2025屆河北省普通高校招生考試精準預測卷（二）數學試題一、單選題1．已知，則（

）A． B．C． D．2．下面統計了100名小學生寒假期間（按30天計）每天玩手機的平均時間（單位：小時）如下表：玩手機平均時間人數1030302010據表中數據，這100名小學生寒假每天玩手機的平均時間的分位數為（

）A．1.875 B．1.75 C．1.65 D．1.6253．已知向量滿足，且，則的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知拋物線，若斜率為的直線經過點與交于兩點，且，則的準線方程為（

）A． B．C． D．5．已知函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若直線與函數的圖象分別交于兩點，直線與函數的圖象分別交于兩點（如圖所示），若曲邊四邊形的面積為，則的圖象在上對稱軸的條數為（

）A．1 B．3 C．2 D．56．已知函數在上單調，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．在數列中，已知，設，則數列的前項和（

）A． B．C． D．8．已知定義在上的函數滿足：，且，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．設為坐標原點，已知圓，雙曲線的焦距為4，的一條漸近線與圓交于兩點，另一條漸近線與圓交于兩點，若，則（

）A．的漸近線方程為B．的離心率為2C．C的方程為D．直線經過的右頂點10．已知函數，其定義域為，導函數為，則（

）A．B．，使得為奇函數C．D．方程有4個不同的實數根11．在三棱臺中，底面，則（

）A．三棱臺的體積為B．平面C．直線與直線的夾角的余弦值為D．存在兩個以該三棱臺的頂點為頂點的三棱錐，且它們的外接球的表面積都為三、填空題12．已知集合或，若，則．13．已知均為銳角，，則.14．已知是曲線與軸的兩交點，是曲線上異于的兩動點，則由點構成的四邊形的面積的最大值為．四、解答題15．已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間.16．已知甲、乙進行圍棋比賽，甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為，每局無平局，每局比賽結果互不影響．比賽規則如下：若一方先獲勝3局，則該方獲勝，比賽結束．（1）求比賽四局結束的概率；（2）在前兩局比賽甲獲勝的條件下，再比賽局結束，求的分布列與數學期望．17．記的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為上一點，且，①若，求的值；②若，求的周長．18．如圖，已知圓柱的軸截面是矩形，點為上不同于的一點，點在上，且，動點滿足，動點在上底面上，滿足．（1）證明：平面；（2）①求動點的軌跡長度；②當點為的中點時，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．19．已知橢圓的長軸長為分別為的上?下頂點和右頂點，且．（1）求的標準方程；（2）直線與橢圓交于兩點，與軸交于點．①求面積的最大值（其中為坐標原點）；②求的最小值，

