人教版中學七年級數學下冊期末解答題培優題及答案

一、解答題

1.(1)如圖1,分別把兩個邊長為1cm的小正方形沿一條對角線裁成4個小三角形拼成

一個大正方形，則大正方形的邊長為cm；

(2)若一個圓的面積與一個正方形的面積都是2nm"設圓的周長為。.正方形的周長

為CE，則G為〔填或或">")

(3)如圖2,若正方形的面積為900cm2,李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面

積為740cm2的長方形紙片.使它的長和寬之比為5:4,他能裁出嗎？請說明理由？

圖1圖2圖3

(1)如圖2,若正方形紙片的面積為ldnf,則此正方形的對角線AC的長為_dm.

(2)如圖3,若正方形的面積為16cm2,李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積

為12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3:2,他能裁出嗎？請說明理由.

3.教材中的探究：如圖，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，用所得到的4個直角

三角形拼成一個面積為2的大正方形.由此，得到了一種能在數軸上畫出無理數對應點的

方法(數軸的單位長度為1).

￡1￡2

(1)閱讀理解：圖1中大正方形的邊長為,圖2中點A表示的數為：

(2)遷移應用：

請你參照上面的方法，把5個小正方形按圖3位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正

方形.

①請在圖3中畫出裁剪線，并在圖3中畫出所拼得的大正方形的示意圖.

②利用①中的成果，在圖4的數軸上分別標出表示數一0.5以及-3+后的點，并比較它

們的大小.

[>111_______I______1111]

-3-2-I01234

￡3S4

4.如圖，用兩個面積為200。帝的小正方形拼成一個大的正方形.

（1）則大正方形的邊長是：

（2）若沿著大正方形動的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為

5：4,且面積為360an2?

5.如圖用兩個邊長為加cm的小正方形紙片拼成一個大的正方形紙片，沿著大正方形紙

片的邊的方向截出一個長方形紙片，能否使截得的長方形紙片長寬之比為3:2,且面積為

30cm2?請說明理由.

二、解答題

6.已知，A8II。￡,點C在48上方，連接8C、CD.

（1）如圖1,求證：Z8CD+NCDE=ZABC；

（2）如圖2,過點C作CF_LBC交E。的延長線于點F,探究NA8c和NF之間的數量關

系；

（3）如圖3,在（2）的條件下，NCFD的平分線交CD于點G,連接G8并延長至點M

若BH平分/ABC,求/BGD-ZCGF的值.

F

圖3

圖2

7.已知直線A8〃CD,點P、Q分別在48、C。上，如圖所示，射線P8按逆時針方向以每

秒12。的速度旋轉至以便立即回轉，并不斷往返旋轉；射線QC按逆時針方向每秒3。旋轉

至Q。停止，此時射線P8也停止旋轉.

（1）若射線P8、QC同時開始旋轉，當旋轉時間10秒時，P9與QC的位置關系為；

（2）若射線QC先轉15秒，射線P8才開始轉動，當射線P8旋轉的時間為多少秒時,

PB'Z/ClC.

B-----------------R——d

（備用圖）Q

B-------------------?---------4

D_______________cD_______________C

（各用困）Q（各用困）Q

8.已知：直線48IICD,M,N分別在直線八8,C。上，H為平面內一點，連HM,HN.

（1）如圖1,延長至G,N8MH和NGN。的角平分線相交于點E.求證：2ZMEN-

ZMHN=180°；

（2）如圖2,/8MH和NHND的角平分線相交于點E

①請直接寫出NMEN與NMHN的數量關系：；

②作MP平分N4MH,A/QIIMP交ME的延長線于點Q,若NH=140。，求/ENQ的度

數.（可直接運用①中的結論）

圖1圖2

9.汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

河水及兩岸河堤的情況.如圖1,燈A射出的光束自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈

3射出的光束自AP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A射出的

光束轉動的速度是4。/秒，燈“射出的光束轉動的速度是秒，且。、力滿足

心-罔+（。+/2-4）2=0.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即PQ//MN,且

NBAN=45。.

（1）求"、％的值；

（2）如圖2,兩燈同時轉動，在燈A射出的光束到達AN之前，若兩燈射出的光束交于點

cc

13.綜合與探究（問題情境）

王老師組織同學們開展了探究三角之間數量關系的數學活動.

（1）如圖1,EFIIMN,點4、8分別為直線EF、M/V上的一點，點P為平行線間一點，請

直接寫出N%F、NP8N和N4P8之間的數量關系；

（問題遷移）

（2）如圖2,射線0M與射線ON交于點0,直線miln,直線m分別交OM、ON于熱

A,。,直線。分別交OM.ON于點。、C,點P在射線0M上運動.

