人教中學(xué)七年級下冊數(shù)學(xué)期末解答題試題及答案

一、解答題

1.(1)如圖1,分別把兩個(gè)邊長為1cm的小正方形沿一條對角線裁成4個(gè)小三角形拼成

一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長為cm；

(2)若一個(gè)圓的面積與一個(gè)正方形的面積都是2nm"設(shè)圓的周長為。.正方形的周長

為CE，則G為〔填或或">")

(3)如圖2,若正方形的面積為900cm2,李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面

積為740cm2的長方形紙片.使它的長和寬之比為5:4,他能裁出嗎？請說明理由？

2.如圖，用兩個(gè)面積為的小正方形紙片剪拼成一個(gè)大的正方形.

(1)大正方形的邊長是cm；

(2)請你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個(gè)面積為14cm2的長方形紙

片，使它的長寬之比為2:1,若能，求出這個(gè)長方形紙片的長和寬，若不能，請說明理

由.

3.工人師傅準(zhǔn)備從一塊面積為36平方分米的正方形工料上裁剪出一塊面積為24平方分

米的長方形的工件.

(1)求正方形工料的邊長；

(2)若要求裁下的長方形的長寬的比為4:3,問這塊正方形工料是否滿足需要？(參考數(shù)

據(jù)：>/2?1.414,V5?1.732)

4.如圖，用兩個(gè)邊長為的小正方形拼成一個(gè)大的正方形.

⑴求大正方形的邊長？

⑵若沿此大正方形邊的方向出一個(gè)長方形，能否使裁出的長方形的長寬之比為3:2,且面

積為480cm2?

5.小麗想用一塊面積為36cm2的正方形紙片，如圖所示，沿著邊的方向裁出一塊面積為

20cm?的長方形紙片，使它的長是寬的2倍.她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁.小明見了

說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎?

你認(rèn)為小麗能川這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎?為什么？

二、解答題

6.已知：AB//CD.點(diǎn)E在C。上，點(diǎn)F,〃在48上，點(diǎn)G在A8,CD之間，連接FG,

EH,GE,ZGF8=NCEH.

(2)如圖2,若乙GEH=a,FM平分NAFG,EM平分NGEC,試問NM與a之間有怎樣的

數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示NM)?請寫出你的猜想，并加以證明.

7.已知，4811co，點(diǎn)￡為射線FG上一點(diǎn).

(1)如圖1,若NE4F=25°,NEOG=45°,則NA￡D=.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡在FG延長線上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H,則NAED、ZEAF.

NEDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在FG延長線上時(shí)，0P平分NEDC,AAED=32°,NP=30。，求NEKD

的度數(shù).

8.如圖，ZEBF=50°,點(diǎn)(:是/EBF的邊BF上一點(diǎn)、.4點(diǎn)A從點(diǎn)8出發(fā)在NEBF的邊8E

上，沿8E方向運(yùn)動(dòng)，在動(dòng)點(diǎn)八運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有過點(diǎn)八的射線八。11BC.

(1)在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，(填"是"或"否〃)存在某一時(shí)刻，使得4。平分/EAC?

(2)假設(shè)存在4。平分/弘C,在此情形下，你能猜想/8和NACB之間有何數(shù)量關(guān)系？并

請說明理由；

(3)當(dāng)AUL8C時(shí)，直接寫出NB4C的度數(shù)和此時(shí)4。與4C之間的位置關(guān)系.

E

9.如圖1,MNWPQ,點(diǎn)C、8分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)八在直線MN、PQ之間.

(1)求證：ZCAB=ZMCA+APBA；

(2)如圖2,CDIIAB,點(diǎn)E在PQ上，ZECN=Z.CAB,求證：NMCA=/DCE；

(3)如圖3,ABP,CG平分/ACN,AFWCG.若NCA8=60。，求NAFB的度數(shù).

10.綜合與實(shí)踐

背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系有相交、平行，若兩條不重合的

直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直

線互相平行兩條直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定是幾何的重要知識(shí)，是初中階段幾何合情推

理的基礎(chǔ).

己知：AMIIC/V,點(diǎn)8為*面內(nèi)一點(diǎn)，AB±BC^B.

問題解決：（1）如圖1,直接寫出NA和/C之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,過點(diǎn)B作8D_L4M于點(diǎn)。，求證：N48D=NC；

（3）如圖3,在（2）問的條件下，點(diǎn)￡、F在。M上，連接8ABF、CF,8F平分NDBC,

三、解答題

11.如圖，以直角三角形40c的直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)C、0A所在直線為x軸和V軸

建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0,〃），。9,0）滿足&-》+他-2|=0.

