1/32.3.2等比數列前n項和1.指導思想與理論依據本課的教學設計基于“人人都能獲得必要得數學”即平等性的考慮，堅持面向全體學生，努力設計“適合學生發展得數學教育”，體現“人人學數學”，“不同的人學不同的數學”的理念。教學中強調“培養學生情感、態度與價值觀”的重要性，注重引導學生主動地進行探索，從而幫助學生樹立正確的數學觀，但又與教師的設計問題與活動的引導密切結合，強調“活動”的內化，即在頭腦中實現必要的重構或認知結構的重組，從而引起真正的數學思維，提高思維的效益。通過聯系學生的生活實際使其真正感到數學是有意義的，一方面培養學生的社會意識，明確肯定“日常數學”的合理性等，另一方面，再調動學生生活經驗的同時，又應努力幫助他們清楚地去熟悉生活經驗并上升到“學校數學”的必要性。2.教學背景分析教學內容分析教材的地位與作用：《等比數列的前n項和》選自《普通高中課程標準數學教科書·數學（5）》（人教B版）2.3.3,是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。從知識的體系來看：本節教材在學生學習過等比數列的概念與性質的基礎上，學習等比數列n前項和公式，能用等比數列的前n項和公式解決相關求和問題。探索公式的推導、體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。本節內容基礎知識和基本技能非常重要，涉及的數學思想、方法較為豐富，因此是重點內容之一。本設計是第一課時的教學內容。2）學生情況分析（1）知識和技能基礎：學生的已有的知識結構：掌握了等差數列的概念，等差數列的通項公式和求和公式與方法，等比數列的概念與通項公式。（2）方法和經驗基礎：對合情推理的方法還比較陌生，對歸納、方程等思想方法有一定體會。（3）可能存在的問題：合情推理—演繹證明的邏輯關系不能準確理解，自己獨立思考難以得出結論3.教學目標(含重、難點)1)教學目標：知識與技能：理解等比數列前n項和公式的推導過程，會用公式解決簡單問題過程與方法：經歷等比數列求和公式的探索過程，提高觀察發現、歸納類比、演繹證明的思維能力情感、態度與值觀價：感受數學知識蘊含的思維價值，發展數學的理性思維2)教學重點：等比數列前n項和公式的推導3)教學難點：探索等比數列前n項和公式推導的思路與方法4.教學過程教學環節教師活動學生活動設計意圖教學時間一溫故知新，問題引入溫故知新問題1：在前面的學習中我們了解了一般數列的研究方法，并對一個特殊的數列等差數列進行了深入研究；請同學們回顧研究等差數列的過程，思考我們研究了等差數列的哪些問題？接下來我們研究等比數列也要從這四個方面進行研究，我們已經學習了等比數列的定義、通項公式、性質，今天我們繼續研究等比數列的前n項和。問題引入想一想，你需要知道關于這個數列的哪些信息，就可以告訴我它的前n項和？好的，那么這節課要解決的問題就是問題1：已知等比數列的首項，公比，項數，求.的數學符號表達：等比數列的還可表示為：這個表達式已經用將表達了出來，能否用這個算式求？所以我們還需對這個公式進行化簡，想辦法推導出更簡明的表達形式。回答：定義、通項公式、性質、前n項和預設：首項（或任意一項），公比，項數n項數較少時可以，當項數較多時無法用它來求和溫故知新，形成對知識的整體感知。明確本節課要研究的主要內容通過分析結構繁瑣，引出探究公式化簡形式的必要性5二探究方法，拓展思維二探究方法，拓展思維二探究方法，拓展思維二探究方法，拓展思維三探究方法，拓展思維預設：方法一合情推理歸納：問題1：解決這種形式復雜卻有規律的問題，我們可以從簡單情況入手，嘗試找規律，請同學們寫出，歸納前幾項的規律，根據前幾項的結構，能否猜想出的結構？……觀察第三項的結構，在哪里見過？只有第三項符合這種結構，我能否猜想第n項也符合這種結構？