貴州省部分學校2024-2025學年高三上學期10月聯考數學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$\Delta=b^2-4ac=0$，則函數$f(x)$的圖像與$x$軸的交點情況是（）A.有一個交點B.有兩個交點C.有三個交點D.與$x$軸無交點2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_3=a_5$，則$a_1$的值為（）A.0B.$d$C.$2d$D.$3d$3.若復數$z=3+i$，則$|z|$的值為（）A.4B.5C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{13}$4.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，若$f(1)=0$，則$f(x)$的零點個數是（）A.1B.2C.3D.45.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=1$，$a_2=3$，$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為（）A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^n+1$C.$a_n=2^n$D.$a_n=2^n-2$6.若函數$y=2^x-1$的圖像上一點$P$的坐標為$(2,3)$，則該函數的解析式為（）A.$y=2^x-2$B.$y=2^x+1$C.$y=2^x$D.$y=2^x+2$7.已知等比數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_3=8$，$a_5=32$，則$a_1$的值為（）A.1B.2C.4D.88.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，若$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，則$f'(1)$的值為（）A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{\sqrt{2}}$D.$\frac{1}{2\sqrt{2}}$9.若復數$z=3-i$，則$z$的共軛復數是（）A.$3+i$B.$3-i$C.$-3+i$D.$-3-i$10.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，若$f'(x)=3x^2-6x+4$，則$f'(2)$的值為（）A.2B.4C.6D.8二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.若復數$z=3+i$，則$|z|$的值為__________。12.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_3=a_5$，則$a_1$的值為__________。13.若函數$y=2^x-1$的圖像上一點$P$的坐標為$(2,3)$，則該函數的解析式為__________。14.已知等比數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_3=8$，$a_5=32$，則$a_1$的值為__________。15.若復數$z=3-i$，則$z$的共軛復數是__________。三、解答題（本大題共3小題，共75分）16.（15分）已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$f(1)=0$，$f(2)=2$，$f(3)=6$，求$f(x)$的解析式。17.（20分）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1=1$，$a_3=a_5$，求$a_1$和$d$的值。18.（40分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求：（1）$f(x)$的零點個數及零點坐標；（2）$f(x)$的極值及極值點；（3）$f(x)$的單調區間；（4）$f(x)$的圖像大致形狀。四、證明題（本大題共1小題，共15分）16.已知等差數列$\{a_n\}$和等比數列$\{b_n\}$，其中$a_1=2$，$b_1=3$，公差$d=1$，公比$q=2$。證明：對任意正整數$n$，有$a_n+b_n=2^n+3^n$。五、計算題（本大題共1小題，共20分）17.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求函數$f(x)$的導數$f'(x)$，并求$f'(x)$的零點。六、應用題（本大題共1小題，共40分）18.已知某商品原價為$P$元，銷售時每件商品可降價$x$元（$x>0$），此時銷售量增加$k$倍（$k>1$）。求：（1）銷售這種商品后每件商品的利潤；（2）銷售總額$y$關于$x$的函數關系式；（3）為了使銷售總額最大，$x$應取何值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：當$\Delta=b^2-4ac=0$時，二次方程$ax^2+bx+c=0$有兩個相等的實數根，因此函數$f(x)$的圖像與$x$軸有一個交點。2.A解析：由等差數列的性質，$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，因為$a_3=a_5$，所以$a_1+2d=a_1+4d$，解得$d=0$，因此$a_1=0$。3.B解析：復數$z=3+i$的模長$|z|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。4.B解析：由$f(1)=0$可知$x=1$是$f(x)$的一個零點，因為$f(x)$是一個三次函數，所以最多有三個零點。由于$f(1)=0$，$f(2)=2$，$f(3)=6$，可以推斷出$f(x)$在$x=2$和$x=3$之間還有一個零點。5.A解析：根據遞推關系$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$，當$n=2$時，$a_2=2a_1-a_0$，由于$a_1=1$，$a_0=1$，所以$a_2=2$。因此，數列$\{a_n\}$是一個首項為1，公比為2的等比數列，通項公式為$a_n=2^n-1$。6.A解析：將點$P(2,3)$代入$y=2^x-1$，得到$3=2^2-1$，因此函數的解析式為$y=2^x-2$。7.C解析：由等比數列的性質，$a_3=a_1q^2$，$a_5=a_1q^4$，因為$a_3=8$，$a_5=32$，所以$a_1q^2=8$，$a_1q^4=32$，解得$q=2$，$a_1=2$。8.C解析：由$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求導得$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$，代入$x=1$得$f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$。9.A解析：復數$z=3-i$的共軛復數是$3+i$。10.B解析：由$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=2$得$f'(2)=4$。二、填空題11.$\sqrt{10}$解析：同第三題解析。12.0解析：同第二題解析。13.$y=2^x-2$解析：同第六題解析。14.2解析：同第七題解析。15.$3+i$解析：同第九題解析。三、解答題16.解析：由$f(1)=0$得$a+b+c=0$，由$f(2)=2$得$4a+2b+c=2$，由$f(3)=6$得$9a+3b+c=6$，解這個方程組得$a=1$，$b=-2$，$c=1$，因此$f(x)=x^2-2x+1$。17.解析：由$a_1=1$，$a_3=a_1+2d$得$1+2d=a_3$，由$a_5=a_1+4d$得$1+4d=a_5$，因為$a_3=a_5$，所以$1+2d=1+4d$，解得$d=0$，因此$a_1=1$。18.解析：（1）$f(x)$的零點可以通過解方程$x^3-3x^2+4x-6=0$得到，通過因式分解或使用數值方法可以找到零點。（2）求$f(x)$的導數$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$和$x=2$，這兩個點是極值點，通過二次導數或一階導數的符號變化可以確定極值。（3）通過分析$f'(x)$的符號變化，可以確定$f(x)$的單調區間。（4）根據極值點和單調區間，可以畫出$f(x)$的大致圖像。四、證明題解析：由等差數列的性質，$a_n=a_1+(n-1)d$，由等比數列的性質，$b_n=b_1q^{n-1}$，代入$a_n=2^n$和$b_n=3^n$，得到$a_n=2+(n-1)\cdot1=2^n$，$b_n=3+(n-1)\cdot2=3^n$，因此$a_n+b_n=2^n+3^n$對所有正整數$n$成立。五、計算題解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令