)立。

0,其匕

（1）求（X,Y）的聯(lián)合概率密度為：/（A-,y）

（2）計(jì)算概率值p{Y>2X}0

解:⑴

X,Y相互獨(dú)立，可見(jiàn)（X,Y）的聯(lián)合概率密度為/a，y）=/x（%）/（）'），

e-t,0<x,0<y<1

/a,)‘)='2'

0,其它

x

(2)P(y>2X)=jjf(x,Y)dxdy=￡dx^,e-dy3'

=3e-lV

四、(8分)從總體X~N(〃,b2)中抽取容量為25的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是:

2

X=80,5=9,/0025(24)=2.0639芯795(24)=12.4,^025(24)=39.36

求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間和b?的置信度為0.95的置信區(qū)間。

解:⑴n=25,置信水平l-a=0.95,。/2=0.025,rOO25(24)=2.0639,

又=80,S2=9由此〃的置信水平為0.95的置信區(qū)間為

3

(80±-=x2.0639),即(80±1.238)4'

V25

24

(2in=25,置信水平\-a=0.95,a/2=0.025,xj975(24)=12.4,4o25()=39.36

S?=9由此］的置信水平為().95的置信區(qū)間為:

24x924x9

)=(5.49,17.42)4'

1；025(24)X：975(24)

五、(8分)設(shè)總體X服從均勻分布U(a,力，X1,…,X”是X的一個(gè)樣本，求。力的矩估計(jì)量

解:設(shè)X的一階樣本矩、二階樣本矩分別為44」之X；,

X的一階矩、二階矩分別為E(X)=—,E(X2)=，令4^

3

E(X)=^=Alf

2'

eX)=心

3

可解出

b=^3(A,-A12)+A

2'

d=A-73(A-A2)

六、(8分)某地區(qū)參加外語(yǔ)統(tǒng)考的學(xué)生成績(jī)近似服從正態(tài)分布NW,1),”,1未知，該校校長(zhǎng)聲

稱學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?0分，現(xiàn)抽取16名學(xué)生的成績(jī)，得平均分為68分，標(biāo)準(zhǔn)差為3分，請(qǐng)

在顯著水平&=0.05下，檢驗(yàn)該校長(zhǎng)的斷言是否正確。(此題中小25(15)=2.1315)

解：按題意學(xué)生成績(jī)X?N（〃Q2）,〃Q2未知,現(xiàn)取。=0.05檢驗(yàn)假設(shè):

H():“="()=70,，［:u*“°=702'

用t檢驗(yàn)，現(xiàn)有〃=16,a=0.05,d25(15)=2.1315,拒絕域?yàn)椋篢

無(wú)一7()

>2.1315,2,

5/V16

x-70

由：1=68,s=3,?-2.671'

5/V16

t值在拒絕域內(nèi)，故拒絕修,認(rèn)為該校長(zhǎng)的斷言不正確.1

七、（8分）設(shè)某衡器制造廠商的數(shù)顯稱重器讀數(shù)近似服從正態(tài)分布NQo?）,/,〃未知，現(xiàn)他

聲稱他的數(shù)顯稱重器讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為不超過(guò)10克，現(xiàn)檢驗(yàn)了一組16只數(shù)顯稱重器，得標(biāo)準(zhǔn)差

12克，試檢驗(yàn)制造商的言是否正確（取a=（）.05）,此題中/.05（15）=24.996。

解：按題意數(shù)顯稱重器讀數(shù)、~"（〃,/）,〃,/未知,現(xiàn)取a=0.（）5檢驗(yàn)假設(shè)

10,乩:a>102'

在4°成立的條件下，用/檢驗(yàn)，現(xiàn)有“=16,a=0.05,禮3（15）=24.996,T

拒絕域?yàn)椋?/p>

N二與產(chǎn)〉^,05（15）=24.9962'

算得：2=（〃1）$2=15x12?=21.6.24.9961'

102102

不在拒絕域內(nèi)，故接受H。，認(rèn)為讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差不顯著超過(guò)io克.r

八、（6分）某工廠要求供貨商提供的元件一級(jí)品率為90%以上，現(xiàn)有一供應(yīng)商有一大批元件，經(jīng)隨機(jī)抽取

100ft,經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有84件為一級(jí)品，試以5%的顯著性水平下，檢驗(yàn)這個(gè)供應(yīng)商提供的元件的一級(jí)品率是

