南昌中學(xué)2024—2025學(xué)年度下學(xué)期5月考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，共40.0分。1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，則?U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}【答案】A

【解析】【分析】本題考查集合的運(yùn)算，考查并集、補(bǔ)集定義等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．

利用并集定義先求出M∪N，由此能求出?U【解答】

解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，

∴M∪N={1,2,3,4}，

∴?U(M∪N)={5}．2.設(shè)命題p:?n∈N，n2>2n+5，則p的否定為(

)A.?n∈N，n2>2n+5 B.?n∈N，n2=2n+5

C.?n∈N，n2【答案】D

【解析】解：命題，

則p的否定為?n∈N,n2?2n+5．

故選：3.記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a7=6A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件求出首項(xiàng)和公式，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式求和即可．【解答】

解：設(shè)公差為d，

∵a3+a7=6，a12=17，

∴a1+2d+4.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a+b=3，則2a+2bA.6 B.42 C.2【答案】B

【解析】【分析】本題考查基本不等式的性質(zhì)與運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)與冪的運(yùn)算性質(zhì)，有2a+2【解答】

解：因?yàn)?a>0，2b>0，

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)有2a+2b≥22a?2b=22a+b，

又由a+b=35.若冪函數(shù)f(x)=(m2?2m?2)?xm在A.8 B.3 C.?1 D.1【答案】D

【解析】【分析】本題考查了冪函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，列方程求出m的值，再驗(yàn)證m是否滿足題意．【解答】

解：函數(shù)f(x)=(m2?2m?2)xm為冪函數(shù)，

則m2?2m?2=1，解得m=?1或m=3，

當(dāng)m=?1時，f(x)=x?1，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，滿足題意，

當(dāng)m=3時，f(x)=x3，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不滿足題意，

所以m=?1，

6.已知關(guān)于x的不等式ax?bx+c≥0的解集為?∞,1∪2,+∞，則錯誤A.a=2b

B.c=?1

C.a+1b的最小值為2

D.ax【答案】A

【解析】【分析】本題考查分式不等式，由基本不等式求最值或取值范圍，解不含參的一元二次不等式，屬于中檔題．

根據(jù)分式不等式解集得c=?1，a>0，且b=2a，再應(yīng)用基本不等式和一元二次不等式的解法判斷各項(xiàng)正誤．【解答】解：由題設(shè)(ax?b)(x+c)≥0x+c≠0，其解集為所以c=?1，a>0，且ba=2，即b=2a，A錯，故a+1b=a+12aax2+bx=ax2+2ax>0?x2+2x>0?x<?2故選：A7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4?x)，且f(x)在[?2,2]上單調(diào)遞增.設(shè)a=f(74)，b=f(72)A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a【答案】D

【解析】【分析】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題．

根據(jù)條件得函數(shù)的周期為8，化簡b，c，由單調(diào)性可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】

解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)=f(4?x)，

∴fx+4=f?x=?fx，

∴fx+8=?fx+4=fx，

∴函數(shù)f(x)為周期為8的周期函數(shù)，

∴a=f(74)，b=f(72)=f(4?72)=f(12)8.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，x2，使得f(A.1e B.1 C.2 D.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．

利用函數(shù)的單調(diào)性得到x1=lnx【解答】

解：g(x)=x+lnx=elnx+lnx=f(lnx)，

則f(x1)=g(x2)=f(lnx2)，

易知f(x)=x+ex在R上單調(diào)遞增，所以x1=lnx2，

所以|x1?x2|=|x2?lnx2|，

令?(x)=x?lnx(x>0)，則?′(x)=x?1x，

當(dāng)x∈(0,1)時，二、多選題：本大題共3小題，共18.0分。9.若“x<2”是“?2<x<a”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】CD

【解析】【分析】本題考查充分，必要，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

先求得不等式x<2的解集，根據(jù)題意，求得a>2【解答】解：由不等式x<2，可得?2<x<2因?yàn)椤皒<2”是“?2<x<a”的充分不必要條件，所以a>2結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)C、D滿足題意．故選：CD．10.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和SnA.首項(xiàng)a1不確定 B.公比q=4 C.a2=3【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列的前3項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出q【解答】