看看和是否符合結構？猜想：猜想所得公式成立的條件是什么？時如何表達？所以：猜想未必正確，但卻能為我們的證明提供方向。證明：錯位相減問題2：如何證明剛才的猜想？分類：時成立觀察時，的結構，這種分式結構的等式如何證明？欲證：只需證：只需證：觀察發現，兩式中有相同的項，于是將②式向后錯一位，對齊相同項，再相減①-②得：即：時，，猜想得證將乘，再向后錯一位，對齊相同項再相減，這種方法叫做錯位相減法，錯位相減法為什么能夠簡單的求出？什么樣的結構可以使用錯位相減法？這是我們解方程組時常用的消元法。所以我們也可以將這兩個等式看成方程組，將中間相同部分看成整體消去求出，這種做法體現了數學思想中的整體思想。回顧我們猜想的過程，是由幾種特殊情況歸納猜想出一般結論，這種方法叫作：歸納法由歸納猜想得出的結論，未必一定正確，所以還需對猜想進行證明。這種歸納推理的方法是數學中合情推理的一種。在研究數學問題的過程中，常常是先猜再證，并且猜有時比證更困難，因為他是一個從無到有的發現過程。因此合情推理是數學研究中發現新結論的重要方法。此處約定，對于時顯然成立，因此在后續證明中，我們只研究的情況。預設：方法二遞推公式——通項公式問題3：構成了一個新的數列，它是等比數列嗎？它是如何構成的？那么數列的前n項和同時也是這個新數列的通項，我們將問題轉化為了求數列通項公式的問題。如何求一個陌生數列的通項公式？回顧等差數列和等比數列我們是如何求他們的通項公式的？所以，我們可以嘗試尋求前后兩項的遞推關系，即與的關系，從而求出通項公式。觀察上式，能否找到與的關系？這種遞推公式的結構，可用何種方法求還能找到其他遞推關系嗎？這種遞推公式的結構符合我們學過的哪種遞推關系求通項？如何求設：解得：即：令：，則：所以，輔助數列是以為首項，以為公比的等比數列。由后續計算留做作業思考：嘗試總結一下這種方法，我們是如何求出的。小結：通過遞推公式求通項公式的方法，我們以前就學習過，今天我們將求前n項和的問題轉化為了求數列通項的問題，這種將未知問題向已知問題轉化的方法也是我們數學學習中常用的方法，同學們注意體會。預設：方法三方程組法問題4：上述兩個遞推公式都給出了與的關系，還能否找到另一種求的方法？由②得，代入①得解得當時，上式成立小結：此種方法體現了哪種數學思想？預設：方法四疊加法問題5：類比等差數列求和的方法，你能想出什么辦法來求等比數列前n項和？疊加得：解得：當時，上式成立小結：這是什么數學思想方法預設：方法五合比定理問題6：利用等比數列定義，，前面學過類似的結構嗎？如何解決求和的問題？即：解得：當時，上式成立小結：這個方法與哪個方法本質是相同的？動手嘗試，尋找規律，嘗試化簡立方差公式不能，再看幾項符合分兩種情況討論時，該數列為常數列，顯然成立。轉化為整式消去了大量的中間項預設1：后一項是前一項倍數的形式預設2：錯位之后能抵消的形式不一定，由的前幾項和組成的疊加疊乘疊加法行不通構造輔助數列將看成這個數列的通項，利用遞推關系求通項公式方程組法：方程思想疊加法類比方法正弦定理利用合比定理解決復雜問題從簡單入手找規律，符合學生認知規律，自然引發學生思考聯想曾經學過的知識，發現規律歸納猜想出一般結論明確公式結構，對進行分類討論揭示猜想的價值分析證明方法，給學生搭建臺階揭示錯位相減法適用的問題類型揭示思想方法揭示合情推理對數學結論發現的價值從另一種視角看待，將未知問題轉化為已知問題類比已學知識，為后續證明做鋪墊，降低難度類比已學知識呈現解題思路揭示思想方法引出方程思想揭示思想方法類比已學知識揭示思想方法預設學生可能出現的方法揭示方法的本質55105四總結提升，歸納方法1、回顧本節課我們學習了什么內容？2、在公式推導中我們運用了哪些方法？3、體現了什么數學思想方法？等比數列前n項和公式合情推理猜想結論，再用錯位相減的方法進行證明，體現了消元方法和整體思想從新的視角將