二、自變量趨于有限值時函數的極限

自變量變化過程的六種形式:一、自變量趨于無窮大時函數的極限機動目錄上頁下頁返回結束

函數的極限

三、無窮小與無窮大一、自變量趨于無窮大時函數的極限定義2

.設函數大于某一正數時有定義,若則稱常數時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線機動目錄上頁下頁返回結束A

為函數例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即機動目錄上頁下頁返回結束直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當時,有當時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機動目錄上頁下頁返回結束結論:二、自變量趨于有限值時函數的極限1.時函數極限的定義引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度

,要求確定直接觀測值精度

:機動目錄上頁下頁返回結束定義1.

設函數在點的某去心鄰域內有定義,當時,有則稱常數

A

為函數當時的極限,或即當時,有若記作幾何解釋:極限存在函數局部有界這表明:機動目錄上頁下頁返回結束例1.證明證:故對任意的當時,因此總有機動目錄上頁下頁返回結束說明:

定義中對x0

點不做任何要求,所研究的范圍是x=x0

附近的所有點,當x變化時所對應的函數值f(x)的變化情況,而不是x0

本身.例2.證明證:欲使取則當時,必有因此只要機動目錄上頁下頁返回結束例3.

證明證:故取當時,必有因此機動目錄上頁下頁返回結束例4.

證明:當證:欲使且而可用因此只要時故取則當時,保證.必有機動目錄上頁下頁返回結束2.左極限與右極限左極限:當時,有右極限:當時,有結論:機動目錄上頁下頁返回結束例5.

設函數討論時的極限是否存在.解:

利用定理3.因為顯然所以不存在.機動目錄上頁下頁返回結束3.函數極限與數列極限的關系海涅定理:則對任一收斂于x0的數列且都有證明:設則對當時，有又故對上述存在N,當n>N時，有由假設故當n>N時，從而設函數f(x)在x0

的某去心鄰域內有定義,機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束反證法設即使得但取為:則得數列{xk

},它滿足:且使得又這與題設矛盾.機動目錄上頁下頁返回結束例如：證明當x→0

時,函數的極限不存在.說明:

1.海涅定理表明既可以將函數極限的許多性質和結果用于數列,又可以通過數列極限來研究函數極限.2.為判定函數極限不存在提供了一種簡單有效的判定方法.證:

取兩個趨于0的數列及有機動目錄上頁下頁返回結束4.函數極限的性質Prop1(唯一性)若存在，則極限唯一.Prop2(局部有界性)若則存在M>0和使得當時，證明:由取則當時，有Prop3(保號性)

若且

A>0,證:

已知即當時,有當

A>0時,取正數則在對應的鄰域上(<0)則存在(A<0)機動目錄上頁下頁返回結束若取則在對應的鄰域上若則存在使當時,有推論1:分析:機動目錄上頁下頁返回結束推論2.

若在的某去心鄰域內,且則證:

用反證法.則由Prop3,的某去心鄰域,使在該鄰域內與已知所以假設不真,(同樣可證的情形)思考:

若推論2中的條件改為是否必有不能!存在如假設A<0,條件矛盾,故機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束Prop4(保序性)且A>

B,則存在δ>0,若當0<|x-x0

|<δ

時,有推論:若則A≥B.且存在δ>0,f(x)

>g(x).使得當0<|x-x0

|<δ

時,有f(x)

≥g(x),注：Prop3是Prop4的特殊情況.三、無窮小與無窮大當定義1.

若時,函數則稱函數例如:函數當時為無窮小;函數時為無窮小;函數當為時的無窮小

.時為無窮小.機動目錄上頁下頁返回結束1、無窮小說明:除0以外任何很小的常數都不是無窮小

!因為當時,顯然C

只能是0!CC機動目錄上頁下頁返回結束其中

為時的無窮小量.結論：(無窮小與函數極限的關系)證:當時,有對自變量的其它變化過程類似可證.機動目錄上頁下頁返回結束2、無窮大定義2

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數當時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數X),記作總存在機動目錄上頁下頁返回結束注意:1.無窮大不是很大的數,它是描述函數的一種狀態.2.函數為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數當但所以時,不是無窮大!機動目錄上頁下頁返回結束例.證明證:

任給正數

M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:機動目錄上