解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=4n?1+t，

則a1=S1=40+t=t+1，則a2=S2?S111.已知定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)镽.若g(x)為偶函數(shù)，f(x)+g′(x)?2=0，f(x)?g′(4?x)?2=0，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.f(4)=2 B.g′(?4)=1

C.f(1)+f(3)=4 D.g′(?2)+f(2)=4【答案】AC

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的奇偶性及周期性，屬于較難題．

由g(x)為偶函數(shù)得出函數(shù)g′(x)是奇函數(shù)，結(jié)合已知條件可得g′(x)是周期函數(shù)，再逐項(xiàng)檢驗(yàn)可判斷．【解答】

解：因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，則g(?x)=g(x)，

兩邊求導(dǎo)得?g′(?x)=g′(x)，所以g′(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)閒(x)+g′(x)?2=0，f(x)?g′(4?x)?2=0，

所以f(x)?2=?g′(x)=g′(4?x)，

則g′(?x)=g′(4?x)，所以g′(x)=g′(4+x)，

即g′(x)的周期T=4且g′(0)=g′(4)=0，

則g′(?4)=g(0)=0，故B錯誤；

在f(x)+g′(x)?2=0中，

令x=4，可得f(4)+g′(4)?2=0，

所以f(4)=2，故A正確；

由f(x)?2=?g′(x)=g′(4?x)，

令x=2，可得g′(2)=?g′(2)，

則g′(?2)=g′(2)=0，則f(2)?2=0，即f(2)=2，

所以g′(?2)+f(2)=2，故D錯誤；

在f(x)+g′(x)?2=0中，令x=1，得f(1)+g′(1)?2=0，

在f(x)?g′(4?x)?2=0中，令x=3，得f(3)?g′(1)?2=0，

兩式相加得f(1)+f(3)?4=0，即f(1)+f(3)=4，故C正確．

故選：AC．三、填空題：本大題共3小題，共15.0分。12.等比數(shù)列{an}中，a1+a2=1，a4【答案】5

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

∵a4+a5a1+a2=q3=8，

∴q=2，

13.若函數(shù)f(x)=loga(2x?ax2)在區(qū)間【答案】(0,23]∪(1【解析】【分析】

本題主要考查已知復(fù)合函數(shù)在具體區(qū)間上單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，這種題型除了要考查復(fù)合函數(shù)同增異減的單調(diào)性外，對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，主意對數(shù)函數(shù)定義域．考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

運(yùn)用換元法令t=2x?ax??2，則y=logat.先分析t關(guān)于x的函數(shù)性質(zhì)，再對參數(shù)a分0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)同增異減的單調(diào)性可得a的取值范圍．

【解答】

解：由題意，令t=2x?ax2，則y=logat，

故t=2x?ax2>0，且a>0，可知函數(shù)定義域?yàn)?0,2a)，對稱軸為x=1a，

且在(0,1a)單調(diào)遞增，在(1a,2a)單調(diào)遞減．

?①當(dāng)0<a<1時，

∵y=logat在(0,+∞)上單調(diào)遞減，復(fù)合函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,32)上是減函數(shù)，

∴t=2x?ax2在(1,32)上單調(diào)遞增．

∴1a>1且32≤114.已知函數(shù)f(x)=(ax)2?3ax+lnx在x=1處取得極大值，

則【答案】12【解析】解：由f(x)=(ax)2?3ax+lnx定義域?yàn)?,+∞，

得f′(x)=2a2x?3a+1x=2a2x2?3ax+1x，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值，

所以f′(1)=0，即2a2?3a+1=0，即2a?1a?1=0，得a=12或a=1，

當(dāng)a=12時，f′(x)=x2?3x+22x=x?2x?12x，

f′(x)>0得x>2或0<x<1，f′(x)<0得1<x<2，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為0,1，2,+∞；單調(diào)減區(qū)間為1,2，