①當點P在A、B（不與A、8重合）兩點之間運動時，設/AOP=/a,N8CP=/仇則

ZCPD,Za,NB之間有何數量關系？請說明理由：

②若點P不在線段48上運動時（點P與點48、。三點都不重合），請你畫出滿足條件

的所有圖形并直接寫出NCP。，Na,NB之間的數量關系.

14.已知射線A8//射線C。，P為一動點，4E平分/時，CE平分/PCD,且4E與CE

相交于點R（注意：此題不允許使用三角形，四邊形內角和進行解答）

（1）在圖1中，當點P運動到線段4c上時，ZAPC=180°.直接寫出ZAEC的度數；

（2）當點P運動到圖2的位置時，猜想4EC與乙4PC之間的關系，并加以說明；

（3）當點P運動到圖3的位置時，（2）中的結論是否還成立？若成立，請說明理由：若

不成立，請寫出4EC與4PC之間的關系，并加以證明.

15.已知。〃〃，直角A0C的邊與直線。分別相交于0、G兩點，與直線b分別交于E、F

點，ZACT=90.

(1)將直角，"C如圖1位置擺放，如果440G=46,則NCE￡=；

(2)將直角.A4C如圖2位置擺放，N為47上一點，/NEF+NCEF=T86,請寫出

NNE/與NAOG之間的等量關系，并說明理由.

(3)將直角。八3c如圖3位置擺放，若NGOC=140,延長4C交直線b于點Q,點P是

射線GF上一動點，探究NPOQ,N0P。與NPQ〃的數量關系，請直接寫出結論.

四、解答題

16.在△48C中，射線4G平分N8AC交8c于點G,點D在8c邊上運動(不與點G重

合)，過點。作。曰1AC交2B于點E.

(1)如圖1,點D在線段CG上運動時，DF平分/EDB

①若NBAC=100°,ZC=30°,則NAFD=；若NB=40。，則NAFD=；

②試探究NAFD與NB之間的數量關系？請說明理由；

(2)點D在線段BG上運動時，ZBDE的角平分線所在直線與射線AG交于點F試探究

NAFD與NB之間的數量關系，并說明理由

17.如圖①，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中/ONM=30。，Z0CD=

45°.

D

圖①圖②圖③

（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E,

求/CEN的度數；

（2）將圖①中的三角板OMN繞點。按逆時針方向旋轉，使NBON=30。，如圖③，MN

與CD相交于點E,求NCEN的度數；

（3）將圖①中的三角板。MN繞點。按每秒30。的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的

過程中，在第秒時，直線MN恰好與直線CD垂直.（直接寫出結果）

18.（生活常識）

射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相

等.如圖1,MA/是平面鏡，若入射光線4。與水平鏡面夾角為/1,反射光線與水平鏡

面夾角為/2,則N1=Z2.

（現象解釋）

如圖2,有兩塊平面鏡。乂，OM且OM_LON,入射光線八8經過兩次反射，得到反射光線

CD.求證48IICD.

（嘗試探究）

如圖3,有兩塊平面鏡OM,ON,且/MON=55。，入射光線48經過兩次反射，得到反射

光線C。，光線A8與C。相交于點E,求/8EC的大小.

（深入思考）

如圖4,有兩塊平面鏡OM,ON,且NMO/V=a,入射井線經過兩次反射，得到反射光

線CD,光線AB與CD所在的直線相交于點E,N8￡。=8,a與8之間滿足的等量關系

是.(直接寫出結果)

19.如圖，△A8C中，NA8C的角平分線與NACB的外角N4CD的平分線交于4.

(1)當NA為70。時，

,/ZACD-Z.ABD=4

ZACD-Z.ABD=°

84、CAi是NABC的角平分線與/ACB的外角NACD的平分線

/.ZAxCD-Z.AiBD=-(ZACD-ZABD)

2

???/4=°;

(2)N48C的角平分線與N4CD的角平分線交于4,448C與4C。的平分線交于A3,

如此繼續下去可得4、…、請寫出N4與N4的數量關系;

(3)如圖2,四邊形4BCD中，NF為NA8c的角平分線及外角NDCE的平分線所在的直線

構成的角，若/八+/。=230度，則/F=.

(4)如圖3,若E為班延長線上一動點，連EC,N4EC與N4CE的角平分線交于Q,當E

滑動時有下面兩個結論：①NQ+N4的值為定值；②NQ-/A1的值為定值.其中有且只

有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值.

20.如圖，△48C和△4DE有公共頂點A,NACB=NA￡D=90°,ZBAC=4S°,ZDAE=3Q°.

