因數(shù)與倍數(shù)

一天，因數(shù)和倍數(shù)走到了一起。倍數(shù)高傲地對(duì)因數(shù)說(shuō)：“哎，哥們，見(jiàn)了我怎么也

不下拜呀？”

“我為什么要拜你，你算老幾呀？”因數(shù)生氣地回答。

“我是老大呀

“你是老大？為什么”

“你說(shuō)，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有多少個(gè)呀？”

“這我知道，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有多數(shù)個(gè)J

只見(jiàn)倍數(shù)慢條斯理地說(shuō)：“這就對(duì)嘛，一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)就則可憐的幾個(gè)。而一

個(gè)數(shù)的倍數(shù)有多數(shù)個(gè).你的家庭成員這么少，而我的家庭是這樣的浩大。你說(shuō)，你不應(yīng)

當(dāng)拜我嗎？”

“是的，你的家庭是浩大的，可是，你知道嗎？因?yàn)槟愕募彝サ暮拼?，你知道?/p>

是老幾嗎？我們的家庭成員是有限的，可是，我們都知道我們自己的位置。再說(shuō)，離

開(kāi)我們這些因數(shù)，你們這些倍數(shù)還成立嗎？”因數(shù)義正詞嚴(yán)地回答。

只見(jiàn)倍數(shù)撓著耳朵，想了想，說(shuō)：“對(duì)，其實(shí)我們是密不行分的好伙伴，我們誰(shuí)都

離不開(kāi)誰(shuí)。剛才是我不對(duì)，我向你致歉了J

“沒(méi)有關(guān)系，沒(méi)有關(guān)系，你知道自己錯(cuò)了就好。在自然數(shù)中，我們誰(shuí)離開(kāi)了誰(shuí)都

是不存在的。沒(méi)有倍數(shù)，我是誰(shuí)的因數(shù)呢？同樣，沒(méi)有因數(shù)，你們又是誰(shuí)的倍數(shù)呢？

讓我們共同攜手，緊密團(tuán)結(jié)在一起，恒久做好兄弟！”因數(shù)懇切地說(shuō)。

因數(shù)和倍數(shù)兩位好伙伴的手緊緊地握在了一起。

簿聞篦陽(yáng)

一、約數(shù)的概念與最大公約數(shù)

0被解除在約數(shù)與倍數(shù)之外

1.求最大公約數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起米.

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出全部共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3|9_6,所以(1218)=2x3=6;

32

③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的

最大公約數(shù).用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大

的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得其次個(gè)余數(shù)；又用其次

個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到

余數(shù)是。為止.則，最終一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(假如最終的除數(shù)是1,則

原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的).

例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515+600=2315;600+315=1285;

315+285=130;285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.

2.最大公約數(shù)的性質(zhì)

①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；

②幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；

③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)人所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約

數(shù)乘以〃.

3.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)

先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；

求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；g即為所求.

二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)

1.求最小公倍數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,J?T[231,252]=22x32x7x11=2772；

②短除法求最小公倍數(shù)；

2|1812

例如：3|96，所以[I842]=2x3x3x2=36;

32

③也向=缺.

2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)

①兩個(gè)數(shù)的隨意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).

②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積.

③兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較

大的數(shù).

3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟

先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分

母的最大公約數(shù)。；2即為所求.例如：29]=皿="

a412(4,12)4

留意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).洌如：

F1斗皿4

1_2'3」(2,3)

三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)

1.兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。

假如"，為A、區(qū)的最大公約數(shù)，且4=",B=nib,則a、?；ベ|(zhì)，所以A、8的最小

公倍數(shù)為〃迎，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系:

M|AB

ab

①AxB=max，汕=mxmab,即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)

的積；

②最大公約數(shù)是A、B、A+4、A-3與最小公倍數(shù)的約數(shù).

