初中數(shù)學教材中“組合問題”的編排及教學思考一、引言教材編寫是國家事權(quán)，教材內(nèi)容的選擇是其

中的重要事項。教材內(nèi)容的選擇受教育目的、社會文化、科技發(fā)展水平及教育研究水平的影響。在教材內(nèi)容中滲透組合內(nèi)容是可行的。現(xiàn)代數(shù)學主要分為兩大類：一類是研究連續(xù)對象，如分析學、方程等；另一類則是研究離散對象的組合數(shù)學。組合數(shù)學主要研究有限個事物在一定規(guī)則下的安排，如安排的存在性、計數(shù)、構(gòu)造與優(yōu)化等。組合數(shù)學既是離散數(shù)學的重要組成部分和核心，又是計算機算法的重要基礎(chǔ)之一。計算機算法不僅研究數(shù)值運算，還研究離散對象的非數(shù)值算法，如查找、排序等。有了組合數(shù)學，計算機就有了思維。組合數(shù)學的內(nèi)容蘊含著豐富的數(shù)學思想，如邏輯推理、數(shù)學抽象等，學習組合數(shù)學對學生的數(shù)學思維發(fā)展，特別是計算思維的發(fā)展有很大幫助。但現(xiàn)有教材中的組合數(shù)學知識與計算機科學脫節(jié)，組合課程應與時代相結(jié)合，更好地培養(yǎng)學生的抽象思維、邏輯思維以及分析問題、解決問題的能力。二、組合問題的編排特點以人民教育出版社的初中數(shù)學教材中的組合

問題為研究對象，分析、歸納得出組合問題具有以下編排特點。1、組合問題的多樣性初中數(shù)學教材中的組合數(shù)學涉及的問題的類

型有：存在性問題、計數(shù)問題、構(gòu)造問題、優(yōu)化問題。存在性問題有填幻方、圖形拼接、切割問題等；計數(shù)問題有球隊循環(huán)比賽場數(shù)，聚會握手次數(shù)，火柴棍擺三角形個數(shù)，六個全等三角形拼成的平行四邊形個數(shù)，小正方形拼大正方形個數(shù)，小立方體組成立體圖形個數(shù)，三角形各中點、頂點連線組成平行四邊形的個數(shù)，凸多邊形對角線條數(shù)等；構(gòu)造問題有鑲嵌，“湊錢”，五個點中任意三個點都能組成等腰三角形等；優(yōu)化問題有兩點之間的路徑選擇，用哪種燈更省電，怎樣租車，怎樣調(diào)水等。計數(shù)、存在、構(gòu)造、優(yōu)化是四種常見的組合問題，大學組合數(shù)學也主要研究這四種類型的組合問題。對于存在性問題，學生可以動手去畫、去做，總結(jié)規(guī)律以解決問題，符合初中生的思維規(guī)律。計數(shù)問題類似高中的排列組合知識，可以通過數(shù)數(shù)的方法列舉所有情況，以解決問題。構(gòu)造問題要求學生要有理解題意、建立簡單數(shù)學模型的能力。優(yōu)化問題也是在建立函數(shù)模型的基礎(chǔ)上求取最優(yōu)解，這和高中線性規(guī)劃問題有共通點，對學生能力的要求也較高。2、組合問題與傳統(tǒng)內(nèi)容結(jié)合的形式多樣代數(shù)、幾何是初中數(shù)學的主干內(nèi)容，也是傳統(tǒng)成熟內(nèi)容。初中代數(shù)的主要內(nèi)容是解方程，初中幾何主要是歐氏幾何，這些內(nèi)容在于培養(yǎng)學生的運算能力和邏輯推理能力。但換成從組合的角度審視這些傳統(tǒng)成熟內(nèi)容，會獲得不一樣的見解。