(1)若DE〃AB,則NEAC=；

(2)如圖1,過4：上一點。作OG_LAC,分別交AB、AD.AE于點G、H、F.

①若AO=2,SMGH=4,S^AHF=1,求線段OF的長：

②如圖2,NAFO的平分線和NAOF的平分線交于點M.NFHD的平分線和NOG8的平分

線交于點MNN+/M的度數是否發生變化？若不變，求出其度數；若改變，請說明理

由.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）:（2）＜；（3）不能，理由見解析

【分析】

（1）根據所拼成的大正方形的面積為2即可求得大正方形的邊長；

（2）由圓和正方形的面積公式可分別求的圓的半徑及正方形的邊長，進而可求得圓和正方

形的

解析：（1）V2;（2）＜；（3）不能，理由見解析

【分析】

（1）根據所拼成的大正方形的面積為2即可求得大正方形的邊長：

（2）由圓和正方形的面積公式可分別求的圓的半徑及正方形的邊長，進而可求得圓和正方

形的周長，利用作商法比較這兩數大小即可；

（3）利用方程思想求出長方形的長邊，與正方形邊長比較大小即可；

【詳解】

解:（1）.?.小正方形的邊長為1cm,

小正方形的面積為lcm\

兩個小正方形的面積之和為2cm2,

即所拼成的大正方形的面積為2cm2,

設大正方形的邊長為xcm,

x2=2,

x=4z

「?大正方形的邊長為0cm；

（2）設圓的半徑為r,

」?由題意得下戶=2%,

?＞-r-5/2，

C^=17vr=17142,

設正方形的邊長為a

■「a2=2乃,

a=427r，

ClV=4a=4\f27r,

Gw2乃&&a.

..霏=詬=彳=不"

故答案為：V：

（3）解：不能裁剪出，理由如下：

正方形的面積為900cm2,

??.正方形的邊長為30cm

?「長方形紙片的長和寬之比為5:4,

了.設長方形紙片的長為5x,寬為4x,

則5工4t=74O,

整理得：X2=37,

（5x）2=25X2=25X37=925>900,

/.（5x）2>3（）2,

/.5x>30,

「?長方形紙片的長大于正方形的邊長，

???不能裁出這樣的長方形紙片.

【點睛】

本題通過圓和正方形的面積考杳了對算術平方根的應用，主要是對學生無理數運算及比較

大小進行了考查.

2.（1）；（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）由正方形面積，可求得正方形邊長，然后利用勾股定理即可求出對角線

長；

（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可.

【詳解】

解：

解析：（1）V2:（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）由正方形面積，可求得正方形邊長，然后利用勾股定理即可求出對角線長；

（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可.

【詳解】

解：（1）??,正方形紙片的面積為1力1,

正方形的邊長==

???AC=y]AB2+BC2=41dtn?

故答案為：&.

（2）不能；

根據題意設長方形的長和寬分別為和

長方形面積為：XV?M2,

解得：工=血,

?..長方形的長邊為3夜，?〃?.

1?,3夜>4，

「?他不能裁出.

【點睛】

本題考查了算術平方根在長方形和正方形面積中的應用，靈活的進行算術平方根計算及無

理數大小比較是解題的關催.

3.（1）;（2）①見解析；②見解析，

【分析】

（1）設正方形邊長為a,根據正方形面積公式，結合平方根的運算求出a值，

則知結果；

（2）①根據面積相等，利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；

②

解析：（1）72,-72；⑵①見解析；②見解析，一3+石<-0.5

【分析】

（1）設正方形邊長為a,根據正方形面枳公式，結合平方根的運算求出a值，則知結果；

（2）①根據面積相等，利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；

②由題（1）的原理得出大正方形的邊長為行，然后在數軸上以-3為圓心，以大正方形的

邊長為半徑畫弧交數軸的右方與一點M,再把N點表示出來，即可比較它們的大小.

【詳解】

解：設正方形邊長為a,

*/a2=2,

??a=+^2?

故答案為：41>~>/2;

（2）解：①裁剪后拼得膽大正方形如圖所示：

②設拼成的大正方形的邊長為b,

b2=5?

b=土后，

在數軸上以-3為圓心，以大正方形的邊長為半徑畫弧交數軸的右方與一點M,則M表示的

數為-3+6，看圖可知，表示-0.5的N點在M點的右方，

令￡A工AA

-3-2-VV01234

「?比較大小：-3+石<-0.5.

【點睛】

本題主要考查平方根與算術平方根的應用及實數的大小比較，熟練掌握平方根與算術平方

根的意義及實數的大小比較是解題的關鍵.