2.兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

即（〃向句="如此性質(zhì)比較簡(jiǎn)潔，學(xué)生比較簡(jiǎn)潔駕馭。

3.對(duì)于隨意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，假如三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為

a）奇偶奇，則這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數(shù)

b）偶奇偶，則這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍

例如:6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為336+2=168

性質(zhì)（3）不是一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積

之間的大小關(guān)系，即“幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)肯定不會(huì)比他們的乘積大”。

四、求約數(shù)個(gè)數(shù)與全部約數(shù)的和

1.求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)

一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)（次數(shù)）

加1后所得的乘積。

如：1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為2〃5葭7,所以它的約數(shù)有（3+1）義（2+1）X

（1+1）=4X3X2=24個(gè)。（包括1和1400本身）

約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)

過(guò)程是建立在開(kāi)篇講過(guò)的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出

來(lái)的，不是很困難，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求具駕馭。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一

部分?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，即先告知一個(gè)數(shù)有多少個(gè)約數(shù)，

然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來(lái)，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。

2.求任一整數(shù)的全部為數(shù)的和

一個(gè)整數(shù)的全部約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從

1加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次幕求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)

的全部約數(shù)的和。

如:21000=23X3X53X7,所以21000全部約數(shù)的和為

(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)困難，須要很多步提取公因式，建議

幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。

重點(diǎn)：分解質(zhì)因數(shù)法是一個(gè)數(shù)論重點(diǎn)方法，本講另一個(gè)授課重點(diǎn)在于讓孩子對(duì)這

個(gè)方法能夠嫻熟并且敏捷運(yùn)用。

難點(diǎn)：在對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基本相識(shí)，在這個(gè)基礎(chǔ)之上能夠會(huì)與之前的一些學(xué)問(wèn)點(diǎn)

結(jié)合運(yùn)用。

【例1】用一個(gè)數(shù)去除30、60、75,都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少?

【解析】,??要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，

???要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù).

又.?.要求符合條件的最大的數(shù)，

???就是求30、60、75的最大公約數(shù)”

5|306075

3|61215

解：。245

(30,60,75)=5x3=15

這個(gè)數(shù)最大是15.

【鞏固】一個(gè)數(shù)用3、4、5除都能整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？

【解析】由題意可知，要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù)。

解：;[3,4,5]=3x4x5=6(),

??.用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是6().

【例2】有三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相

等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長(zhǎng)多少厘米？一共可以截成多少

段？

【解析】???要截成相等的小段，且無(wú)剌余，

???每段長(zhǎng)度必是120、180和300的公約數(shù)。

解：?.?301120180300

214610

235

又.?.每段要盡可能長(zhǎng)，

???要求的每段長(zhǎng)度就是120、180和3（X）的最大公約數(shù).

（120,18（）,300）=30x2=60

???每小段最長(zhǎng)60厘米。

120―60箱80年60+300+60

=2+3+5=10（段）

答：每段最長(zhǎng)60厘米，一共可以截成10段0

【鞏固】加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過(guò)三道工序.第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3

個(gè)零件，其次道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成10個(gè)，第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成

5個(gè)，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各安排幾個(gè)工人？

【解析】要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、10和5的公倍數(shù).要求三道工序“至少”要

多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù)。

解：:513510

321

[3,10,5]=5x3x2=30

.?.各道工序均應(yīng)加130人零件。

30+3=10（人）

30+10=3（人）

30+5=6（人）

【例3】一次會(huì)餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計(jì)，三種飲料共用了65瓶；平均每2個(gè)人飲用

一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問(wèn)參與會(huì)餐

的人數(shù)是多少人？

【解析】由題意可知，參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù).

解：V[2,3,4J=12

???參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是12的倍數(shù)0

又=12+2+12+3+12+4

=644+3=13（版），

爭(zhēng).,?可見(jiàn)12個(gè)人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。

X/65^-13=5,

.??參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12的5倍，

12x5=60（人）.

答：參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)是60人。

【鞏固】一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個(gè)同樣大小的正

方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長(zhǎng)要盡可能大.問(wèn)：這樣的正方形的邊長(zhǎng)是多少厘

米？

【解析】由題意可知，正方形的邊長(zhǎng)即是2703和1113的最大公約數(shù).在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)用短除法求兩

個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，但有時(shí)會(huì)遇到類似此題情況，兩個(gè)數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易

斷定它們是互質(zhì)數(shù).怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法.