所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，滿足題意；

當(dāng)a=1時，四、解答題：本大題共5小題，共60.0分。15.(本小題13分)

等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9，n∈N?．

(1)求{【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d

∵a7=4，a19=2a9，

∴a1+6d=4a1+18d=2(a1【解析】本題考察了裂項(xiàng)相消法求和，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．

(1)由a7=4，a19=2a9，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a1，d16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=2，AC=23，PC=3，AE=2EP(1)在線段AC上找一點(diǎn)F，使平面BEF⊥平面PAC，求AF的長;(2)若D為PC的中點(diǎn)，求DE與平面PAB所成角的正弦值．【答案】解：(1)取AC中點(diǎn)為F，

因?yàn)锳B=BC，所以BF⊥AC，

又PC⊥平面ABC，BF?平面ABC，

所以PC⊥BF，

因?yàn)锳C?平面PAC，PC?平面PAC，AC∩PC=C，

所以BF⊥平面PAC，

因?yàn)锽F?平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAC，

此時|AF|=12|AC|=3；

(2)取AC中點(diǎn)為O，連接OB，

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB所在直線分別為x，y軸，在平面PAC內(nèi)過點(diǎn)O作PC的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0)，B(0,1,0)，P(?3,0,3)，D(?3,0,32)，E(?33,0,2)，

所以AB=(?3,1,0)，AP=(?23,0,3)，DE=(233,0,【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】17.(本小題15分)在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有m個白球，m個黑球，2個黑白相間的球，且從盒子中隨機(jī)摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為15(Ⅰ)從盒子中隨機(jī)摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率;(Ⅱ)從盒子中1次隨機(jī)取出1個球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X，求X的分布列與期望．【答案】解：(Ⅰ)方法一：由題可知2m+m+2=15，解得：m=4．

記事件A1:摸出黑球，事件A2:摸出黑白相間的球，

事件B:摸出的球上帶有黑色，

則P(A1)=410=25，P(A2)=210=15，P(B)=P(A1)+P(A2)=35．

故所求概率為P=P(A2|B)=P(A2B)P(B)=15X012P182

E(X)=0×13【解析】本題考查條件概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，屬于中檔題．

(1)先根據(jù)古典概型求出m的值，再根據(jù)條件概率的計算公式解決；

(2)列出隨機(jī)變量的分布列，再求均值．18.(本小題17分已知橢圓C:y2a2+x2b2(1)求C的方程(2)過點(diǎn)(?2,3)的直線交橢圓C于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】解：(1)由題知：b=2，由ca=53，a故C的方程為：y(2)易知PQ的斜率存在且小于0，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2k+3，k<0聯(lián)立y=kx+2k+34y2?=?27×64k>0，(k<0).設(shè)P(x1,x1+x2=?故直線AP方程為：yy1=x+2x1+2∴==故MN的中點(diǎn)為(0,3)，所以MN中點(diǎn)為定點(diǎn)得證．

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓中的定點(diǎn)問題，屬于綜合題．(1)由橢圓的幾何性質(zhì)可得標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線PQ的方程，由直線AP、AQ的方程得點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)，化簡得結(jié)果．19.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)?1，(1)求f(x)的最小值;(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥g(x)，求a的取值范圍．【答案】解：(1)f(x)的定義域?yàn)??1,+∞)，

f′(x)=ln(x+1)+1，

當(dāng)x∈(?1,1e?1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1e?1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

故f(x)min=f(1e?1)=?1e?1；

(2)令H(x)=f(x)?g(x)=(x+1)ln(x+1)?1?12ax2?2x+ex，x∈[0,+∞)，

因?yàn)閤≥0時，f(x)≥g(x)，

所以H(x)≥0恒成立，

H′(x)=ln(x+1)?1?ax+ex，

令?(x)=H′(x)，

則有?′(x)=1x+1?a+ex，

令T(x)=ex?x?1，

則T′(x)=ex?1，

當(dāng)x∈(?∞,0)時，T′(x)<0，T(x