4.（1）;（2）不能剪出長寬之比為5：4,且面積為的大長方形，理由詳見

解析

【分析】

（1）根據已知得到大正方形的面積為400,求出算術平方根即為大正方形的邊

長；

（2）設長方形紙片的長為，寬為，根據

解析：（1）20cm；（2）不能剪出長寬之比為5：4,且面積為3605『的大長方形，理由

詳見解析

【分析】

（1）根據已知得到大正方形的面積為4005?2,求出算術平方根即為大正方形的邊長；

（2）設長方形紙片的長為5xa〃，寬為4w根據面積列得5x?4工=360,求出x=M，

得至l」5x=520,由此判斷不能裁出符合條件的大正方形.

【詳解】

（1）v用兩個面積為200c〃『的小正方形拼成一個大的正方形，

大正方形的面積為400cm2,

大正方形的邊長為x/400=20c7〃

故答案為:20cm；

（2）設長方形紙片的長為5.加，寬為4x52,

5工?4x=360,

解得：x=V18,

5x=5V[8>20,

答：不能剪出長寬之比為5：4,且面積為360cm2的大長方形.

【點睛】

此題考查利用算術平方根解決實際問題，利用平方根解方程，正確理解題意是解題的關鍵.

5.不能截得長寬之比為，且面積為cm2的長方形紙片，見解析

【分析】

根據拼圖求出大正方形的邊長，再根據長方形的長、寬之比為3：2,計算長方

形的長與寬進行驗證即可.

【詳解】

解：不能，

因為大正方形紙

解析：不能截得長寬之比為3:2,且面積為30cm2的長方形紙片，見解析

【分析】

根據拼圖求出大正方形的邊長，再根據長方形的長、寬之比為3：2,計算長方形的長與寬

進行驗證即可.

【詳解】

解：不能,

因為大正方形紙片的面積為（如）2+（如）2=36（cm?）,

所以大正方形的邊長為6cm,

設裁出的長方形的長為3bcm,寬為2bcm,

則6b2=30,

所以加石（取正值），

所以3b=3石=傷＞病，

所以不能截得長寬之比為3：2,且面積為30cm2的長方形紙片.

【點睛】

本題考查了算術平方根，理解算術平方根的意義是正確解答的關鍵.

二、解答題

6.（1）證明見解析；（2）；（3）.

【分析】

（1）過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，然后根據

平行線的性質可得，由此即可得證；

（2）過點作，同（1）的方法，先根據平行線的性質

解析：（1）證明見解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）過點C作C尸〃A6,先根據平行線的性質可得乙46c+N以才二180。，再根據平行公

理推論可得bgOE,然后根據平行線的性質可得NCD￡+N8CF+N8CD=180。，由此即

可得證；

（2）過點C作CG〃A4,同（1）的方法，先根據平行線的性質得出

ZA8C+/8CG=180。，ZF+ABCG+Z.BCF=180°,從而可得Z44C—Nb=N8Cb,再

根據垂直的定義可得N3C/=90。，由此即可得出結論；

（3）過點G作GMAB,延長對至點N,先根據平行線的性質可得NA4”=NMG月，

乙MGN=4DFG,從而可得ZMGH-NMGN=ZABH-NDFG,再根據知平分線的定義、

結合（2）的結論可得NMG”-NMGN=45。，然后根據角的和差、對頂角相等可得

/BGD—NCGF=/MGH-/MGN,由此即可得出答案.

【詳解】

證明：（1）如圖，過點C作C/〃A8,

:.ZABC+Zi3CF=]S00,

?.AB!DE,

：.CFPDE,

:"CDE+Z￡)CF=180°,即4CDE+/BCF+/BCD=130。，

/.ZCDE+NRCF+ZBCD-ZABC+/RCF,

?./BCD+Z.CDE=Z/WC；

(2)如圖，過點C作CG〃43,

NA8C+4CG=180。，

.ABDE,

:.CGDE,

.?.NF+NFCG=180°,即NF+/BCG+/BCF=180°,

/.ZF+/BCG+/BCF=ZABC+/BCG,

:.ZABC-ZF=NBCF,

???CF工BC,

ZBCF=90°,

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如圖，過點6作6時AB,延長R7至點N,

/.ZABH=/MGH,

ABDE,

:.GMDE,

:,AMGN=ZDFGf

???6〃平分乙46C,FN*為乙CFD,

ZABH=-NABC,NDFG=-NCFD,

22

由(2)可知，ZABC-ZCF￡>=90°,

/.NMGH-NMGN=NABH-4DFG=-NABC--4CFD=45°,

22

\ZBGD=NMGH+AMGD

y-J

/CGF=4DGN=4MGN+/MGD

-.ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN=45°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質、對頂角相等、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的性

質是解題關鍵.