對(duì)于例6,可做如下圖解:

1113111315$115$|159159

477

11131113477

477

477

2703

從圖中可知：在長(zhǎng)2703厘米、寬1113厘米的長(zhǎng)方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長(zhǎng)的

正方形2個(gè).在裁后剩下的長(zhǎng)1113厘米，寬477厘米的長(zhǎng)方形中，再裁去以寬(477厘米)為邊長(zhǎng)的正方

形2個(gè).然后又在裁剩下的長(zhǎng)方形(長(zhǎng)477厘米，寬159厘米)中，以159厘米為邊長(zhǎng)栽正方效，恰好栽成

3個(gè)，且無(wú)剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的，且邊

長(zhǎng)盡可能長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。

讓我們把圖解過(guò)程轉(zhuǎn)化為計(jì)算過(guò)程，即：

2703+1113,商2余477;

1113+477,商2余159;

477子159,商3余0.

或者寫(xiě)為

2703=2xH134477,

1113=2x477+159,

477=3x159.

當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，最后一個(gè)算式中的除數(shù)159就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)2703和1113的最大公約數(shù).

可見(jiàn)，477=159x3,

1113=159x3x2+159=159x7,

2703=159*7*2+477

=159x7x2+159x3=159x17.

又丁？和17是互質(zhì)數(shù)，

??.159是2703和1113的最大公約數(shù)。

我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法.據(jù)轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點(diǎn)在于它能在較短的時(shí)間內(nèi)求出在

意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

【例4】用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。

【解析】解：?「4811=2x1981+849,

1981=2x849+283,

849=3x283,

...(4811,1981)=283.

補(bǔ)充說(shuō)明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再求這

個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)

因數(shù)。

【鞏固】求1008、1260、882和1134四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是多少？

【解析】解：*/(1260,1008)=252,

(882,1134)=126,

又(252,126)=126,

.??(1(X)8,1260,882,1134)=126.

【例5】求21672和11352的最小公倍數(shù)。

【解析】解：V（21672,11352）=1032

（1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得）

A[21672,U352]=21672x11352子1032

=238392,

答：21672和11352的最小公倍數(shù)是238392.

【例5】把一張長(zhǎng)1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，

而沒(méi)有剩余，問(wèn)：能裁成最大的正方形紙塊的邊長(zhǎng)是多少？共可裁成幾塊？

【解析】要把一張長(zhǎng)方形的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，運(yùn)不能有剩余，這個(gè)正方形紙塊的邊長(zhǎng)應(yīng)該是

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的公約數(shù).由于題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和

寬的最大公約數(shù).1米3分米5厘米-135厘米，1米5厘米-105厘米，（135,105）=15,長(zhǎng)方形紙塊的面

積為135x105-14175（平方厘米■）,正方形紙塊的面積為15x15-225（平方厘米），共可裁成正方形紙塊

14175+225=63（張）.

【鞏固】一個(gè)房間長(zhǎng)450匣米，寬330厘米.現(xiàn)安排用方磚鋪地，問(wèn)須要用邊長(zhǎng)最大

為多少厘米的方磚多少塊（整塊），才能正好把房間地面鋪滿？

【解析】要使方磚正好鋪滿地面，可知房間的長(zhǎng)和寬都應(yīng)是方磚邊長(zhǎng)的倍數(shù)，也就是方磚邊長(zhǎng)厘米數(shù)必須

是房間長(zhǎng)、寬厘米數(shù)的公約數(shù).由于題中要求方磚邊長(zhǎng)盡可能大，所以方磚邊長(zhǎng)應(yīng)為房間長(zhǎng)與寬的最大公

約數(shù).450和330的最大公約數(shù)是30.450+30=15,330+30=1]，所以共需I5x11=165（塊）.