(1)C點(diǎn)的坐標(biāo)為;A點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(2)如圖1,已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)尸、。同時(shí)出發(fā)，尸點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿“軸負(fù)方向以1

個(gè)單位長度每秒的速度勻速移動(dòng)，。點(diǎn)從。點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長度每秒的速度沿y軸正方

向移動(dòng)，點(diǎn)。到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束.AC的中點(diǎn)。的坐標(biāo)是(1,2),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

問：是否存在這樣的，使Sgp=S。"？若存在，請求出/的值：若不存在，請

說明理由.

(3)如圖2,過。作OG//AC',作=交4c于點(diǎn)/，點(diǎn)E是線段。4上一動(dòng)

點(diǎn)，連CE交3于點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)￡在線段上運(yùn)動(dòng)的過程中，生察學(xué)至的值是否會(huì)

發(fā)生變化？若不變，請求出它的值：若變化，請說明理由.

12.(1)光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折

射現(xiàn)象，如圖1，光線Q從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線仇根據(jù)光學(xué)

知識(shí)有N1=N2,N3=N4,請判斷光線。與光線b是否平行，并說明理由.

(2)光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與

鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線a與水平線。。的夾角為40。，問如何放

置平面鏡MN,可使反射光線b正好垂直照射到井底？(即求MN與水平線的夾角)

(3)如圖3,直線律上有兩點(diǎn)4、C,分別引兩條射線AB、CD.ZBAF=105°,

ZZX?F=65°,射線A3、CD分別繞八點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)

動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線。力轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得。。與平行？

若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t.

13.為更好地理清平行線相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條A8、BC、

8、￡)￡,做成折線ABCCE,如圖1,且在折點(diǎn)8、C、。處均可自由轉(zhuǎn)出.

(1)如圖2,小明將折線調(diào)節(jié)成4=50%ZC=85°,ZD=35°,判斷/W是否平行于

ED,并說明理由；

(2)如圖3,若NC=NO=35。，調(diào)整線段A3、3C使得AA//C。求出此時(shí)D"的度數(shù),

要求畫出圖形，并寫出計(jì)算過程.

(3)若NC=85。，ZD=35°,ABflDE,請直接寫出此時(shí)D8的度數(shù).

14.如圖1,。為直線A8上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OCZAOC=30°,將一直角三角板

(ZM=30,)的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊QN在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線

A8的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3。的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周.

AOBAOB

備用圖1備用圖2

<1)幾秒后ON與OC重合？

(2)如圖2,經(jīng)過/秒后，MNHAB,求此時(shí)，的值.

(3)若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞。點(diǎn)以每秒6。的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?周,

那么經(jīng)過多長時(shí)間0C與。M重合？請畫圖并說明理由.

(4)在(3)的條件下，求經(jīng)過多長時(shí)間OC平分NMOB?請畫圖并說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),。9,2),且滿足(〃+92+,一/)+4|=0,過。

(1)求三角形48c的面積.

(2)發(fā)過8作HLV/AC交丁軸于。，且分別平分NC4&NOO8,如圖2,若

ZCAB=a,ZACB=fi(aI/7=90°),求加0的度數(shù).

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得三角形A8C和三角形ACQ的面積相等？若存在，求出

尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在；請說明理由.

四、解答題

16.在△48C中，射線AG平分N8AC交8c于點(diǎn)G,點(diǎn)D在8c邊上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)G重

合)，過點(diǎn)。作。EHAC交4B于點(diǎn)E.

(1)如圖1,點(diǎn)D在線段CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DF平分NEDB

①若NBAC=100°,ZC=30°,則NAFD=；若NB=40。，則NAFD=；

②試探究/AFD與NB之間的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)點(diǎn)D在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZBDE的角平分線所在直線與射線AG交于點(diǎn)F試探究

/AFD與/B之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由

17.如圖，△A8C和△ADE有公共頂點(diǎn)4,ZACB=Z.AED=90°,N847=45。，ZDAE=30°.

(1)若DE//AB,則/EAC=：

(2)如圖1,過4c上一點(diǎn)。作OG_LAC,分別交AB、AD、AE于點(diǎn)G、H、F.

①若40=2,SAAGH=4,5A〃F=。求線段OF的長；

②如圖2,NAFO的平分線和NAOF的平分線交于點(diǎn)M.NFHD的平分線和N0G8的平分

線交于點(diǎn)N,/N+/M的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)：若改變，請說明理

由.

18.如圖，直線PQ〃MN.一副直角三角板A48C,△。砂中，

NACB=NEDF=90,/A5c=NBAC=45\ZDFE=30,NOEE=60.

(1)若ADE/如圖1擺放，當(dāng)ED平分NP￡F時(shí)，證明：FD平分/EFM.