7.(1)PBUQU；(2)當射線PB旋轉的時間為5秒或25秒或45秒時，

PB，IIQC'

【分析】

(1)求出旋轉10秒時，NBPB7和NCQU的度數，設PB，與QC咬于O,過。作

OEIIAB,根

解析：(1)PBUQC；(2)當射線P8旋轉的時間為5秒或25秒或45秒時，PBfllQC

【分析】

(1)求出旋轉10秒時，N8P9和NCQC的度數，設P6與。。交于。，過。作0EII4&根

據平行線的性質求得NPOE和NQOE的度數，進而得結論；

(2)分三種情況：①當。(區15時，②當15〈區30時，③當304V45時，根據平行

線的性質，得出角的關系，列出t的方程便可求得旋轉時間.

【詳解】

解：(1)如圖1,當旋轉時間30秒時，由已知得NBPe=lCTxl2=120。，ZCQC=

3°xl0=30°,

過。作OEIIAB,

:A8IICD,

」.4811OEIICD,

ZPOE=130°-ZBPB'=6Q°,ZQO￡=ZCQC=30°,

/.ZPOQ=90°,

/.PR1Lar,

故答案為：PB'J.QC；

(各用圖)Q

(2)①當0VK15時,如圖，則28P8'=12t°,N2QC*=45。+3門

:4811CD,PB'WQC,

Z8P8'=NPfC=ZCQC,

即12t=45+33

解得，t=5；

C1

B------------------

.

②當15VM30時,如圖，則/4?8'=121-180°,ZCQC=3t+45°,

VABWCD,PB'WQC,

/.Z8P8'=NBEQ=/CQC,

即12t-180=45+3t,

解得，t=25；

C1

t

B----2————A

D~（?用圖）b卞、c

\

\

\

\

\

?

B1

③當30<t<45時，如圖，則NBPB'=12t-360°,ZCQC=3t+45°,

C，

D~（備用圖）b

'：ABWCD,PB'WQC,

ZBPB'=Z.8EQ=NCQC,

即12t-360=45+33

解得，t=45；

綜上，當射線P8旋轉的時間為5秒或25秒或45秒時，PB'WQC.

【點睛】

本題主要考杏了平行線的性質，第（1）題關鍵是作平行線，第（2）題關鍵是分情況討

論，運用方程思想解決幾何問題.

8.（1）見解析；（2）①2NMEN+NMHN=360。：②20°

【分析】

（1）過點E作EPIIAB交MH于點Q,利用平行線的性質、角平分線性質、鄰

補角和為180。，角與角之間的基本運算、等量代換等即

解析：（1）見解析；（2）①2NMEN+NMH/V=360°；②20°

【分析】

（1）過點E作EPII交于點Q,利用平行線的性質、角平分線性質、鄰補角和為

180%角與角之間的基本運算、等量代換等即可得證.

（2）①過點H作G川八品利用（1）中結論2NME/V-NMHN=180°,利用平行線的性

質、角平分線性質、鄰補侑和為180。，角與角之間的基本運算、等量代換等得出NAMH+

ZHNC=36Q°-（4BMH+4HND）,進而用等量代換得出2/MEA/+/MHN=360。.

②過點H作HTWMP,由①的結論得2ZMEN+2MHN=360°tZH=140°,ZMEN=

110°.利用平行線性質得NENQ+NENH+NNHT=180。，由角平分線性質及鄰補角可得

ZF/VQ+ZE/VH+1400-g（180°-ZBMH）=180°.繼續使用等量代換可得NENQ度數.

【詳解】

解：（1）證明：過點E作EPIIA8交M/■/于點Q.如答圖1

,/EPIIAB且ME平分NBMH,

/.ZM￡Q=ZBME=ZBMH.

EPIIAB,ABWCD,

EPWCD,又NE平分/GND,

??./QEN=，DNE=；/GND.(兩直線平行，內錯角相等)

二.4MEN=4MEQ+NQEN=3/BMH+g/GND=TINBMH+NGND).

/.2ZMEN=N8MH+NGND.

'：ZG/VD+ZDNH=180°,ZDNH+，MHN=Z.MON=ZBMH.

ZDHN=Z.BMH-ZMHN.

：.ZG/VD+ZBMH-ZMHN=180°,

即2ZMEN-ZMHN=180°.

(2)①：過點H作G/IIA8.如答圖2

T

B

N-

答圖2

由(1)可得NM￡N=g匕BMH+NHND),

由圖可知/MHN=4MHI+NNHI,

,/6/II48,

ZAMH=NMHI=1300-ZBMH,

???6/IIAB,ABWCD,

/.G/llCD.

