6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022秋·福建·高二福建師大附中校考期中）四名師范生從A，B，C三所學(xué)校中任選一所進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)，其中A學(xué)校必有師范生去，則不同的選法方案有（

）A．37種 B．65種 C．96種 D．108種【答案】B【詳解】若不考慮限制條件，每人都有3種選擇，則共有種方法，若沒(méi)有人去A學(xué)校，每人都有2種選擇，則共有種方法，故不同的選法方案有種.故選:B.2．（2022秋·河北·高二河北省文安縣第一中學(xué)校考期末）如圖，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為（

）A．5 B．7 C．8 D．12【答案】C【詳解】要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為．故選：C．3．（2022春·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,一同學(xué)從中選1門,則該同學(xué)的不同選法共有（

）A．7種 B．12種 C．4種 D．3種【答案】A【詳解】解:由題知某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,共7門,故該同學(xué)的不同選法共有7種.故選:A4．（2022秋·河北承德·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一位媽媽帶著三個(gè)孩子買玩具，每個(gè)孩子從五種不同的玩具中任選一個(gè)，每種玩具至少有3個(gè)，則不同的選法有（

）A．15種 B．125種 C．25種 D．150種【答案】B【詳解】由題知，每個(gè)孩子都有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法.故選：B5．（2022秋·湖北十堰·高二十堰東風(fēng)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）某校高二年級(jí)舉行健康杯籃球賽，共20個(gè)班級(jí)，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊(duì)，2、5、6班組成聯(lián)盟隊(duì)，一共有16支籃球隊(duì)伍，先分成4個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出8強(qiáng)（每隊(duì)與本組其他隊(duì)賽一場(chǎng)），即每個(gè)組取前兩名（按獲勝場(chǎng)次排名，如果獲勝場(chǎng)次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級(jí)的8支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強(qiáng)，晉級(jí)的4支隊(duì)伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時(shí)后面的4支隊(duì)伍要決出第五至八名，則總共要進(jìn)行籃球賽的場(chǎng)次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【答案】C【詳解】在循環(huán)賽階段，4個(gè)小組，每個(gè)小組由4支球隊(duì)組成，每個(gè)球隊(duì)都要進(jìn)行三場(chǎng)比賽，故每組要進(jìn)行場(chǎng)，4組要進(jìn)行場(chǎng)；在淘汰賽階段，第一輪：8支球隊(duì)，2支一場(chǎng)，則共進(jìn)行；第二輪：8支球隊(duì)，2支一場(chǎng)，共進(jìn)行場(chǎng)，此時(shí)決出分別爭(zhēng)奪冠亞軍、第三四名、第五六名、第七八名的球隊(duì)，再分別進(jìn)行4場(chǎng)，決出冠軍、亞軍、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.綜上，可得共進(jìn)行場(chǎng).故選：C.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）元旦來(lái)臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種【答案】B【詳解】解法1：設(shè)四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，當(dāng)A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時(shí)有三種不同的分配方式；同理，A拿c，d時(shí)也各有三種不同的分配方式，由分類加法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡共有（種）分配方式；解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，如果A先拿，有3種，此時(shí)被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，接下來(lái)，剩下的兩個(gè)人都各只有1種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．故選：B.7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個(gè) B．15個(gè) C．12個(gè) D．9個(gè)【答案】B【詳解】由題知后三位數(shù)字之和為4，當(dāng)一個(gè)位置為4時(shí)有004，040，400，共3個(gè)；當(dāng)兩個(gè)位置和為4時(shí)有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9個(gè)；當(dāng)三個(gè)位置和為4時(shí)112，121，211，共3個(gè)，所以一共有15個(gè).故選：B8．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【答案】B【詳解】第一步，對(duì)1號(hào)區(qū)域，栽種有4種選擇；第二步，對(duì)2號(hào)區(qū)域，栽種有3種選擇；第三步，對(duì)3號(hào)區(qū)域，栽種有2種選擇；第四步，對(duì)5號(hào)區(qū)域，栽種分為三種情況，①5號(hào)與2號(hào)栽種相同，則4號(hào)栽種僅有1種選擇，6號(hào)栽種有2中選擇，②5號(hào)與3號(hào)栽種相同，情況同上，③5號(hào)與2、3號(hào)栽種都不同，則4、6號(hào)只有1種；綜上所述，種.故選：B.二、多選題9．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高二周南中學(xué)校考期末）現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法【答案】BD【詳解】對(duì)A，從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤：對(duì)B，若每種顏色選出1個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)C，若要選出不同顏色的2個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，若要不放回地依次選出2個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確.故選：BD10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則下列結(jié)論正確的是（