E

圖1

（2）若AAACAOQ如圖2擺放時(shí)，則/凡犯=

圖2

（3）若圖2中&48C固定，將AD口沿著AC方向平移，邊Z）口與直線0Q相交于點(diǎn)C,

作NR7。和NGE4的角平分線GH、"/相交于點(diǎn)〃（如圖3）,求NGHF的度數(shù).

圖3

（4）若圖2中及）砂的周長35。〃,4/二5。〃，現(xiàn)將AA8C固定，將ADEE沿著C4方向平

移至點(diǎn)尸與A重合，平移后的得到△少點(diǎn)。、E的對應(yīng)點(diǎn)分別是O'、E，,請直接寫

出四邊形。￡40’的周長.

（5）若圖2中固定，（如圖4）將AA3C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，I分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)

至AC與直線AN首次重合的過程中，當(dāng)線段8c與4）斯的一條邊平行時(shí)，請直接寫出旋

轉(zhuǎn)的時(shí)間.

M

AN

圖4

19.如圖①所示，在三集形紙片ABC中，ZC=70°,NB=65。,將紙片的一角折疊，使

點(diǎn)A落在二ABC內(nèi)的點(diǎn)4處.

（1）若Nl=40。，Z2=.

（2）如圖①，若各個(gè)角度不確定，試猜想Nl,Z2,乙4之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.

②當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形3CDE外部時(shí)（如圖②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，

請說明理由，若不成立，44,Zl,N2之間又存在什么關(guān)系？請說明.

（3）應(yīng)用：如圖③：把一個(gè)三角形的三個(gè)角向內(nèi)折疊之后，且三個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖

中的/I+N2+/3+N4+N5+N6和是.

20.已知"N//GH,在心一A8C中，Z/1CB=90°,ZBAC=30°,點(diǎn)A在MN上，邊8c在

GH上,在?ADEF中,尸石=90°.邊在直線AA上，ZEDF=45°:

（1）如圖1,求N7MN的度數(shù)；

（2）如圖2,將R△。砂沿射線3A的方向平移，當(dāng)點(diǎn)尸在M上時(shí)，求NA/方度數(shù)；

（3）將放在直線A8上平移，當(dāng)以4、D、尸為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，直

接寫出NE4N度數(shù).

【參考答案】

一、解答題

1.（1）;（2）<；（3）不能，理由見解析

【分析】

（1）根據(jù)所拼成的大正方形的面積為2即可求得大正方形的邊長；

（2）由圓和正方形的面積公式可分別求的圓的半徑及正方形的邊長，進(jìn)而可求得圓和正方

形的

解析：（1）72;（2）<;（3）不能，理由見解析

【分析】

（1）根據(jù)所拼成的大正方形的面積為2即可求得大正方形的邊長；

（2）由圓和正方形的面積公式可分別求的圓的半徑及正方形的邊長，進(jìn)而可求得圓和正方

形的周長，利用作商法比較這兩數(shù)大小即可；

（3）利用方程思枳求出長方形的長功，與正方形功長比較大小即可：

【詳解】

解：(1)二?小正方形的邊長為1cm,

「?小正方形的面積為1cm2,

兩個(gè)小正方形的面積之和為2cm2,

即所拼成的大正方形的面積為2cm2,

設(shè)大正方形的邊長為xcm,

x2=2,

.X=x/5

大正方形的邊長為&cm：

(2)設(shè)圓的半徑為r,

???由題意得乃產(chǎn)=2乃，

.??r=友，

G(I=2/ZT=2T\/5,

設(shè)正方形的邊長為。

/=2不，

a=42TT>

。止=4。=4>/方，

Q_2萬&_4TI

故答案為：v；

(3)解：不能裁剪出，理由如下：

??.正方形的面積為900cm?,

正方形的邊長為30cm

.一長方形紙片的長和寬之比為5:4,

」?設(shè)長方形紙片的長為5x,寬為4x,

則5x-4x=740,

整理得：f=37,

/.(5x)2=25/=25x37=925>900,

(5x)2>302,

5x>30,

???長方形紙片的長大于正方形的邊長，

「?不能裁出這樣的長方形紙片.

【點(diǎn)睛】

本題通過圓和正方形的面積考查了對算術(shù)平方根的應(yīng)用，主要是對學(xué)生無理數(shù)運(yùn)算及比較

大小進(jìn)行了考查.

2.(1)4；(2)不能，理由見解析.

【分析】

(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可;

（2）先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm2）列方程，求出長方形的邊長，將長方形

的長與正方形邊長比較大小再

解析：（1）4；（2）不能，理由見解析.

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

（2）先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm?）列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方

形邊長比較大小再判斷即可.

【詳解】

解：（1）兩個(gè)正方形面積之和為：2x8=16（cm?）,

???拼成的大正方形的面積=16（cm2）,

大正方形的邊長是4cm；

故答案為：4；

（2）設(shè)長方形紙片的長為2xcm,寬為xcm,

則2x?x=14,

解得：X=y/1>

2x=2/7>4,

一.不存在長寬之比為2:1且面積為14cm2的長方形紙片.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根，能夠根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵.