：.ZHNC=NNHI=180°-ZHND.

/.ZAMH+NHNC=1800-ZBMH+180°?ZHND=360°-(ZBMH+NHND).

又一NHNC=NA4H/+NNHI=ZMHN,

/.Z8MH+NHND=360°-ZMHN.

即2NMEN+NMHN=360°.

故答案為：2/MEN+/MHN=360。.

@：由①的結論得2/MEN+NMHN=360°,

---ZW=ZMHN=140°,

2ZMEN=360°?140°=220°.

ZMEN=110°.

過點H作HTWMP.如答圖2

,/MPIINQ,

HTWNQ.

E/VQ+NENH+NNHT=180。(兩直線平行，同旁內角互補).

?「Mp平分/AMH,

/PMH=g/AMH=g(180°-ZBMH).

ZNHT=NMHN-ZMHT=140a-ZPMH.

/.NE/VQ+zENH-\-lAO°-j(1800-NBMH)=180°.

ZENH=；/HND.

ZE/VQ+g/H/VD+1400-900+g/8M片=180°.

ZENQ+g(HND+NBMH)=130。.

ZE/VQ+g/MEN=13Q°.

「./ENQ=130°-110°=20°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，鄰補角，等量代換，角之間的數量關系運

算，輔助線的作法，正確作出輔助線是解題的關鍵，本題綜合性較強.

9.（1）,；（2）30。；（3）15秒或82.5秒

【分析】

（1）解出式子即可；

（2）根據，用含t的式子表示出，根據（2）中給出的條件得出方程式，求出

t的值，進而求出的度數；

（3）根據燈B的

解析：（1）a=3,h=\；（2）30。；（3）15秒或82.5秒

【分析】

（1）解出式子一34+（。+匕-4）2=0即可;

（2）根據PQ〃MN,用含t的式子表示出4C4,根據（2）中給出的條件得出方程式

ZBCD=90°-ZBCA=90c-[180°-（2/）°]=（2/）°-90°=20°,求出t的值，進而求出的C

的度數；

（3）根據燈8的要求，t<150,在這個時間段內八可以轉3次，分情況討論.

【詳解】

解：（1）?.M—3〃|+（〃+力一4）2=0.

又|。一38|20,（a+b-4）2>0.

A=3,b=l；

（2）設A燈轉動時間為/秒，

QBDP

如圖，作CE//PQ,而PQ//MN,

PQHCEHMN、

ZACE=^CAN=180°-3r°,/BCE=NCBD=i。,

ZBCA=Z.CBD+ZCAN=〃+180。一(31)。=180°-(2/)°,

?.ZACD=90°,

NBCD=90。-NBCA=9()o-[l80。-(27)°]=(2/)°-90°=20°,

t=55

?.?ZC4^=180°-(3r)°,

/.Z.BAC=45°-[180°-(3/)°]=(3z)°-135°=165°-135°=30°

(3)設A燈轉動f秒，兩燈的光束互相平行.

依題意得0v/<150

①當0VY6O時,

13

兩河岸平行，所以N2=Z3=(3,)。

兩光線平行，所以N2=N1=3O+/。

所以，Z1=Z3

即：31=30+，，

解得f=15；

②當60VY120時，

兩光束平行，所以N2=N3=(30+。。

兩河岸平行，所以Nl+N2=180。

Zl=3/-180°

所以,3r-180+30+r=180,

解得1=82.5；

③當120V/V150時，圖大概如①所示

3r-36O=r+3O,

解得f=195>150(不合題意)

綜上所述，當/=15秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行.

【點睛】

這道題考察的是平行線的性質和一元一次方程的應用.根據平行線的性質找到對應角列出

方程是解題的關鍵.

10.(1)①35°：(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數；

②依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NECG=ZGCF=20°

解析：(1)①35。；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數；

②依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到NECG=NGCF=20。，再根據PQIICE,

即可得出NCPQ=ZfCP=6C°：

(2)設NEGC=3x,NEFC=2x,則NGCF=3x-2x=x,分兩種情況討論：①當點G、F在點￡

的右側時，②當點G、F在點E的左側時，依據等量關系列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)(1)'：ABWCD,

ZCEB+N￡CQ=180°,

:ZCf8=110°,

ZECQ=70°,

,/ZPCF=ZPCQ,CG平分/ECF,

/.ZPCG=NPCF+ZFCG/NQCF+^ZFCE=；NECQ=35°；

(2)\-ABIICD,

/.ZQCG=ZEGC,

,/ZQCG+ZECG=ZECQ=70°,

ZEGC+ZECG=70°,

又?「ZEGC-ZECG=30°,

ZEGC=50°,ZECG=20°.

