專題15等腰三角形中分類討論、動點、半角和存在性五類問題目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、分類討論求角度 2類型二、分類討論求線段長度 3類型三、等腰三角形中的動點問題 3類型四、等腰三角形中的半角問題 5類型五、等腰三角形的存在性問題 7壓軸能力測評 81.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．（2）等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．（3）等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”注意：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。3等腰三角形的動點問題等腰三角形的動點問題往往不會單獨考察，一般會和全等三角形、直角三角形、平行四邊形和特殊的平行四邊形以及平面直角坐標(biāo)系等結(jié)合考察。做此類問題的解題技巧和全等三角形的類似，如果牽涉到時間問題的，分為三步走：先把動點走過的路程用時間表示出來；把剩余路程也用時間表示出來；根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程。有些不是和時間有關(guān)的，需要做輔助線類的，要根據(jù)題意做輔助線構(gòu)造等腰三角形來解決問題。類型一、分類討論求角度當(dāng)題目中已知角度未說明是等腰三角形的頂角或者底角的時候，要進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求值。例．在中，，的垂直平分線與所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的頂角為（

）A． B． C．或 D．或【變式訓(xùn)練1】．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（

）A． B．C．或 D．或【變式訓(xùn)練2】．等腰三角形的一個外角是，則頂角是（）A． B．或 C． D．【變式訓(xùn)練3】．等腰三角形一個外角等于，則它的頂角為（

）A． B． C．或 D．類型二、分類討論求線段長度已知條件未說明線段等腰三角形的腰或者底邊的時候，進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求值。例．等腰三角形的一邊長是，另一邊長是，則這個三角形的周長是（

）A． B． C．或 D．【變式訓(xùn)練1】．等腰三角形的兩邊長分別為4和7，則第三邊長為（

）A．4 B．7 C．4或7 D．15或18【變式訓(xùn)練2】．在中，，中線將這個三角形的周長分為9和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（

）A．9 B．5 C．5或9 D．8或10【變式訓(xùn)練3】．已知等腰三角形的兩邊長分別為，則該等腰三角形的周長是（）A． B． C．或 D．類型三、等腰三角形中的動點問題例．已知為等腰三角形，，點為直線上一動點（點不與點、點重合）以為邊作，且，連接，．(1)如圖，當(dāng)點在邊上時，試說明：①②；(2)如圖，當(dāng)點在邊的延長線上時，其他條件不變，探究線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，等腰三角形中，，，D是的中點，M是上的動點，N是上的動點．M點由B向C運(yùn)動，同時，N點由C向A運(yùn)動．

(1)M點的運(yùn)動速度為/秒，t秒后，=_________cm（用含t的代數(shù)式表示）(2)M點的運(yùn)動速度為/秒，且N點的速度與M的速度相等，若t秒后，，問與全等嗎？請說明理由，并求出t的值．(3)M點的運(yùn)動速度為/秒，若N點的速度與M點的速度不相等，當(dāng)N的運(yùn)動速度為多少時，能使與全等？【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，且，為軸上點右側(cè)的動點，以為腰作等腰三角形，使，，直線交軸于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點運(yùn)動時，點在軸上的位置是否發(fā)生改變，為什么？【變式訓(xùn)練3】．如圖，、分別是、軸上兩點，其中與互為相反數(shù).點是第二象限內(nèi)一點，且，點是直線上一動點；（1）若，且是等腰三角形，求的度數(shù)；（2）點在直線上運(yùn)動過程中，當(dāng)最短時，求的大小.類型四、等腰三角形中的半角問題等腰三角形中半角問題，一般先找出相等的線段或者角，進(jìn)行三角形全等的證明，進(jìn)而求得線段之間的關(guān)系。例．如圖，是邊長為2的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，以點為頂點作，點、分別在、上．（1）如圖①，當(dāng)時，則的周長為______；（2）如圖②，求證：．【變式訓(xùn)練1】．如圖所示，ΔABC是邊長為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點作一個的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長.【變式訓(xùn)練2】．（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常常會想到：把ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，請直接寫出線段BD的長．

【變式訓(xùn)練3】．請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE＝45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；（2）當(dāng)動點E在線段BC上，動點D運(yùn)動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點D、E在邊AB上，且∠DCE＝30°，請你找出一個條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù)．類型五、等腰三角形的存在性問題 題目未說明等腰三角形的頂角或者腰時，一般要對腰進(jìn)行分類討論，在結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與x軸相交于點A，與直線交于點B，點B的橫坐標(biāo)為1．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點P是直線上的一動點，連接，當(dāng)是以為底角的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，已知點，點C為x軸上一動點，連接，和都是等邊三角形．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點D恰好落在上時．①求的長及點E的坐標(biāo)；②在x軸上是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，點D為邊上一動點（點D不與點B，C重合）．以D為頂點作，射線交邊于點E．(1)求證：；(2)試探究當(dāng)?shù)拈L為多少時，？請給出你的結(jié)論，并說明理由；(3)過點A在右側(cè)作，交射線于點F，連接．當(dāng)為等腰三角形時，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】．圖，在中，，，，，、是邊上的兩個動點，其中點從點開始沿方向運(yùn)動，且速度為每秒，點從點開始沿方向運(yùn)動，且速度為每秒，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為秒．

(1)_____（用t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)點在邊上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？(3)當(dāng)點在邊上運(yùn)動時，出發(fā)秒后，是以或為底邊的等腰三角形？1．用一條長為的細(xì)繩首尾連接圍成一個等腰三角形，若其中有一邊的長為，則該等腰三角形的腰長為（

）A． B． C．或 D．或2．如圖，在中，已知，DE垂直平分，且，，則的周長為（

）A．20 B．22 C．10 D．143．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或4．已知等腰三角形的周長是，底邊長是腰長的函數(shù)，則下列圖象中，能正確反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C． D．5．如圖，在等腰中，，腰長為，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點，點為直線上一點，直線過點．(1)求m和b的值；(2)直線與軸交于點，動點在線段上從點開始以每秒1個單位的速度向點運(yùn)動．設(shè)點的運(yùn)動時間為秒．①若的面積為10，求的值；②是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．7．如圖，點P是線段外的一個動點，以為腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．(1)求證：；(2)添加適當(dāng)字母，求證：；(3)若，求線段的最大值．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，將線段沿y軸向上平移4個單位，得到線段．(1)寫出點C，D的坐標(biāo)；(2)若點E在x軸上，求出點E坐標(biāo)，使得；(3)線段沿軸向下平移得線段，軸上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若存在請直接寫出點坐標(biāo)，并寫出求其中一個點坐標(biāo)的過程；若不存在，請說明理由．9．綜合探究(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，連接，以為直角邊在左側(cè)作等腰，，，求點的坐標(biāo)；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，過點作軸的垂線，點是直線上一個動點，點是直線上的一個動點，若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，求點的坐