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以.故選A．2．【答案】D【詳解】由表中數據可知，這100名小學生寒假每天玩手機的平均時間的分位數一定位于，且前3個區間頻率和為，前4個區間的頻率和為，所以分位數為，故選D．3．【答案】B【詳解】由得，，即，所以，則，所以，則的夾角為，故選B．4．【答案】B【詳解】由題意可得，直線的方程為，代入得，.則，設，，則.根據拋物線的定義可知，4，所以，故拋物線的準線方程為.故選B.5．【答案】C【詳解】連接，由余弦函數的中心對稱的性質可知，曲邊四邊形的面積等于平行四邊形的面積，由平移知識可知，，兩平行直線之間的距離為2，所以，則，所以，令，解得，又，所以的圖象對稱軸為，共2條，故選C．6．【答案】A【詳解】由題意可知，在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.又由基本不等式可得，當且僅當時，取得等號，所以.因為函數在上單調，所以在上單調，由復合函數單調性可知在上單調，所以結合二次函數的性質可得：或，解得或.綜上所述，實數的取值范圍為.故選A.7．【答案】C【詳解】由得，，所以，則數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以，則，所以，所以，故選C．8．【答案】C【詳解】由得，，三式相加得，，即，又，所以，則，所以故A，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選C．9．【答案】BCD【詳解】A選項，由雙曲線的性質與圓的對稱性得，，又，故，由圓得圓心為，半徑為，故，故為等邊三角形，故雙曲線的漸近線的傾斜角為，則，因此的漸近線方程為，A錯誤；B選項，的離心率，B正確；C選項，由得，，所以，所以的方程為，C正確；D選項，將代入，解得或0（舍去），將代入得，將代入，解得或0（舍去），將代入得，結合圖象，不妨取，則直線的方程為，又的右頂點為，所以直線經過的右頂點，D正確；故選BCD．10．【答案】ABC【詳解】因為，所以是偶函數，所以曲線關于對稱，則恒成立，A正確；由A得，兩邊取導數，所以曲線為奇函數，此時，又函數的定義域為，所以存在，使得為奇函數，B正確；當時，，由得，，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，則，由曲線關于對稱，所以，C正確；設，則，于是或，當時，由，解得，當時，由C可知，方程無解，所以方程只有2個不同的實數根，D錯誤；故選ABC．11．【答案】ABD【詳解】如圖，將棱延長交于一點，因為，所以點分別為三棱錐的棱的中點，所以，三棱臺的體積為，A正確；因為底面，所以，又，且，所以平面，所以，因為，點為棱的中點，所以，因為，平面，所以平面，B正確；取的中點，則，因為底面平面，所以，則側面．連接，則，所以為直線與直線所成的角，在中，易求得，所以，C錯誤；在三棱錐中，由上可知，，取的中點，則，所以為三棱錐外接球的球心，則三棱錐外接球的表面積為．在三棱錐中，連接，則平面，知為外接圓的圓心，由球的性質可知，三棱錐的外接球的球心在直線上，設外接球的半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，D正確，故選:ABD．12．【答案】0【詳解】由得，，因為或，所以，所以和2是方程的兩根，所以，解得，所以．13．【答案】【詳解】因為均為銳角，所以，，所以.又，，所以，，所以，，所以，，所以，所以.14．【答案】/【詳解】若點滿足方程，則點，，也滿足該方程，則曲線關于原點、坐標軸對稱，當時，，則，當時，，所以曲線有四個頂點，且坐標為，下面研究曲線在第一象限的變化情況，令，則，令，解得或，則當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故的最大值為，即，所以，利用對稱性作出曲線的圖形，可知當分別為的最高點和最低點時，四邊形的面積最大，最大值為.15．【答案】（1）（2）遞增區間為和，遞減區間為和【詳解】（1）由題意知，則，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）的定義域為，由（1）知，令得或；令得，且，所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為和.16．【答案】（1）（2）分布列見解析，【詳解】（1）當比賽四局結束時，若甲獲勝，則甲第四場勝，前三場勝兩場輸一場，則甲獲勝的概率為；當比賽四局結束時，若乙獲勝，則乙第四場勝，前三場勝兩場輸一場，則乙獲勝的概率為，故比賽四局結束的概率為.（2）由題意，的可能取值為，當時，比賽結束，因為前兩局甲獲勝，故此局必為甲勝，則；當時，比賽結束，因為前兩局甲獲勝，故這兩局中第一局乙勝，第二局甲勝，則；當時，比賽結束，因為前兩局甲獲勝，故這三局中，要么乙全部勝，要么乙勝前兩局，甲勝最后一局，則；所以的分布列為123故．17．【答案】（1）（2）①；②【詳解】（1）由正弦定理得，，整理得，由余弦定理得，，又，所以；（2）①在中，，在中，由正弦定理得，，即，所以，故；②由得，，又，所以，則，由（1）得，，所以，故的周長為．18．【答案】（1）證明見解析（2）①；②【詳解】（1）在上取點，使得，連接，因為，所以，所以，且，又，所以，又，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以，因為平面平面，故平面；（2）分別取的中點，連接，則底面圓，連接，因為點為的中點，所以，易得，以為原點，以，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，①因為，所以，所以，則動點的軌跡是半徑為的圓，其軌跡長