否達(dá)到該廠方的的要求。（已知Z0o5=1.645,提示用中心極限定理）

解總體X服從p為參數(shù)的0-1分布，

HQ:p>“0=0.9,//,:/?<p（）=0.92'

乂-乂⑼為總體乂的樣本，在”o成立條件下，選擇統(tǒng)計(jì)量

Z='一Po=,由中心極限定理，z近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則拒絕域?yàn)閆C-Z005

〃0（1-〃0）

Vn

經(jīng)計(jì)算該體z=-2<-Zoo,,即得Z在拒絕域內(nèi)，故拒絕H。,

認(rèn)為這個(gè)供應(yīng)商提供的元件的一級(jí)品率沒(méi)有達(dá)到該廠方的的要求

一、填空

1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件,已知p(A)=0.25,p(B)=0.5,P(AB)=0.125,則

p(A-B)=0.125;p(AUB)=0.875;p(A|B)=().5.

2、袋子中有大小相同的5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只

(1)4只中恰有2只白球1只紅球1只黑球的概率為：.子.

墨

(2)4只中至少有2只白球的概率為：1

C；

(3)4只中沒(méi)有白球的概率為:

3、設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布%(4),p{X=5}=P{X=6},則E{X}=6.

4、設(shè)隨機(jī)變量X服從B(2,0.6)的二項(xiàng)分布，則〃{X=2}=巫J,Y服從B(8,0.6)

的二項(xiàng)分布，且X與Y相互獨(dú)立，則二X+y「D=CO”，E(X+Y)=6。

5設(shè)某學(xué)校外語(yǔ)統(tǒng)考學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布N(70,16),則該學(xué)校學(xué)生的及格率為一

0.9938,成績(jī)超過(guò)74分的學(xué)生占比P{X274}為0.1587。

其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值①⑴=0.8413,6(2)=0.9772,0(2.5)=0.9938.

6、有甲乙兩臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，甲生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%,次品率為10%；乙生產(chǎn)的產(chǎn)品占40%,次品

率為20%。(1)若隨機(jī)地從這批產(chǎn)品中抽出一件.抽到次品的概率為0.14；(2)若隨機(jī)地從這批產(chǎn)品

中抽出一件，檢驗(yàn)出為次品，則該產(chǎn)品是甲設(shè)備生產(chǎn)的概率是且乙

7、設(shè)X；...,X“)及匕…九分別是總體N(20,6)的容量為10,15的兩個(gè)獨(dú)立樣本，取P分別為

樣本均值，S：,S；分別為樣本方差。

貝I」：又?N(20,3/5),X-Y-N(0J),"伍-'>1}=0.3174,

3c2

芳：~?“9)，tF(9,14)o

此題中0(1)=0.8413o此題中0(1)=0.8413,①(2)=0.9772,0)(3)=0.9987

8、設(shè)X'.Xz,X,是總體X的樣本，下列的E(X)統(tǒng)計(jì)量中，C最有效。

、-

A.X?|+XLXaJB?.IXJ.-X.C.-(X,+X,-XJ

9.設(shè)某商店一天的客流量X是隨機(jī)變量，服從泊松分布乃(?,X1..,X7為總體X的樣本，

E(X)的矩估計(jì)量為X，15,16,18,14,16,17,16為樣本觀測(cè)值，則E(X)的矩估計(jì)值為16

10、在假設(shè)檢驗(yàn)中，往往發(fā)生兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是指H。成立的條件下拒絕Ho的錯(cuò)誤，

第二類錯(cuò)誤是指H成立的條件下拒絕H』的錯(cuò)誤，顯著水平Q是指控制第一

類錯(cuò)誤的概率小于a.

a

0<A<4-co

二、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/(x)=17/

0其它

求：(1)常數(shù)4,(2)p(-I<X<V3)(3)X的分布函數(shù)F(X)o

解:(1)由「"(x)dx=1,得a=2

T

J-8n

(2)p(-1<X<V3)=fff(x)dx=r--dx=|

T

Jo

JT71\+x~3

0x<()

⑶F(x)=L八

2'

—arctanx()<x<+oo

12

第2頁(yè)共5頁(yè)

三、設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度分別為：八*)=*

0,其它

萬(wàn)()，)=[2乂且隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立。

0,其匕

(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：/(x,y)