3.（1）6分米；（2）滿足.

【分析】

（1）由正方形面積可知，求出的值即可；

（2）設(shè)長方形的長寬分別為4a分米、3a分米，根據(jù)面積得出方程，求出，求

出長方形的長和寬和6比較即可.

【詳解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）滿足.

【分析】

（1）由正方形面積可知，求出A的值即可；

（2）設(shè)長方形的長寬分別為4a分米、3a分米，根據(jù)面積得出方程，求出求出長方形

的長和寬和6比較即可.

【詳解】

解：（1）正方形工料的邊長為質(zhì)=6分米；

（2）設(shè)長方形的長為4。分米，則寬為3a分米.

則4。?3〃=24,

解得：a=5/2?

長為4a?5.656<6,寬為3ap4.242<6.

滿足要求.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了算術(shù)平方根及實(shí)數(shù)大小比較，用了轉(zhuǎn)化思想，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問

題.

4.（1）大正方形的邊長是；（2）不能

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；

（2）先求出長方形的邊長,再判斷即口J.

【詳解】

（1）大正方形的邊長是

（2）設(shè)長方形紙

解析：（1）大正方形的邊長是10而；（2）不能

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；

（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可.

【詳解】

（1）大正方形的邊長是10而

（2）設(shè)長方形紙片的長為3xcm,寬為2xcm,

則3x*2x=480,

解得：x=7s（j

因?yàn)?可＞10"，所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，不能使剪出的長方形紙

片的長寬之比為2：3,且面積為480cm2.

【點(diǎn)睛】

本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出算式.

5.不同意，理由見解圻

【分析】

先求得正方形的邊長，然后設(shè)設(shè)長方形寬為，長為，然后依據(jù)矩形的面積為20

列方程求得的值，從而得到矩形的邊長，從而可作出判斷.

【詳解】

解：不同意，

因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，

解析：不同意，理由見解析

【分析】

先求得正方形的邊長，然后設(shè)設(shè)長方形寬為》,長為2x,然后依據(jù)矩形的面積為20列方

程求得x的值，從而得到矩形的邊長，從而可作出判斷.

【詳解】

解：不同意，

因?yàn)檎叫蔚拿娣e為36cnf,故邊長為6cm

設(shè)長方形寬為x,則長為2x

長方形面積=X?2x=2x2=20

V=io,

解得x=（負(fù)值舍去）

長為2>/i6cm>6cm

即長方形的長大于正方形的邊長，

所以不能裁出符合要求的反方形紙片

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

6.（1）見解析；（2）,證明見解析.

【分析】

（1）由平行線的性質(zhì)得到，等量代換得出，即可根據(jù)〃同位角相等，兩直線平

行”得解;

（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即可.

【詳

解析：（1）見解析：⑵ZFME=90°-1,證明見解析.

【分析】

（1）由平行線的性質(zhì)得到NC"=N￡H3,等量代換得=即可根據(jù)“同位角

相等，兩直線平行“得解；

（2）過點(diǎn)”作加3總N,過點(diǎn)G作GP/M8,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即

可.

【詳解】

（1）證明：AB/ICD,

;./CEH=/EHB,

.NGFB=/CEH,

:.NGFB=NEHB,

：,GF//EH；

（2）解：ZFA/E=90°--,理由如下：

如圖2,過點(diǎn)例作MQ〃48,過點(diǎn)G作GP〃4

圖2

AB“CD,

:.MQ!/CD,

:&FM=4FMQ,4QME=/MEC,

4FME=乙FMQ+4QME="FM+乙MEC,

同理，/FGE=ZFGP+ZPGE=ZAFG+ZGEC,

用7平分NAFG,￡M平分NGEC,

ZAFG=2ZAFM,4GEC=2ZA/￡C,

:.4FGE=2乙FME,

由（1）知，GFI/EH,

;.NFGE+NGEH=1M

.NGEH=a,

:.ZFGE=\^r-a,

:.2ZFME=\^r-a,

：.^FME=^0--.

2

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的

關(guān)鍵.

7.（1）70°；（2）,證明見解析；（3）122°

【分析】

（1）過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，即可求得；

（2）過過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，即；

（3）設(shè)，貝IJ,通過三角形內(nèi)角和得到，由角平分線

解析：（1）70°；（2）/EAF=^\ED+/EDG,證明見解析；（3）122°

【分析】

（1）過E作EF//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/群產(chǎn)=44硝=25。，NE4G=NOK"=45。，

即可求得NAEO；

（2）過過E作EM//A8,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到㈤尸=180。-4/m，

ZEDG+ZAED=\SOa-MEH,§PZEAF=ZAED+ZEDG：

（3）設(shè)NE4/=x,則如E=3x,通過三角形內(nèi)角和得到ZEDK=x-2。，由角平分線定義及

A8//CD得到標(biāo)=32。+"-4。，求出工的值再通過三角形內(nèi)角和求NEKD.