【例7】現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111,這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的

可以是多少？

【解析】只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù).只能從唯一的條

件“它們的和是1111”入手分析.三個(gè)數(shù)的和是11”，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù).因?yàn)?111=11x101,

它的約數(shù)只能是1,11,101和1111,由于三個(gè)自然數(shù)的和是1111,所以三個(gè)自然數(shù)都小于1111,1111

不淼是三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個(gè)數(shù)為101,101和909.所以所求數(shù)是101.

【鞏固】用19這九個(gè)數(shù)碼可以組成362880個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最

大公約數(shù).

【解析】I+2+…十9-45,是9的倍數(shù)，因而9是這些數(shù)的公約數(shù).又123456789和123456798這兩個(gè)數(shù)

只差9,這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是它們的差的約數(shù)，即是9的的數(shù)，所以9是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).從

而9是這362880個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

【例8】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是50,它們的最大公約數(shù)是5,試求這兩個(gè)數(shù)的差.

【解析】設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為：5a.5人其中a與〃互質(zhì)，5a￥5b?5(),a+b-1(),經(jīng)檢臉，容易得到兩組

符合條件的數(shù)：9與1或者7與3.于是，所要求的兩個(gè)自然數(shù)也有兩如：45與5,35與15.它們的差分

別是：45-5=40,35-15=20.所以，所求這兩個(gè)數(shù)的差是40或者20.

r1

【鞏固】一次考試，參與的學(xué)生中有1得優(yōu)，』得良，」得中，其余的得差，已知參與

732

考試的學(xué)生不滿50人，則得差的學(xué)生有多少人？

【解析】由題意“參加的學(xué)生中有1得優(yōu)，1得良，，得中”，可知參加考試的學(xué)生人數(shù)是7,3,2的倍

732

數(shù)，因?yàn)?,2,3的散小公倍數(shù)為42,42x2-S4>50,所以參加的學(xué)生總數(shù)為42人.那么褂差的學(xué)生

七111

有：42x(1-------------)-1A.

732

【例9】甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90,乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105,甲、丙兩

數(shù)的最小公倍數(shù)是126,則甲數(shù)是多少

］對(duì)90分解質(zhì)因數(shù)：90=2x32x5.

因?yàn)?26是甲的倍數(shù)，又126不是5的倍數(shù)，所以甲中不含因數(shù)5.

如果乙也不含因數(shù)5,那么甲、乙的最小公倍數(shù)也不含因數(shù)5,但90是5的倍數(shù)，所以乙含有因

數(shù)5.

因?yàn)?05不是2的倍數(shù)，所以乙也不是2的倍數(shù)，即乙中不含因數(shù)2,于是甲必含有因數(shù)2.

因?yàn)?05不是9的倍數(shù)，所以乙也不是9的倍數(shù)，即乙最多含有1個(gè)因數(shù)3.由于甲、乙兩數(shù)的

最小公倍數(shù)是90,90中含有2個(gè)因數(shù)3,所以甲必含有2個(gè)因數(shù)3,那么甲=2x32=18.

【例10】已知兩個(gè)自然數(shù)的積為240,最小公倍數(shù)為60,求這兩個(gè)數(shù).

【解析】由于兩個(gè)自然數(shù)的根=兩數(shù)的最大公約數(shù)X兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可以得到，最大公約數(shù)是

240+60-4,設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為4”、4〃，那么且加8?60+4?15,所以a和8可以取1和15

或3和5,所以這兩個(gè)數(shù)是4和60或12和20.

【鞏固】已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？

【解析】假設(shè)這兩個(gè)數(shù)是21a和26,易得2lxax〃=126,所以ax方=6,由a和方互質(zhì)，那么就有

6=lx6=2x3兩種情況.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126^21x2=42,21x3=63兩種情況.它

們的和是147或105.