2

(2)計(jì)算概率值式Y(jié)>X}o

解:⑴X,Y相互獨(dú)立，可見(jiàn)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為/(x,y)=/x(x)?力S)，

\xy,0<x<2,0<y<1

2'

,其它

(2)P(Y>X2)=f(x,Y)dxdy=fxydy=—3'

戶.t2°6

四、從總體X~N(〃,b2)中抽取容量為25的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是

2

X=80,S=9,rOO5(24)=1.71，495(24)=13.85,405(24)=36.42

分別求人"的置信度為0.95的單側(cè)置信下限。

解:（l）n=25,置信水平1—a=0.95,a=0.05,伉5（24）=1.71,

又=80,S?=9由此〃的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為:

3

80-x1.71=78.9744'

（2）n=25,置信水平1一a=0.95,。=0.05,405（24）=36.42

S?=9由此/的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為:

24x9

5.934'

尤。s（24）

五、設(shè)總體X服從N(〃Q2),/已知，〃未知。…,X”是X的一個(gè)樣本，求〃的極大以然估計(jì)量,

并證明它為〃的無(wú)偏估計(jì)。

解:樣本X1,...,X〃的似然函數(shù)為：

1”

X“，〃)=(2乃尸2exp[—不Z(七一〃)2]2'

2k=\

1〃

2

而InL(x1xn,u)=一〃/2ln(2i)——-M)J1'

2k=i

令：-3,…，…))這(項(xiàng)_〃)=0,r

duhl

1w1w

解得：6=—Zm〃的最大似然估量丘=一￡Xj2^

n*=lnk=\

E\u)=E(-YX,)=W,它為〃的無(wú)偏估計(jì)量.2，

〃Al

六、一工廠生產(chǎn)化學(xué)制品的日產(chǎn)量(以噸計(jì))近似服從正態(tài)分他當(dāng)設(shè)備正常時(shí)一天產(chǎn)800噸，現(xiàn)

測(cè)得最近5天的產(chǎn)量分別為:785,805,790,790,802,問(wèn)是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量顯著不為800噸。

(取a=().05),此題中bo25(4)=2.7764。

解：按題意日產(chǎn)量又~以〃。2),以標(biāo)未知,現(xiàn)取。=0.05檢驗(yàn)假設(shè)：

H:u=800,7/1：〃w8001'

用t檢驗(yàn)，現(xiàn)有〃=5,a=0.05,仇25(4)=2.7764，拒絕域?yàn)?

”號(hào)>2.7767,r

s/y/5|

X_?(￥)

算得：元=794.4,s=8.6169,t=——^=-1.4527,2'

5/75

t值不在拒絕域內(nèi)，故接受“0,認(rèn)為日產(chǎn)量沒(méi)有顯著變化.

七、設(shè)溫度計(jì)制造廠商的溫度計(jì)讀數(shù)近似服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)他聲稱他的溫度

計(jì)讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為不超過(guò)05現(xiàn)檢驗(yàn)了一組16只溫度計(jì),得標(biāo)準(zhǔn)0。7度，試檢驗(yàn)制造商的言

是否正確（取。=0.05）,此題中/3（15）=24.996。解：按題意溫度計(jì)讀數(shù)X?N（u,，）,u,『

未知，現(xiàn)取a=（）.05檢驗(yàn)假設(shè)：

”o：bWO.5,H、：o->0.5P

用/檢驗(yàn)，現(xiàn)有〃=5,a=0.05,/0025(4)=2.7764，拒絕域?yàn)?

2

2=>

Z-^^r-Zo.o5(15)=24.996

2(7?-l)s215x0.72

-==29.4>24.9962'

z0.52-0.52

在拒絕域內(nèi)，故拒絕“°,認(rèn)為溫度計(jì)讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為顯著超過(guò)051

八、（6分）某工廠耍求供貨商提供的元件一級(jí)品率為90%以上，現(xiàn)有一供應(yīng)商有一大批元件,

經(jīng)隨機(jī)抽取100件，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有84件為一級(jí)品，試以5%的顯著性水平下，檢驗(yàn)這個(gè)供應(yīng)商

提供的元件的一級(jí)品率是否達(dá)到該廠方的的要求。（已知Za05=1.645,提示用中心極限定理）

解總體X服從〃為參數(shù)的0-1分布,

:p>Po=0.9,/A：〃<p0=09T

乂—乂儂為總體乂的樣本，在“°成立條件下，選擇統(tǒng)計(jì)量

J-p0

由中心極限定理，Z近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則拒絕域?yàn)閆<-Z0.O5

/〃0(1-〃0)