【詳解】

解：（1）過E作所//AB,

ABNCD,

:.EF//CD,

/.ZE4F=ZAEH=25°,ZEAG=ZDEH=45°,

：.ZAED=ZAEH+^DEH=7（T,

故答案為：70°；

(2)ZEAF=ZAED+ZEDG.

理由如K：

過后作

AB!/CD,

:.EM//CD,

:.^EAF+AMEH=\W,ZEDG+ZAED+MEH=180°,

Z.FAF=1800-NMEH,NEDG+ZAED=1800-MEH,

/.ZEAF=ZAED+ZEDG:

圖2

(3)ZE4P:Zfi4P=l:2,

設(shè)NE4P=x.貝ijN的E=3.x?

ZA￡D-ZP=32°-30°=2o,QKE=ZAKP,

又.ZEDK+ZDKE+ZDEK=180°,Z/C4P++ZAKP=180°,

..NEDK=NEAP-2。=x—2°,

DP平分/EDC,

ZCDE=2AEDK=2x-4°,

ABHCD,

；"EHC=ZEAF=ZAED+ZLEDG,

HP3x-32°+2A—4°,解得x-28°,

.?.Z￡7?K=28°-2°=26O,

.?.ZE/?=l80o-26°-32o=122o.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，正確做出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

8.(1)是；(2)NB=NACB,證明見解析；(3)NBAC=40°,AC±AD.

【分析】

(1)要使AD平分NEAC,則要求NEAD=ZCAD,由平行線的性質(zhì)可得NB=

ZEAD,ZACB=ZCAD

解析：（1）是；（2）Z3=ZACB,證明見解析；（3）N84C=40。，AC±AD.

【分析】

（1）要使4。平分NEAC,則要求NE4?=NC4D,由平行線的性質(zhì)可得/8=NE/W,

Z4CB=ZCAD,則當(dāng)NACB=N8時(shí)，有45平分/E4C；

（2）根據(jù)角平分線可得NE4?=NC/W,由平行線的性質(zhì)可得N8=NE4D,NACB=

ZCAD,則有/AC8=N8；

（3）由ACJL8C,WzAC8=90°,則可求N8AC=40。，由平行線的性質(zhì)可得ACJ_AD.

【詳解】

解：（1）是，理由如下：

要使AD平分/EAC,

則要求NEAD=ZCAD,

由平行線的性質(zhì)可得NB=ZEAD,ZACB=Z.CAD,

則當(dāng)/ACB=/8時(shí)，有/。平分/EAC；

故答案為：是：

（2）ZB=ZACB,理由如下：

AD平分/EAC,

ZEAD=ZCAD,

■：ADWBC,

：.Z8=NEAD,ZACB=Z.CAD,

/.Z8=NACB.

（3）,/AC±BC,

AZACB=90°,

,/ZEBF=50°,

/.ZBAC=4Q°,

1.1ADWBC,

/.AD±AC.

【點(diǎn)睛】

此題考查了角平分線和平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行線的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°.

【分析】

（1）過點(diǎn)A作ADIIMN,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到NMCA=NDAC,

ZPBA=ZDAB,根據(jù)角的和差等量代換即可得解；

（2）

解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120\

【分析】

（1）過點(diǎn)A作ADIIMN,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到NMCA=N04C,ZPBA=

N0A8,根據(jù)角的和差等量代換即可得解；

（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到「.、NC48+N48=180。，由鄰補(bǔ)角定義得到

NECM+N￡07=180。，再等量代換即可得解；

（3）由平行線的性質(zhì)得到，/〃8=120。-NGC4再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)

得到/GCA-ZABF=60°,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180。即可求解.

【詳解】

解：（1）證明：如圖1,過點(diǎn)4作八DIIMN,

MSN

圖1

,/MNWPQ,40IIMN,

：.ADWMNWPQ,

ZMCA=Z.DAC,ZPBA=tDAB,

/.ZCAB=AD4C+NDAB=NMCA+APBA,

即：ACAB=AMCA+APBA,

(2)如圖2,,/CDIIAB,

ZCAB+Z.ACD=180°,

?「ZECM+NECN=180°,

,/ZECN=NCAB

ZECM=Z.ACD,

即/MCA+AACE=ADCE+NACE,

：.ZMCA=AOCE；

(3)AFWCG,

ZGCA+Z.FAC=180°,

丁ZCAB=6Q°

即NGCA+NCAB+Z.EAB=180°,

ZFAB=130Q-600-ZGCA=1200-AGCA,

由(1)可知，ACAB=AMCA+Z.ABP,

???BF平分NABP,CG平分NACN,

/.Z4C/V=2ZGCA,NABP=2NABF,

又???ZMCA=180°-ZACN,

ZCAB=180°-2ZGC4+2ZABF=60°,

ZGCA-Z.ABF=60°,

,/ZAF8+NABF+NFAB=1SO°,

ZAFB=180°-AFAB-^FBA

=180°-(1200-ZGCA)-ZABF

=180"-12。"+/GCA-ZABF

=120°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)

鍵.

