黑龍江省佳木斯市第一中學2024?2025學年高三第三次模擬考試數學試題一、單選題1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B． C． D．2．若向量與向量共線，則是（

）A． B． C． D．3．已知是各項均為正數的等比數列，且，，成等差數列，則的值是（

）A． B． C．16 D．94．在某項芯片測試試驗中，有5個不同的芯片欲組裝到一個云計算的主機中，先將它們串聯在一起統一測試，在串聯電路中甲，乙兩個芯片不相鄰的前提下，丙，丁兩個芯片相鄰的概率為（

）A． B． C． D．5．已知正數，滿足，則的最小值是（

）A． B．9 C． D．136．已知不等式，對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數，若關于的方程有實根，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．為了關注學生們的健康成長，學校開展了一次高三年級的學生身高的抽樣調查，隨機抽取了100名學生，將他們的身高劃分成了、、、、五個層次，根據抽樣結果得到如下統計圖表，則從圖表中不能得出的信息是（

）A．樣本中層次身高的女生多于男生B．樣本中層次身高的學生人數占總人數的C．以頻率估計概率，從該地區高三學生中任取4人，恰有2人身高屬于層次的概率是D．已知樣本中學生的身高情況為：男生樣本平均數175，方差為120，女生樣本平均數165，方差為120，則總體樣本方差為12510．如圖是因不慎丟失部分圖象后，函數的局部圖象，則下列結論正確的是（

）A．的最小正周期為B．是圖象的一個對稱中心C．圖象的對稱軸方程為D．已知，設與的圖象在內的交點為，則11．如圖1所示，在四邊形中，，，.如圖2所示，把沿邊折起，使點不在平面內，連接.則下列選項正確的是（