）A．最高處的樹枝為G，I中的一個(gè)B．最低處的樹枝一定是FC．這九根樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九根樹枝從高到低不同的順序共有32種【答案】AC【詳解】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)椋€剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，最高可能為G或I，最低為F或H，故選項(xiàng)正確，B錯(cuò)誤；先看樹枝，有4種可能，若在，之間，則有3種可能：①在，之間，有5種可能；②在，之間，有4種可能；③在，之間，有3種可能，此時(shí)樹枝的高低順序有（種）。若不在，之間，則有3種可能，有2中可能，若在，之間，則有3種可能，若在，之間，則有三種可能，此時(shí)樹枝的高低順序有（種）可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有種，故選項(xiàng)正確.故選：AC.三、填空題11．（2022秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某高中為高一學(xué)生提供四門課外選修課：數(shù)學(xué)史?物理模型化思維?英語(yǔ)經(jīng)典閱讀?《紅樓夢(mèng)》人物角色分析.要求每個(gè)學(xué)生選且只能選一門課程.若甲只選英語(yǔ)經(jīng)典閱讀，乙只選數(shù)學(xué)史或物理模型化思維，學(xué)生丙?丁任意選，這四名學(xué)生選擇后，恰好選了其中三門課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.【答案】20【詳解】若乙選數(shù)學(xué)史：丙若選數(shù)學(xué)史，則丁有2種選法；丙若選物理模型化思維，則丁有3種選法；丙若選英語(yǔ)經(jīng)典閱讀，則丁有2種選法；丙若選《紅樓夢(mèng)》人物角色分析，則丁有3種選法，共10種，若乙選物理模型化思維，同理有10種.故共有20種.故答案為：.12．（2022春·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）某比賽有8支隊(duì)伍參賽，分別為中國(guó)賽區(qū)1，2，3，4號(hào)隊(duì)伍，韓國(guó)賽區(qū)1，2，3號(hào)隊(duì)伍，歐洲賽區(qū)1號(hào)隊(duì)伍.現(xiàn)淘汰賽需要抽簽，分四組兩兩對(duì)決，要求來(lái)自同一賽區(qū)的隊(duì)伍不進(jìn)行對(duì)戰(zhàn)且同一編號(hào)隊(duì)伍不進(jìn)行對(duì)戰(zhàn).則會(huì)出現(xiàn)___________種不同的對(duì)局情況.【答案】【詳解】記中國(guó)賽區(qū)1，2，3，4號(hào)隊(duì)伍分別為，韓國(guó)賽區(qū)1，2，3號(hào)隊(duì)伍分別為，歐洲賽區(qū)1號(hào)隊(duì)伍為，根據(jù)題意，只能對(duì)戰(zhàn)中的一支隊(duì)伍，當(dāng)對(duì)戰(zhàn)時(shí)，可以對(duì)戰(zhàn)中的一支隊(duì)伍，若對(duì)戰(zhàn)，則只能對(duì)戰(zhàn)，故只能對(duì)戰(zhàn)，只有1種情況；若對(duì)戰(zhàn)，則可以對(duì)戰(zhàn)中一支隊(duì)伍，對(duì)戰(zhàn)剩下的隊(duì)伍，一共有2種情況；若對(duì)戰(zhàn)，則只能對(duì)戰(zhàn)，故只能對(duì)戰(zhàn)，只有1種情況；當(dāng)對(duì)戰(zhàn)時(shí)，只能對(duì)戰(zhàn)中的一支隊(duì)伍，若對(duì)戰(zhàn)，則可以對(duì)戰(zhàn)中一支隊(duì)伍，對(duì)戰(zhàn)剩下的隊(duì)伍，一共有2種情況；若對(duì)戰(zhàn)，則可以對(duì)戰(zhàn)中一支隊(duì)伍，對(duì)戰(zhàn)剩下的隊(duì)伍，一共有2種情況；綜上：對(duì)局情況一共有種.故答案為：.四、解答題13．（2022秋·江蘇鹽城·高二校考期中）有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？（不一定6名同學(xué)都參加）(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限.【答案】(1)(2)（1）每人都可以從這三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為．（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限．因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這6人中選出1人參加．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為．14．（2022秋·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)校考期中）用0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】(1)648(2)379(1)百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個(gè)數(shù)字中選取，所以共有個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．