10.（1）；（2）見解析；（3）105°

【分析】

（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即瓦求解.

（2）過點(diǎn)B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.

（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）見解析；（3）105°

【分析】

（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解.

（2）過點(diǎn)8作8GliDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.

（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：（1）如圖1,設(shè)AM與8c交于點(diǎn)O"AMIICN,

ZC=ZAOB,

AB±BC,

：.^ABC=90°,

ZA+z408=90°,

NA+NC=90°,

故答案為：ZA+NC=90°：

圖2

DD±AM,

O8JL8G,

Z08G=90°,

ZABD-\-Z.ABG=90°,

■：AB.LBC,

ZC8G+/4BG=90。,

/.ZABD=ZCBG,

AMWCN,

ZC=ZCBG,

ZABD=ZC；

(3)如圖3,過點(diǎn)8作8GliDM,

圖3

BF平分NDBC,8E平分NA8。，

ZDBF=ZC8F,ZDBE=ZABE,

由(2)知NA80=NCBG.

ZABF=Z.6BF,

設(shè)N08E=a,ZABF=6,

則/ABE=a,ZABD=2a=4CBG,

ZGBF=^AFB=6,

ZBFC=3ZDBE=3a,

Z4FC=3cx+6,

,/ZAFC+NNCF=180°,NFCB+NNCF=180°,

：.AFCB=AAFC=3a+6,

△8CF中，由/C8F4-ZBFC+z8CF=180°得：2fz+6+3a+3a+6=180°,

AB±BC,

6+6+2a=90。，

a=lS°,

/.ZABE=lS°f

ZE8C=NA8E+NABC=150+90°=105°.

故答案為：105。.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線性質(zhì)，畫輔助線，找到角的和差倍分關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(1),;(2)1：(3)不變，值為2

【分析】

(1)根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a,b的值，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公

式即可得出答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-

解析：(1)C(2,0),A(0,4)；(2)1；(3)不變,值為2

【分析】

(1)根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得。，b的值，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出

答案；

（2）先得出CP=t,OP=2-t,OQ=234Q=4-2t,再根據(jù)SAOOP=SAOOQ,列出關(guān)于t的方程，

求得t的值即可；

（3）過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P,先判定0GII4C,再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行

線的性質(zhì)，得出/PHO=NGOF=N1+Z2,

ZOHC=NOHP+NPHCMGOF+/4=Z1+Z2+Z4,最后代入色”土幺空進(jìn)行計(jì)算即可.

Z.OEC

【詳解】

解：(1)Ja-2〃+|b-2|=O,

/.a-2b=Q,b-2=0,解得。=4,b=2,

.-.A(0,4),C(2,0).

(2)存在，理由：如圖1中，。(1,2),

圖1

由條件可知：P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)間為2秒，Q點(diǎn)從。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到八點(diǎn)時(shí)間為2秒:

0<t<2時(shí)，點(diǎn)Q在線段4。上，即CP=t,0P=2-t,0Q=2t,AQ=4-2t,

SAUUP=\?OP*yu=（2-t）x2=2-t,；?OQ*Xu=]x2fxl=t,

?SAOD^SAODQf

2-f=t,

（3）結(jié)論：烏嚓會(huì)笠的值不變，其值為2.理由如下：如圖2中,

圖2

，/Z2+Z3=90°,又Z1=Z2,Z3=ZFCO,

ZGOC+N用8=180°,

OGWAC,

：.Z1=ZCAO,

：.ZOEC=ZCAO+Z.4=Z1-Z4,

如圖，過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P,則N4=NP，C,PHWOG,

：.ZPHO=ZGOF=/1+Z2,

ZOHC=NOHP+NPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

?NM+4CE-N1+N2+/4+/4-2

NOECZ1+Z4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形綜合題、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

12.（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出N3與N4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

直線平行即可判定aIIb；

（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反

解析：（1）平行，理由見解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出N3與/4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即

可判定allb；

（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得2,然后根據(jù)平

角等于180。求出N1的度數(shù)，再加上40。即可得解：

（3）分①48與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出NAC。與N8AC,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等列式計(jì)算即可得解；②8旋轉(zhuǎn)到與48都在&的右側(cè)，分別表示出NOCF與

NBAC,然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與A8都在EF

的左側(cè)，分別表示出/OCF與N8AC,然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得

解.