）A．當平面平面時，點到平面的距離為B．異面直線與所成角的取值范圍為C．、分別為、的中點，在翻折的過程中，存在某個位置，使得D．三棱錐的外接球的表面積的最小值為三、填空題12．已知復數滿足，則的最小值為.13．已知函數在處的切線過點，則.14．已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在C上，垂直l于點Q，直線與C相交于M、N兩點．若M為靠近點F的的三等分點，則．四、解答題15．已知，（1）求的單調遞增區間；（2）若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍.16．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，為的中點，平面.（1）證明：.（2）若，求二面角的正弦值.17．定義平面凸四邊形為沒有內角度數大于180°的四邊形.如圖，已知平面凸四邊形ABCD中，，，.（1）若四邊形ABCD被對角線BD分為面積相等的兩部分，且；①求CD的長；②若，求的值.（2）若，求四邊形ABCD面積的最大值.18．現有標號依次為1，2，…，n的n個盒子，標號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進行到從號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．(1)當時，求2號盒子里有2個紅球的概率；(2)當時，求3號盒子里的紅球的個數的分布列；(3)記n號盒子中紅球的個數為，求的期望．19．已知雙曲線的左，右頂點分別為A，B，點在雙曲線上.直線QA，QB的斜率分別為，，（1）求雙曲線C的方程;（2）若點P為直線上的一點點P不在x軸上，直線PA與雙曲線C交于另一點(i)記，的面積分別為，，若，求點P的坐標;(ⅱ)若直線PB與雙曲線C交于另一點N，點G是直線MN上一點，，其中O為坐標原點，求線段OG的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】，且，則，陰影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，則陰影部分表示的集合為.故選D2．【答案】B【詳解】由題意可得，所以，則.故選B.3．【答案】C【詳解】設正項等比數列的公比為，因為，，成等差數列，所以，則，即，解得（舍去）或，所以.故選C.4．【答案】A【詳解】五個芯片的排列數為種，其中甲乙相鄰的有種，所以甲乙不相鄰的有72種，綁定丙丁，再將甲乙插空有種，所以在串聯電路中甲，乙兩個芯片不相鄰的前提下，丙，丁兩個芯片相鄰的概率為.故選A.5．【答案】C【詳解】由，則，即，則，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是.故選C.6．【答案】D【詳解】不等式對恒成立，即對恒成立，令，則，因為函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，又，，所以存在唯一，使得，即，，則時，；時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則，即.故選D.7．【答案】B【詳解】由題意，，，，由正弦定理得，又，所以，，又，可得，所以橢圓的離心率.故選B.【關鍵點撥】根據題意求得、，再由正弦定理以及橢圓的定義，可算得與的關系，進而求出橢圓的離心率.8．【答案】C【詳解】∵，∴，而，∴當時，取到最大值，∴.設，，則問題轉化為關于的方程，即在上存在根的問題.設，，則的圖象為開口向上的拋物線在軸右側部分（含軸），方程的判別式，①當時，或，此時對稱軸，則函數在有唯一零點；②當且在有唯一零點時，或，解得或；③當且在有兩個零點時，設這兩個零點分別為，，則解得.綜上可知：或.故選C9．【答案】AD【詳解】對于A，樣本中女生人數為人，則樣本中男生人數為人，樣本中層次身高的男生人數為人，女生人數為人，所以，樣本中層次身高的女生少于男生，故A錯誤；對于B，樣本中層次身高的女生有人，男生層次的有，所以樣本中層次身高的學生人數占總人數為比例為，故B正確；對于C，樣本中層次身高的學生人數為，所以在抽樣的樣本中，任取1人，其身高屬于層次的概率為，以頻率估計概率，從該地區高三學生中任取4人，恰有2人身高屬于層次的概率是，故C正確；對于D，總體樣本的平均數為，則總體樣本方差為，故D錯誤.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】對于A，由，以及函數的局部圖象，可知該函數的周期，故A正確；對于B，由A易得，即，由圖知：，解得，因，則，即，當時，，故B錯誤；對于C，因函數的對稱中心為，則對于函數，使，解得，即得該函數的對稱中心為，又因函數的圖象可由的圖象保持軸上方圖象不變，而將軸下方圖象向上翻折得到，結合函數的圖象，可知函數圖象的對稱軸方程為，故C正確；對于D，由上分析已得，，由可得，化簡得：，解得（另一根小于，舍去），設，因，則，作出函數在區間上的圖象如圖，結合的圖象，可知兩者在區間上有兩個交點，為，由圖知，，則有，解得，故D正確.故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】找中點，作，面，因為，，所以，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，因為，，所以由勾股定理得，又因，則，解得，故，，，，設，則，，因,故，得，則，，由可得，化簡得，即點的軌跡方程是半徑為的圓的一部分，而該圓的參數方程為，，故，則，設平面的法向量為，則，解得，且，令，解得，得到，易得平面的法向量為.對于A，當平面平面時，，此時，解得，此時，而，，設平面的法向量為，則，，令，解得，，故，而設設點到面的距離為，則，故A正確；對于B，由已知得，，設異面直線與所成角為，且，則，而，結合余弦函數性質得，故，由余弦函數性質解得，故B正確；對于C，因為、分別為、的中點，所以，，則，令，則，則，無解，所以在翻折的過程中，不存在某個位置，使得，故C錯誤；對于D，首先，我們來證明求解外接球半徑的鱷魚模型，我們給定三棱錐，設分別是的外心，設外接球球心為，是中點，連接,則，，所以是二面角的平面角，設，設，，連接,則面，面，在四邊形中，可得，所以四點共圓，且設四邊形的外接圓半徑為，所以，連接，由正弦定理得，設，故，而在中，由余弦定理得，連接，所以，則得，且設，在直角三角形中，，所以，即鱷魚模型得證.設二面角的大小為，且，，如圖，的外心為，找中點作為外心，則由中位線性質得，得到，此時公式變為，若三棱錐的外接球的表面積的最小，則其半徑一定最小，由上分析可得，而，結合正弦函數性質可得當時最小，此時，由球的表面積公式得表面積為，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為，故D正確.故選ABD.12．【答案】/【詳解】設，由得，所以，即點是圓心為，半徑為1的圓上的動點，，表示的是點與點的距離，所以其最小值為點到圓心的距離減去半徑，即的最小值為.13．【答案】1【詳解】由題設，則，且，所以處的切線為，又點在切線上，故，可得.14．【答案】【詳解】如圖，過點M作于點H，設準線l與x軸的交點為K，由M為靠近點F的的三等分點，得，由，得，由拋物線定義知，，則，在中，，則，由，得，又，則為等邊三角形，因此，點P的橫坐標為，設與x軸的交點為G，直線的斜率為，點，則直線的方程為，由消去y整理得，，解得或，則點N的橫坐標為，軸于G，在中，．15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）的定義域為，，令，得，的單調遞增區間是.（2）由已知得，則，，則當時，；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，，，，若在上有兩個零點，則，，即，即實數的取值范圍為.16．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1），，，平面，平面，且平面平面，，為的中點，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，平面，.（2）連接，中，為的中點，則，又，所以，為公共邊，得，則，則是等邊三角形，由（1）知，則，即.（方法一）以為坐標原點，垂直于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則.設平面的一個法向量為，則，即，令，則.，則，故二面角的正弦值為.（方法二）易得，又，為公共邊，則，又，所以平面，則，易得.在直角中，作，垂足為，連接，易知，則為二面角的平面角.在直角中，由等面積法易求得，則在中，，則，故二面角的正弦值為.17．【答案】（1）①；②；（2）.【詳解】（1）①如圖，在中，，，，由余弦定理可得，注意到，所以，又，得，即，又因為四邊形ABCD為凸四邊形，，故，則在中，由余弦定理可得，所以.②由①，如圖，以為原點，建立平面直角坐標系，所以，，，D，則.設，由，得，則，則.（2）在三角形和三角形中，由余弦定理得，則，四邊形面積為：，即，所以，當且僅當，即，時，取最小值，則，所以四邊形面積的最大值為.18．【答案】(1)(2)分布列見解析(3)【詳解】（1）由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為；（2）由題可知可取，，，所以3號盒子里的紅球的個數ξ的分布列為123P（3）記為第號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則，為第號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則，則第號盒子有一個紅球和三個白球的概率為，且，化解得，得，而則數列為等比數列,首項為，公比為，所以，又由求得：因此．19．【答案】（1）（2）(i)；(ⅱ)4【詳解】（1）由題意得