(2)滿足條件的一位自然數(shù)有10個(gè)，兩位自然數(shù)有個(gè)，三位自然數(shù)有個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有個(gè)小于500且無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．B能力提升15．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)校考期中）某學(xué)校共有20人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級(jí)5人，高二年級(jí)8人，高三年級(jí)7人.(1)每個(gè)年級(jí)各選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法?(2)選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人，這兩人需要來(lái)自不同的年級(jí)，有多少種不同的選法?（作答要求：除了寫清楚列式計(jì)算的步驟，還需要寫清楚文字說(shuō)明）【答案】(1)280；(2)131.(1)根據(jù)題意，共分為3步.第1步：從高一學(xué)生中選出1人，有5種選法；第2步：從高二學(xué)生中選出1人，有8種選法；第3步：從高三學(xué)生中選出1人，有7種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有5×8×7=280種選法；(2)根據(jù)題意，可分為3類.第1類：選出的是高一、高二學(xué)生，有5×8=40種選法；第2類：選出的是高一、高三學(xué)生，有5×7=35種選法；第3類：選出的是高二、高三學(xué)生，有8×7=56種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有40+35+56=131種選法.16．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，，且B中元素滿足：①任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9.(1)求B中的兩位數(shù)和三位數(shù)的個(gè)數(shù)；(2)B中是否存在五位數(shù)、六位數(shù)？(3)若從小到大排列B中元素，求第1081個(gè)元素.【答案】(1)兩位數(shù)共有種，三位數(shù)有種(2)五位數(shù)存在，不存在六位數(shù)(3)4012(1)兩位數(shù)中，十位上的數(shù)字可取1，2，3，…，9，個(gè)位上的數(shù)字由于不能和十位上的數(shù)字重復(fù)，且與十位上的數(shù)字之和不能為9，故對(duì)于十位上的每一個(gè)數(shù)字，相應(yīng)的個(gè)位數(shù)字有8種取法，從而滿足題意的兩位數(shù)共有（種）.對(duì)于三位數(shù)，我們先考慮百位上的數(shù)字，可取1，2，3，…，9；再考慮十位上的數(shù)字，由于不能與百位上的數(shù)字重復(fù)，且與百位上的數(shù)字之和不能為9，故有8種取法；最后考慮個(gè)位上的數(shù)字，由于不能和百位、十位上的數(shù)字重復(fù)，且和百位、十位上的數(shù)字相加都不能等于9，故有6種取法，從而符合題意的三位數(shù)有（種）.(2)五位數(shù)存在，如12340就是其中一個(gè)；不存在這樣的六位數(shù).理由如下：仿照（1）的解法，十萬(wàn)位上有9種取法，萬(wàn)位上有8種取法，千位上有6種取法，百位上有4種取法，十位上有2種取法，個(gè)位上有0種取法，矛盾.(3)由（1）可得，符合題意的兩位數(shù)有72個(gè)，三位數(shù)有432個(gè)，符合題意的四位數(shù)有（個(gè)）.四位數(shù)中千位上是1的有（個(gè)）；千位上是2，3的也各有192個(gè)，由于.所以符合題意的數(shù)是千位上是4的最小的數(shù)，即B中第1081個(gè)元素是4012.C綜合素養(yǎng)17．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【答案】（1）125個(gè)；（2）100個(gè)；（3）30個(gè).【詳解】（1）三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個(gè))．（2）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個(gè))．（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．18．（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3種不同顏色填涂圖中，，，四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？（2）若恰好用3種不同顏色給，，，四個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？（3）若有3種不同顏色，恰好用2種不同顏色涂完四個(gè)