第七章空間向量與立體幾何7.1.1空間幾何體（題型戰法）知識梳理一簡單幾何體1.柱體（1）棱柱側面積：(直)，（：直截面周長，l：斜棱長）體積:（2）圓柱表面積：側面積：體積：2.錐體（1）棱錐側面積:（為底面周長，為斜高）。體積:（2）圓錐表面積：側面積：體積：3.臺體（1）棱臺體積：（2）圓臺表面積：體積：4.球體表面積：體積：二空間幾何體的外接球與內切球1.球的外接（1）長方體外接球半徑計算公式為：（2）正方體外接球半徑計算公式為：（3）正四面體外接球半徑計算公式：（為棱長）（4）正棱錐外接球的半徑計算方法：頂點，球心，底面外接圓的圓心三點共線，可利用直角三角形求解；即：（其中：為底面外接圓的半徑，可通過正弦定理進行計算，為三棱錐的高，為外接球的半徑）（5）直三棱柱的外接球半徑計算方法：（為直棱柱高的一半，r為三角形外接球的半徑）（6）直角四面體的外接球球心在直角三角形斜邊的中點處。2.球的內切（1）正方體的內切球半徑為：；長方體無內切球。（2）直三棱柱的內切球滿足條件：（1）棱柱的高為內切球半徑的2倍，即：（2）記三棱柱底面三邊長為；則（為底面三角形的面積）（3）正三棱柱的內切球半徑計算公式為：，（4）三棱錐的內切球體積計算公式為：（5）正四面體內切球半徑計算公式為：（6）四棱錐內切球體積計算公式為：題型戰法題型戰法一柱體的表面積典例1．底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（

）．A．3 B． C． D．變式11．正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．變式12．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1B．1∶C．1∶ D．1∶2變式13．以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（

）A．8π B．4π C．8 D．4變式14．已知圓柱的側面展開圖是一個邊長為的正方形，則這個圓柱的表面積是（

）A． B． C． D．題型戰法二柱體的體積典例2．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么該四棱柱的體積為（

）A． B． C． D．變式21．底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（

）A． B．1 C． D．變式22．正三棱柱中所有棱長均為2，點E是則棱上的一個動點，有下列判斷，正確的是（

）A．正三棱柱的側面積是B．正三棱柱的體積是3C．當E是中點時，AE與平面所成角的正弦值為D．的最小值為變式23．如圖，在矩形ABCD中，，將矩形ABCD繞邊AB所在直線旋轉一周形成一個圓柱，則該圓柱的體積為（

）A．3π B．6π C．12π D．16π變式24．已知正三棱柱的體積為，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個側面的對角線長為（

）A．1 B． C．2 D．題型戰法三錐體的表面積典例3．已知正四棱錐的底面邊長和側棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．變式31．《九章算術》中，將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，在四棱柱中，棱錐即為陽馬，已知，則陽馬的表面積為（

）A． B． C． D．變式32．已知三棱錐的三條側棱長均為2，側面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．變式33．若一個圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．變式34．若圓錐側面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐表面積與側面積的比為（

）A． B． C． D．題型戰法四錐體的體積典例4．設正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為，那么它的體積為（

）A． B． C．2 D．變式41．已知直三棱柱的體積為，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．變式42．如圖，長方體的體積是36，點E在棱上，且，則三棱錐的體積是（

）A．2 B．3 C．4 D．6變式43．在中，，，以BC所在的直線為軸，其余兩邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．變式44．交通錐，又稱雪糕筒，是一種交通隔離警戒設施.如圖，某圓錐體交通錐的高為12，側面積為65π，則該圓錐體交通錐的體積為（

）A．25π B．75π C．100π D．300π題型戰法五臺體的表面積與體積典例5．已知一個正三棱臺的兩個底面邊長分別為4和16，側棱長為10，則該棱臺的側面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640變式51．若一個圓臺如圖所示，則其側面積等于（

）A．6 B．6πC．3π D．6π變式52．圓臺的上、下底面的面積分別是，，側面積是，則這個圓臺的體積是（

）A． B． C． D．變式53．已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（

）（注：圓臺的體積）A． B． C． D．變式54．如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為和，高為．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝(

)A． B． C． D．題型戰法六球體的表面積與體積典例6．一個球的體積為36π，則這個球的表面積為（）A．9π B．18π C．36π D．72π變式61．表面積為的球的體積為（

）A． B． C． D．變式62．一個球的表面積為，則這個球的半徑為（

）A．6 B．12 C． D．變式63．如果兩個球的表面積之比為4︰9，那么兩個球的體積之比為（）A．4︰9 B．2︰3 C．8︰27 D．4︰27變式64．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（

）A． B． C． D．題型戰法七外接球問題（柱體或可還原為柱體的錐體）典例7．我國古代經典數學名著《九章算術》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表面積約為（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1185平方尺 B．1131平方尺 C．674平方尺 D．337平方尺變式71．已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式72．《九章算術.商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體成為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式73．據《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．變式74．在四面體中，，平面，且，則該四面體的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．題型戰法八外接球問題（正棱錐、圓錐、臺體）典例8．一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．變式81．某圓錐的母線長為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式82．已知正四棱錐中，，，則該棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．變式83．在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式84．已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側面積為，則該圓臺的外接球半徑為（

）A． B． C． D．題型戰法九內切球問題典例9．已知正方體的表面積為24，設它的外接球的表面積為，它的內切球的體積為，則與的值分別為：（

）A．， B．， C．， D．，變式91．如圖是一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.設圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則的值為（