經(jīng)計(jì)算該體z=-2<-z005,即得Z在拒絕域內(nèi)，故拒絕”。,

認(rèn)為這個(gè)供應(yīng)商提供的元件的一級(jí)品率沒(méi)有達(dá)到該廠方的的要求

一、填空題(每空題3分，共計(jì)60分)

1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件,已知p(A)=0.6,p(B)=0.5,p(AB)=0.3,則

D(A〔JB)=().8、p(A|B)=().6.事件A.B的相互獨(dú)立性為:相互獨(dú)立。

2、一個(gè)袋子中有大小相同的紅球6只、黑球3只、白球1只，

(1)從中不放回地任取2只，則第一、二次取到紅球的概率為：l/3o

(2)若有放回地任取2只，則第一、二次取到紅球的概率為：9/25o

(3)若第一次取一只球后再追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中再取第二只球，則第一、

二次取到紅球的概率為：21/55.

3、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為100的泊松分布，則E(X)=Q(X)=100，利用“3。”法

則，可以認(rèn)為X的取值大多集中在70—130范圍。

4、設(shè)隨機(jī)變量X服從N(500,1600)的正態(tài)分布.則“X2580}=0.0228,Y服從

N(500,900)的二項(xiàng)分布，且X與Y相互獨(dú)立，則X+丫服從N(1的二2500)分

布;若p{X+Y>a}=0.05,則q=1082.5o①(1)=0.8413；①(2)=0.9772,①(1.645)=0.95

2Y0Vxv1

5.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/(x)=0'"%它

則：(1)p(0,5<X<l-5)=0.75

0x<0

(2)X的分布函數(shù)F(x)=—F{x)=<x\0<A:<1o

1,1<x

6、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有O(X)=9,O(Y)=4,pXY=-1/6,則。(X+Y)=11,D(X-3Y+4)=

51o

7、兩個(gè)可靠性為p>()的電子元件獨(dú)立工作，

(1)若把它們串聯(lián)成一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可靠性為：亡;

(2)若把它們并聯(lián)成一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可靠性為：1-(1-/7)2；

8、若隨機(jī)變量X?。((),3),則〃{-KX<21=2/3；E(X)=1.5,

D(2X+1)=3.

二、(6分)計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C,程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6,0.3,

0.1,打字機(jī)發(fā)牛故障的概率依次為0.0L0.05,0.04o已知一程序因打字機(jī)發(fā)牛故障而被

破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？

解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件M，”程序在A,B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字”

分別記為事件則根據(jù)全概率公式有

3

P(M)=EP(N)P(M\NJ=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0.025,

i=i

根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為

P(NJP(M1NJ0.6x0.01

P(M|M)==0.24，

P(M)0.025

03X005

P(N\M)==0>6Q>

20.025

P(^)P(M|^)_O.1XO.O4

P(M|M)=33=0.16o

P(M)0.025

0<x,

三、(6分)設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度分別為：f(x)=

x,其它

2乂0<y<1,

f(y)=',且隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立。

Y0,其它

(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：/(x,y)

(2)計(jì)算概率值〃{Y<2X}o

解:⑴

X,Y相互獨(dú)立，可見(jiàn)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為/Cv,y)=/x(x)?/y()')，

2e。,0<x,0<y<1

3'

0其它

P(Y<2X)=JJ/(x,Y)dxdy=￡2e-xydx=2-e-],23，

y<2x2

四、(8分)一農(nóng)場(chǎng)種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從30車葡萄中采樣測(cè)得的糖含量(以某種單位計(jì))

16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.1

15.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.4

15.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8

22

設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體必/均未知。經(jīng)計(jì)算元=1472,5=—!—V(xf-J)=1.9072,

r005(29)=1.6991，495(29)=17.708,x^05(29)=42.557

求(1)〃的置信水平為90%的置信區(qū)間；(2)b2的置信水平為90%的置信區(qū)間。

解：(1)"的置信水平為90%的置信區(qū)間為

1.38075

A±-^ZOO5(/2-1)=14.72±x1.6991=(14.72+0.428)=(14.292,15.148)(2)，的置

J"7VV30

信水平為90%的置