ZECG=ZGCF=20Q,ZPCF=ZPCQ=(70°-40°)=15°,

,/PQIICf,

ZCPQ=ZECP=ZfCQ-ZPCQ=70o-15o=55°.

(2)52.5。或7.5。，

設NEGC=3x°,ZEFC=2x°f

①當點G、F在點E的右側時，

?「4811CD,

/.ZQCG=NEGC=3x°,ZQCF=NEFC=2x0,

則NGCF=NQCG-ZaCF=3x°-2x°=x°,

ZPCF=ZPCQ=^ZFCQ=；NEFC=x°,

則NECG=NGCF=ZPCF=ZPCD=x°,

'：ZECD=70°,

/.4x=70°,解得x=17.5°,

ZCPQ=3x=52.5°；

②當點G、F在點E的左惻時，反向延長C。到H,

ZEGC=3x°,ZEFC=2x°f

ZGCH-WEGC-3x0,NFCH-ZEFC-2x0,

zECG=NGCF=NGCH-Z.FCH=x0,

???ZCGF=1800-3x\ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

/.ZFCQ=ZECF+乙ECQ=27.5°x2+70°=125°,

ZPCQ=yZFCQ=62.5°,

ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相

等是解題的關鍵.

三、解答題

11.（1）50°；（2）ZA+ZC=300+a,理由見解析；（3）NA-NDCM=3（T+a或

30°-a

【分析】

（1）過M作MNIIAB,由平行線的性質即可求得NM的值.

（2）延長BA,DC交于E,

解析：（1）50°；（2）N4+NC=30°+a,理由見解析；（3）N4NDCM=30°+a或30”

【分析】

（1）過M作MNII48,由平行線的性質即可求得NM的值.

（2）延長84OC交于E,應用四邊形的內角和定理與平角的定義即可解決問題.

（3）分兩種情形分別求解即可；

【詳解】

解：（1）過M作MNII48,

VM

BD

圖1

,/ABWCD,

A8IIMNWCD,

Z1=ZA,Z2=ZC,

...ZAMC=^1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案為：50°；

（2）Z4+ZC=300+a,

延長84DC交于E,

圖2

,/ZB+Z0=150°,

.??Z￡=30。，

,/ZBAM+NDCM=360°-(ZEAM+Z.ECM)=360°-(360°-/￡-ZM)=30°+a；

即N4+ZC=300+a：

(3)①如下圖所示:

Z8+ND=150°,ZAMC=afZE=30°

由三角形的內外角之間的關系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=30°+Z3+a

Z1-Z3=30°+a

即：Z4-zC=30°+a.

②如圖所示，210-/4=(180°-ZDCM)+a,即N4NOCM=30°-a.

BD

綜上所述，Z4/DCM=3Q0+a或30。口.

【點睛】

本題考查了平行線的性質.解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線川48,利用平行

線的性質(兩直線平行內錯角相等)將所求的角NM與已知角NA、NC的數量關系聯系起

來，從而求得的度數.

12.(1)；(2)①，見解析；②或

【分析】

(1)由平行線的性質可得到：，，再利用用的等量代換換算即可；

(2)①設，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對比即可；②分類

討論點在的左右兩側的情況，

解析：(1)125°；(2)@ZABD=2AEAF,見解析；②30°或110°

【分析】

(1)由平行線的性質可得到：/DEA=NEAN,NM8A=N84N,再利用角的等量代換

換算即可；

(2)①設NK4尸=a,NAED=/DAE=。,利用角平分線的定義和角的等量代換表示出

48。對比即可：②分類討論點。在8的左右兩側的情況，運用角的等量代換換算即可.

【詳解】

解:(1)設在4上有一點N在點八的右側，如圖所示：

?：1川2

：，ZDEA=ZEAN,NMBA=NBAN

ZAED=ZDAE=ZEAN=50°

/BAN=/BAD+ZDAE+ZEAN=25°+5O°+5O°=l25°

ZBAM=\25°

(2)(1)ZABD=2ZEAF.

證明：設NK4"=a,4AED=4DAE=。.

AN’1

I、

AFAD=ZEAF+ZDAE=a+fi.

A戶為/CAD的角平分線，

ZC4D=2ZFAD=2a+2萬.

ZEAN=ZAED=fi.

/CAN=4CAD-4DAE-4EAN=2a+20-p-p=2a.

ZABD=ZCAN=2a=2ZE4F.