1、老師節(jié)那天，某校工會(huì)買了320個(gè)蘋(píng)果、240個(gè)桔子、200個(gè)鴨梨，用來(lái)慰問(wèn)退休

的教職工，問(wèn)用這些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮

物中蘋(píng)果、桔子、鴨梨的個(gè)數(shù)彼此相等)？在每份禮物中，蘋(píng)果、桔子、鴨梨各多少個(gè)？

【解析】因?yàn)?320,240,200)=40,320+40-8,240+4()-6:200+40-5,所以最多可分40份，每份

中有8個(gè)革果6個(gè)精子，5個(gè)鴨梨.

2、用2、3、4、5、6、7這六個(gè)數(shù)碼組成兩個(gè)三位數(shù)A和B,則A、B、540這三個(gè)數(shù)

的最大公約數(shù)最大可能是.

【解析】540=22、3鼠5,A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是540的約數(shù)，而540的約數(shù)從大到小排列

依次為：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A

和B的約數(shù),由于A和B不能同時(shí)被5整除，所以135也不是A和B的公約數(shù).540的約數(shù)除去這些數(shù)后

最大的為108,考慮108的三位數(shù)倍數(shù)，有108、216、324、432、540、648、756、864、972,其中由2、

3、4、5、6、7這六個(gè)數(shù)碼組成的有324、432和756,易知當(dāng)A和B一個(gè)為756、另一個(gè)為324或432時(shí)，

A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為108,所以A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是108.

3、一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的3個(gè)約數(shù)之和為10,則此數(shù)為幾？

【解析】最小的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1,除去1以外另外兩個(gè)約數(shù)之和為9,由于9是奇數(shù)，所以這

兩個(gè)約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍

數(shù)，即2是它的約數(shù).于是2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7,所以這個(gè)兩位數(shù)是14的倍數(shù),

爵這個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6,所以這個(gè)數(shù)只能是14或98,其中有6個(gè)約數(shù)的是98.

4、一次考試，參與的學(xué)生中有;得優(yōu)，厚良，凈中，其余的得差，已知參與考試

的學(xué)生不滿100人，則得差的學(xué)生有多少人?

7【解析】由題意“參加的學(xué)生中有得優(yōu)，L得良，!得中”，可知參加考試的學(xué)生人數(shù)是7,4,3的倍

743

數(shù)，因?yàn)?4,3的最小公倍數(shù)為84(小于100人)，所以參加的學(xué)生總數(shù)為84人.那么得差的學(xué)生有：

84-12-21-28=23A.

5、有甲、乙、丙三個(gè)人在操場(chǎng)跑道上步行，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走120米,

丙每分鐘走70米.已知操場(chǎng)跑道周長(zhǎng)為400米，假如三個(gè)人同時(shí)同向從同一地點(diǎn)動(dòng)身,

問(wèn)幾分鐘后，三個(gè)人可以首次相聚？

由題意，甲、乙、丙相聚時(shí)他們兩兩路程之差恰好是400米的倍數(shù)，甲和乙每分鐘差

120-80-40（米），則需要400+4（）.10分鐘乙才能第一次追上甲；同理，乙每分件比丙多走

120-70=50（米），則需要400+50=8分鐘乙才能追上丙；同理，甲每分鐘比丙多走

80-70=10（米），則需要400+10=40分鐘甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的時(shí)間則

為10,8,40的公倍數(shù).因?yàn)閇10,8.40]=40,所以三人相聚需要過(guò)40分鐘，即40分鐘后，三個(gè)

人可以首次相聚.

6、已知兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)為4,最小公倍數(shù)為120,求這兩個(gè)數(shù).（★）

【解析】這兩個(gè)數(shù)分別除以最大公約數(shù)所得的商的乘積等于最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)的商，120+4-30,

將30分解成兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)之積：1和30,2和15,3和10,5和6,所以這兩個(gè)數(shù)為4與120,或8與60,

或12與40,或20與24.

【答案】

1、質(zhì)數(shù)與合數(shù):一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也

叫做素?cái)?shù)）。一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。要特殊記住：

1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

2、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)假如一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，則就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)

的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

I

一'?.

Q

1、有336個(gè)蘋(píng)果，252個(gè)桔子，210個(gè)梨，用這些水