【詳解】

圖1

如圖1,?/Z3=Z4,

Z5=Z6,

Zl=z2,

Z1+Z5=Z2+Z6,

?.allb（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；

（2）如圖2：

?「入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等,

Z1=Z2,

?「入射光線a與水平線0C的夾角為40。，b垂直照射到井底，

Z1+Z2=1800-40°-90°=50%

/.Z1=1X500=25O,

MN與水平線的夾角為：25。+40。=65。，

即MN與水平線的夾角為65。，可使反射光線b正好垂直照射到井底;

（3）存在.

如圖①，A8與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，

①

ZBAF=105°,ZDCF=65>,

ZACD=180o-65o-3to=115o-3r,

ZBAC=105o-to,

要使ARWCD,

則NACD=ABAC,

即115-3t=105-t,

解得f=5；

如圖②，C。旋轉(zhuǎn)到與人8都在￡F的右側(cè)時(shí),

E

②

?「ZBAF=1Q5\NDCF=65>,

???ZDCF=3600-3r-65o=295o-3r,

Z84c=105°-t°,

要使八8IICD,

則/DCF=ZBAC,

即295-31=105-3

解得t=95；

如圖③，CD旋轉(zhuǎn)到與A8都在EF的左側(cè)時(shí),

Z8AF=105°,ZOCF=65',

/.ZDCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°,

ZBAC=t°-105°,

要使4811CD,

則/DCF=ZBAC,

即3t-295=t-105,

解得t=95,

此時(shí)t>105,

---此情況不存在.

綜上所述，t為5秒或95秒時(shí)，CD與A8平行.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，光學(xué)原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論.

13.（1）平行，理由見解析；（2）35。或145。，畫圖、過程見解析；（3）50°

或130。或60。或120°

【分析】

（1）過點(diǎn)C作CFIIAB,根據(jù)NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得C

解析：（1）平行，理由見解析；（2）35。或145。，畫圖、過程見解析；（3）50。或130。或

60°或120。

【分析】

（1）過點(diǎn)C作CFIIA8,根據(jù)NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIED,進(jìn)而可以判斷

AB平行于ED；

（2）根據(jù)題意作4811CD,即可NB=NC=35°；

（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算出N8的度數(shù).

【詳解】

解：（1）48平行于ED,理由如下：

如圖2,過點(diǎn)C作CFIIAB,

/.ZBCF=N8=50°,

,/Z88=85°,

ZFCD=85°-50°=35°,

*/Z0=35°,

ZFCD=ZD,

/.CFIIED,

1/CFIIAB,

（2）如圖，即為所求作的圖形.

,.W8IICD,

/.ZABC=Z.C=35°,

???/8的度數(shù)為：35°；

圖4

A'BWCD,

/.ZABC+AC=180°,

「?/8的度數(shù)為：145°；

」.N8的度數(shù)為：35。或145。：

(3)如圖2,過點(diǎn)C作CFIIAB,

:48IIDE,

CFIIDE,

：.ZFCD=Z0=35°,

,/Z8385°,

Z8CF=850?35°=50°,

/.Z8=NBCF=50\

答：N8的度數(shù)為50。.

如圖5,過C作CFIIA8,則A8IICFIICD,

如圖6,?/ZC=85°,Z0=35°,

c

圖6

ZCFD=1800-85o-350=60o,

ABWDE,

：.Z8=ZCFD=6Q\

如圖7,同理得：/B=35°+85°=120°,

綜上所述，N8的度數(shù)為50。或130。或60。或120。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，并熟練運(yùn)

用.

14.（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫圖見解析；（4）秒，畫圖見解

析

【分析】

（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；

（2）求出/AON=60。，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t；

⑶設(shè)NAON=3

7（）

解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫圖見解析：（4）—秒，畫圖見解析

3

【分析】

（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；

（2）求出NAON=6（T,結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t;

（3）設(shè)NAON=3t,MzAOC=30°+6t,由題意列出方程,解方程即可;

（4）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和OC平分NMOB,由題意列出方程，解方程即可.

【詳解】

解:（1）V304-3=10,

/.10秒后ON與OC重合；

（2）MNIIAB

ZBOM=ZM=30°,

?/ZAON+ZBOM=90°,

/.ZAON=60°,

???t=60+3=20

「?經(jīng)過t秒后，MNIIAB,t=20秒.

(3)如圖3所示：

圖3

ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM.

