專題11全等三角形模型之一線三等角和三垂直模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2模型一、一線三等角模型 2模型二、分三垂直模型 5壓軸能力測評 9模型三、一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.模型四、三垂直全等模型【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直。【常見模型】模型一、一線三等角模型例．如圖，點A，B的坐標分別是和，分別以點A，B為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧在第二象限交于點C，連接，．則點C的坐標為（

）

A． B． C． D．【變式訓練1】．如圖，點P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點，且，．連結PD，以PD為邊，在PD的右側作等邊△DPE，連結BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【變式訓練2】．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【變式訓練3】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【變式訓練4】．如圖，在四邊形中，，，點是上一點，連接、，若，，則的長為．

【變式訓練5】．如圖，在等腰中，，D為內一點，且，若，則的面積為．【變式訓練6】．（1）如圖（1），在中，，，直線m經過點A，直線m于點D，直線m于點E．求證：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【變式訓練7】．如圖，在中，．(1)如圖1，直線過點B，于點M，于點N，且，求證：．(2)如圖2，直線過點B，交于點M，交于點N，且，則是否成立？請說明理由！【變式訓練8】．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有，且滿足．【積累經驗】（1）如圖1，當時，猜想線段DE，BD，CE之間的數量關系是______；【類比遷移】（2）如將2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展應用】（3）如圖3，在中，是鈍角，，，，直線m與CB的延長線交于點F，若，的面積是12，請直接寫出與的面積之和．【變式訓練9】．如圖，在中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．

(1)當時，°，°；點D從B向C運動時，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當等于多少時，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數．若不可以，請說明理由．模型二、分三垂直模型例．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【變式訓練1】．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【變式訓練2】．一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸的負半軸和正半軸上，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內接正方形，若直線OF的表達式是y＝2x，則的值為（

）A． B． C． D．【變式訓練4】．如圖，在中，，，分別過點，作經過點的直線的垂線段，，若，，則的長為．【變式訓練5】．如圖，，分別是正方形的邊，上的點，且，，相交于點，則與的數量與位置關系為．【變式訓練6】．某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖1．已知：在中，，，直線l經過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D、E．證明：．(2)組員小明對圖2進行了探究，若，，直線l經過點A．直線l，直線l，垂足分別為點D、E．他發現線段、、之間也存在著一定的數量關系，請你直接寫出段、、之間的數量關系，(3)數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形（正方形的4條邊都相等，4個角都是直角），是邊上的高，延長交于點，若，，求的長．【變式訓練7】．在中，，，直線經過點，且于，于．(1)當直線繞點旋轉到圖的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點旋轉到圖的位置時，，，求線段的長．【變式訓練8】．如圖，在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到①的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到②的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉到③的位置時，試問、、具有怎樣的數量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．【變式訓練9】．（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應用：①已知直線y＝x+3與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B逆時針旋轉90度，得到線段BC，過點A，C作直線，求直線AC的解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為(8，6)，A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x﹣5上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標．1．如圖，為等腰直角三角形，若，，則點的坐標為．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB為邊向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，點G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．3．如圖，中，，則點B的坐標為．4．如圖1，在中，，，于點，，點在上，射線，分別交，兩邊于，兩點，(1)當點與點重合時，如圖2所示，直接寫出：①與之間的數量關系：_____________________；②與之間的數量關系：_______________________；(2)當點在線段上時（不與端點重合），如圖1所示，則與之間的數量關系：．5．綜合與實踐：如圖1，已知中，，，、分別與過點的直線垂直，且垂足分別為，．(1)猜想線段、、三者之間的數量關系，并給予證明．(2)如圖2，當過點的直線繞點旋轉到的內部，其他條件不變，線段、、三者之間的數量關系是否發生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數量關系，若不改變，請說明理由；6．已知：如圖（1），在平面直角坐標系中，點、點分別在軸、軸的正半軸上，點在第一象限，，點坐標為，點坐標為，且．(1)求出m，n的值；(2)求點的坐標，并證明為等腰直角三角形；(3)在坐標平面內有點（點不與點重合），使得是以為直角邊的等腰直角三角形，請求出滿足條件的點的坐標．7．如圖，在中，，點D是線段BC上一個動點，點F在線段上，且，．垂足E在的延長線上．(1)如圖1，當點D與點C重合時，線段和的數量關系是______；(2)如圖2，當點D不與點B，C重合，（1）的結論是否成立？若成立，請說明理由．8．如圖，在中，，，為的中線，D在上，，垂足為H，連接．求證：(1)；(2)．9．在平面直角坐標系中A、B兩點的坐標分別為、，且a、b滿足，點C為x軸負半軸上一點，．(1)求點C的坐標；(2)動點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，同時動點Q從點B出發，以每秒2個單位的速度沿y軸向下運動，設運動的時間為t秒，連接、，的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，當時，在坐標平面內以線段為斜邊作