人教版初中數(shù)學教材中組合問題與傳統(tǒng)內(nèi)容

結(jié)合的形式多樣。由于組合數(shù)學內(nèi)容在初中數(shù)學中出現(xiàn)得很少，也沒有以某一專題的形式進行系統(tǒng)學習，而是多以例題形式出現(xiàn)，因此要分析教材中組合數(shù)學內(nèi)容編寫的特點，需以某一部分內(nèi)容為例。本文以七年級下冊的部分組合內(nèi)容為例，對內(nèi)容編寫進行分析。七年級下冊中涵蓋了組合數(shù)學素材來源的主要方面，還包括組合數(shù)學的不同呈現(xiàn)形式—課題學習、數(shù)學活動、探索思考、練習題，選取這樣的內(nèi)容具有代表性。七年級下冊中組合問題出現(xiàn)次數(shù)相對較多，并且組合問題的類型也比較豐富，如垂線段最短問題、分飼料問題、設計方案問題等。由呈現(xiàn)樣式可知，素材的選擇有直接的數(shù)學知識（單純的數(shù)學問題：垂線段最短、鑲嵌等），也有社會經(jīng)驗（生活問題：分飼料問題）。七年級下冊的組合內(nèi)容，學科知識與數(shù)學活動操作相結(jié)合，直觀感知與邏輯思維并重的例題設計，考查了學生的能力，也鍛煉了思維；兼顧了數(shù)學的理論價值和應用價值，既有一定的抽象性，也能用貼近學生生活的素材激發(fā)學生的學習興趣，從多種角度豐富學生對數(shù)學的感受。3、年紀貫通、分散編排、隱形滲透地呈現(xiàn)組合問題的編排在中小學各有特色，小學的組合問題編排有分散和集中兩種方式，集中編排主要是在“數(shù)學廣角”中。高中的組合問題分顯性和隱性兩種方式，顯性編排主要采用專題學習的方式。初中的組合問題只有全分散一種編排模式，多采用隱性的方式滲透組合思想。從方式上看，初中相比小學、高中而言較為單一。但方式上的單一并不代表內(nèi)容上的單薄，從內(nèi)容上看，初中數(shù)學教材中布滿了組合問題，且這些組合問題主要分布在“數(shù)學活動”中，主要任務是在傳統(tǒng)內(nèi)容的學習中向?qū)W生滲透組合思想，訓練學生的思維，在承接了小學組合問題學習的同時，為學生在高中階段學習專題的組合問題打下良好的思維基礎(chǔ)，使組合問題的學習在整個中小學階段連續(xù)一貫。三、“組合問題”編排的教學思考初中教材中的組合問題涉及存在性問題、計

數(shù)問題、構(gòu)造問題、優(yōu)化問題，以傳統(tǒng)成熟內(nèi)容為載體，以隱性滲透的方式編寫，呈現(xiàn)出年級貫通、全分散編排的特點。這些特點構(gòu)成了教材的編寫特色，還可進一步完善。1、組合分析使傳統(tǒng)內(nèi)容增值

應將組合問題與教材中傳統(tǒng)成熟內(nèi)容相結(jié)合，著重挖掘知識中蘊含的組合思想，獲得新見解。初中數(shù)學中與組合問題相關(guān)聯(lián)的知識主要是代數(shù)和幾何。組合思想在初中教材中具有廣泛性：學習反比例函數(shù)，對自變量的正負區(qū)間進行分析（將連續(xù)的事物離散化）；歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)時，對參數(shù)進行分類總結(jié)；三角形全等的判定方法為什么是四種；直角三角形除直角外的五個邊角元素有哪些關(guān)系；中學階段經(jīng)常使用的描點作圖法；等等。這些是以教科書中傳統(tǒng)成熟的內(nèi)容為載體的。又如踢球問題、擺棍子等，多次出現(xiàn)，對學生思維的培養(yǎng)雖有幫助，但載體太陳舊。為更好地鍛煉學生的思維，需要對載體內(nèi)容進行更新，因為滲透組合數(shù)學的觀念與方法是著眼于學生的未來發(fā)展。加強課程內(nèi)容的橫向組織，有助于學生獲得統(tǒng)一的觀點，并把自己的行為與所學的課程內(nèi)容統(tǒng)一起來。2、組合素材的選取可更新組合素材的表現(xiàn)形式還有改進的空間，應適度考慮計算機興起帶來的影響。目前組合素材的選擇大致符合學生的心理發(fā)展規(guī)律以及知識理解水平，但仍有一些可以改進的地方，如可以考慮在初中教材中適當增加一些專題的學習，使其更好地銜接小學和高中組合問題的學習。從時代發(fā)展和社會需要的角度看，初中數(shù)學教材中的組合素材并沒有和新興的計算機科學技術(shù)相聯(lián)系，有關(guān)組合數(shù)學的例題內(nèi)容還局限在擺木棍、踢球等古典組合數(shù)學類問題上，沒有考慮計算機的興起對課程的影響。算法、計算機對社會發(fā)展、科技進步有著重要的影響，以傳統(tǒng)教學內(nèi)容為載體，滲透算法、計算思維的訓練，以適應科技進步對人才的需要，是非常有意義的。算法是中國古代數(shù)學的精髓，也是現(xiàn)代計算機的基礎(chǔ)。ChatGPT

的出現(xiàn)表明以算法為基礎(chǔ)的人工智能（AI）將對人類社會產(chǎn)生深遠的影響，以傳統(tǒng)成熟內(nèi)容為載體，滲透作為人工智能基礎(chǔ)的算法，實施起來容易落實。四、結(jié)語

跨界與融合是教育發(fā)展的新趨勢，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》設置并編寫“體育運動中的數(shù)學”“音樂中的數(shù)學”“美術(shù)中的數(shù)學”“美與數(shù)學”等專題是一種進步。數(shù)學與計算機“本是同根生”，在數(shù)學教材中融入算法既是跨界更是內(nèi)涵式增值行為，也是一種跨學科主題教學題材。

時代在進步，社會在發(fā)展，計算機