?「三角板繞點(diǎn)0以每秒3。的速度，射線OC也繞。點(diǎn)以每秒6。的速度旋轉(zhuǎn),

設(shè)/AON=3t,則NAOC=30°+6t,

?「OC與OM重合，

ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(30°+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即經(jīng)過20秒時(shí)間OC與OM重合;

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

三角板繞點(diǎn)0以每秒3。的速度，射線OC也繞0點(diǎn)以每秒6。的速度旋轉(zhuǎn)，

設(shè)/A0N=3t,ZAOC=30°+6t,;ZBOM+ZAON=90°,

/.ZBOC=ZCOM=-jZBOM=g(90°-3t),

由題意得：180。-(30°+6t)=7(9(T-3t),

解得：t=四秒，

3

即經(jīng)過四秒OC平分NMOB.

3

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角的計(jì)算以及方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)

觀察圖形，找到各個(gè)量之訶的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,則A

(-2,0),B(2,0),C(2,2),即可計(jì)算出

解析：(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,則A(-2,0),B

(2,0),C(2,2),艮］可計(jì)算出三角形ABC的面積=4；

(2)由于CBIIy軸，BDIIAC,則/CAB=NABD,即N3+N4+/5+/6=90。，過E作

EFIIAC,則BDIIACIIEF,然后利用角平分線的定義可得到/3=Z4=Z1,Z5=Z6=

N2,所以NAED=N1十N2=￡X9CT=45";

(3)先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=gx+l,則G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),然

后利用SAPAC=SAAPG+SACPG進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

解：(1)由題意知：a=-b,a-b+4=0,

解得：a=-2,b=2,

/.A(-2,0),B(2,0),C(2,2),

SAABC=—AB?BC=4；

2

(2)1/CBIIy軸，BDIIAC,

ZCAB=ZABD,

Z3+/4+Z5+Z6=90°,

過E作EFIIAC,

BDIIACIIEF,

AE,DE分別平分NCAB,ZODB,

Z3=Z4=Z1,Z5=Z6=Z2,

ZAED=Z1+Z2=?X90°=45°；

(3)存在.理由如下：

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,t),宣線AC的解析式為y=kx+b,

把A(-2,0)、C(2,2)代人得：

-2k+b=0k=l

<2k+b=2,解得2

b=l

???直線AC的解析式為y=gx+l,

???G點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

SAPAC=SAPG+SCPG=7|t-l|?2+：|t-l|?2=4,解得t=3或T,

aAJ/

??.P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）或（0,-1）.

備用圖

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對值、平方的非負(fù)性，平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同

旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

四、解答題

16.(1)①115。；110°；(2)；理由見解析；(2)；理由見解析

【分析】

(1)①若NBAC=10(r,ZC=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出NB=50。，由平行

線的性質(zhì)得出NEDB=Z0=30。，由

解析：(1)①115°；11C°；②乙4"。=90。+；/8；理由見解析；(2)

4/7)=90。-；/8；理由見解析

【分析】

(1)①若NBAC=100。，ZC=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出NB=50。，由平行線的性質(zhì)得

出NEDB=NC=30。，由角平分線定義得出N8AG=」NB/1C=5O。，ZFDG=-ZEDB=\50,由

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三角形的外角性質(zhì)得出NDGF=100。，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；若NB=40。，則

ZBAC+ZC=180o-40o=140°,由角平分線定義得出/BAG=,/FDG'/EDB,由

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三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；

②由①得：ZEDB=ZC,/BAG=；N8AC=50。，NFDG=；NEDB=15。,由三角形的外角

性質(zhì)得出/DGF=ZB+ZBAG,再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論：

(2)由(1)得：NEDB=NC,ZBAG=-ZBACt/WJ”=由三角形的外

角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)①若NBAC=100°,ZC=30°,

則/B=1800-100o-30o=50°,

?「DEIIAC,

/.ZEDB=ZC=30°,

AG平分/BAC,DF平分NEDB,

/.ZBAG=-ZfiAC=50°,NFDG=L/EDB=15。,

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/.ZDGF=ZB+ZBAG=50o+50o=100°,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=130o+150=115<>：

若NB=40°,則NBAC+ZC=180o-40°=140°,

?「AG平分NBAC,DF平分NEDB,

/.ABAG=-/BAC,/FDG=-/F.DR,

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,/ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=ZB+1(ZBAC+ZC)

=40°+-xl400

2

=400+70o=110°

故答案為：11S°：110。：

@ZAFD=90°+1zB；

理由如下：由①得：ZEDB=ZC,N84G=g/BAC,"DG=；NEDB,

'：ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG

=ZB+ZBAG+ZFDG

=ZB+^(ZBAC+ZC)

=Z?+l(l800-Z?)

=900+-Z?；

2

(2)如圖2所示：ZAF￡)=90°--ZB；

2

理由如下：

由(1)得：ZEDB=ZC,=NBDH=g