「.ZABM+2ZE4F=180°

,.1ZABM+ZE4F=150°

ZE4F=180o-150o=30°

當點O在點笈左側，E在8右側時，如圖:

?「A/為NCAD的角平分線

/.ZDAF=-ZCAD

2

/AED=/NAE,ZCAN=ZABE

??ZDAE=ZAED=ZNAE

/.ZDAE=-(ZDAE+ZNAE)=-ZDAN

22

ZEAF=ZDAF+NDAE=-(ZCAD+/DAN)=-(360。-NC4N)

22

=18O°--ZABE

2

.?NA3E+NA8M=18O。

...ZZL4F=18O0--(18O°-ZABM)=90°+-ZABM

22

又???ZEAF+ZABM=\500

：.ZE4F=90o+-x(150o-ZE4F)=165°--ZE4F

22

NW=110。

當點。和產在點。左側時.設在人卜有一點G在點。的右側如圖：

此時仍有/O4￡='/OAV,ZDAF=-ZCAD

22

/E4尸=NO4E+NOAF=1(360°-/C4N)=180°-1N4BG

.22

=180°-i(l80°-ZAI3M)=90°+,ZAHM

22

/.ZE4F=110°

綜合所述：/石4尸=30。或110。

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，角的等量代換等，靈活運用平行線的性

質和角平分線定義等量代換出角的關系是解題的關鍵.

13.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①，見解析；②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如圖1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根據平行線的性

質得NPAF+ZAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF+NP8N+/4P8=360。；(2)①NCPO=Na+N￡,見解析；

②/CPD=—4a或4CPD=4a-4。

【分析】

(1)作PGIEF,如圖1,由PCIIEF,EFWMN得到PGIMN,根據平行線的性質得N%F

+/APC=130°,ZP8A/+NCP8=180%即有NPAF-\-Z.P8N+/4PB=360°；

(2)①過P作PEII4。交0/V于E,根據平行線的性質，可得到NEPZ)=Na,

4CPE=*,于是NCPO=Na+N/7；

②分兩種情況：當P在OB之間時；當P在。八的延長線上時，仿照①的方法即可解答.

【詳解】

解：(1)N%F+NP8A/+NAP8=360。，理由如下：

圖1

PCIIEF,EFWMN,

：.PCWMN,

：.ZPAF+^APC=180°,ZPBN+NCPB=180°,

Z%F+/APC+NPB/V+zCPB=360°,

ZPAF+Z.PBN+NAPB=360°；

(2)①NC9=Na+N尸，

理由如下：如答圖，過P作P￡llA。交0/V于邑

,/ADWBC,

PEWBC,

:./EPD=Na,4CPE=4$,

NCPD=Na+“

②當P在08之間時，ZCPD=Z?-Z/7,理由如下:

備用圖1備用圖2

如備用圖1,過P作PEIIAD交ON于￡,

?「AOIIBC,

：.PEWBC,

；EPD=Nct,4CPE=40,

NCPO=Na-N/y；

當P在OA的延長線上時，NCPO=//-Na,理由如下：

如備用圖2,過。作P￡llAD交CW于邑

1.1ADWBC,

PEllBC,

ZEPD=Za,4CPE=40,

NCQO=N〃-Na；

綜上所述，ZCPD,Za,/8之間的數量關系是/<^。=/4一/。或/675。=/1一々.

【點睛】

本題考查了平行線的性質；兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.難點

是分類討論作平行輔助線.

14.(1)；(2),證明見解析；(3),證明見解析.

【分析】

(1)過點作，先根據平行線的性質、平行公理推論可得，從而可得，再根據平

行線的性質可得，然后根據角平分線的定義可得，最后根據角的和差即可得；

解析：(1)90°；(2)ZAPC=2ZAEC,證明見解析；(3)ZAPC+2ZAEC=360°,證

明見解析.

【分析】

(1)過點E作EF//AB,先根據平行線的性質、平行公理推論可得

ZAEF=/BAE2CEF=NDCE,從而可得N4EC=4佐+ZDCE,再根據平行線的性質可

得NA48+N尸CQ=180。，然后根據角平分線的定義可得

NBAE=[NPAB,NDCE=:/PCD,最后根據角的和差即可得；

22

(2)過點E作EF//AB,過點。作尸Q/AB,先根據(1)可得

ZAEC=NBAE+NDCE=?(NPAB+NPCD),再根據(1)同樣的方法可得

2

ZAPC=/PAB+/PCD,由此即可得出結論；

（3）過點E作EF//AB,過點P作PQ〃AB,先根據（1）可得/948+/28=2乙4反1,

再根據平行線的性質、平行公理推論可得422=180。-/幺良然

后根據角的和差、等量代換即可得出結論.

【詳解】

解：（1）如圖，過點E作EF//AB,

；.ZAEF=NBAE,

QAB//CD,

EF//CD,

:.NCEF=NDCE,

ZAEC=ZAEF+ZCE