高數b下冊試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與\(\vec{b}=(2,4,k)\)平行，則\(k=(\)\)A.3B.5C.6D.82.函數\(z=x^2+y^2\)在點\((1,2)\)處對\(x\)的偏導數為\((\)\)A.1B.2C.3D.43.二重積分\(\iint_D1dxdy\)，\(D\)是\(x^2+y^2\leq4\)，其值為\((\)\)A.\(4\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\pi\)D.\(8\pi\)4.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)，當\((\)\)時收斂A.\(p\gt0\)B.\(p\gt1\)C.\(p\lt1\)D.\(p\leq1\)5.曲線\(x=t,y=t^2,z=t^3\)在\(t=1\)處的切線方程為\((\)\)A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\)C.\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}\)D.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)6.已知\(z=f(x,y)\)，\(x=s+t\)，\(y=s-t\)，則\(\frac{\partialz}{\partials}=(\)\)A.\(\frac{\partialz}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialy}\)B.\(\frac{\partialz}{\partialx}-\frac{\partialz}{\partialy}\)C.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)D.\(\frac{\partialz}{\partialy}\)7.設\(L\)是從\((0,0)\)到\((1,1)\)的直線段，則\(\int_Lxdy\)的值為\((\)\)A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(-1\)D.08.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，則冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n\)的收斂半徑為\((\)\)A.\(R+1\)B.\(R-1\)C.\(R\)D.\(\frac{R}{2}\)9.函數\(u=xyz\)在點\((1,1,1)\)處的梯度為\((\)\)A.\((1,1,1)\)B.\((0,0,0)\)C.\((2,2,2)\)D.\((-1,-1,-1)\)10.設\(\Omega\)是由\(z=x^2+y^2\)與\(z=1\)所圍成的閉區域，則\(\iiint_{\Omega}1dxdydz\)的值為\((\)\)A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(\frac{\pi}{6}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪些是向量的運算（）A.加法B.數乘C.點積D.叉積2.對于多元函數\(z=f(x,y)\)，下面說法正確的是（）A.連續則一定可偏導B.可偏導則一定連續C.可微則一定連續且可偏導D.連續不一定可偏導3.以下哪些曲線積分與路徑無關（）A.\(\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\)，且\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)B.\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)在單連通區域內有一階連續偏導數且\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)C.\(\int_Lydx+xdy\)D.\(\int_L\sinxdx+\cosydy\)4.關于級數的性質，正確的有（）A.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，\(k\)為常數，則\(\sum_{n=1}^{\infty}ku_n\)收斂B.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)與\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)都收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)\)收斂C.去掉級數的有限項不影響級數的斂散性D.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)5.下列哪些是可微函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處取得極值的必要條件（）A.\(f_x(x_0,y_0)=0\)B.\(f_y(x_0,y_0)=0\)C.\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)且\(AC-B^2\gt0\)D.\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)且\(AC-B^2\lt0\)6.對于三重積分\(\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz\)的計算，常見的方法有（）A.直角坐標B.柱面坐標C.球面坐標D.極坐標7.冪級數的運算性質包括（）A.加減法B.乘法C.逐項求導D.逐項積分8.曲線\(x=\varphi(t),y=\psi(t),z=\omega(t)\)在\(t=t_0\)處的切線向量為（）A.\((\varphi^\prime(t_0),\psi^\prime(t_0),\omega^\prime(t_0))\)B.\(\vec{s}=\varphi^\prime(t_0)\vec{i}+\psi^\prime(t_0)\vec{j}+\omega^\prime(t_0)\vec{k}\)C.\(\frac{1}{\vert\vec{s}\vert}(\varphi^\prime(t_0),\psi^\prime(t_0),\omega^\prime(t_0))\)D.\((\varphi(t_0),\psi(t_0),\omega(t_0))\)9.多元函數\(z=f(x,y)\)的全微分\(dz\)可以表示為（）A.\(f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)B.\(\frac{\partialz}{\partialx}\Deltax+\frac{\partialz}{\partialy}\Deltay\)C.\(dz=\lim\limits_{\Deltax\to0\atop\Deltay\to0}\frac{\Deltaz}{\Deltax}\Deltax+\lim\limits_{\Deltax\to0\atop\Deltay\to0}\frac{\Deltaz}{\Deltay}\Deltay\)D.\(dz=\Deltaz\)10.已知平面\(\Pi\)的方程為\(Ax+By+Cz+D=0\)，以下說法正確的是（）A.向量\((A,B,C)\)是平面\(\Pi\)的法向量B.當\(D=0\)時，平面\(\Pi\)過原點C.平面\(\Pi\)與\(x\)軸的交點為\((-\frac{D}{A},0,0)\)（\(A\neq0\)）D.平面\(\Pi\)與平面\(A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\)垂直的充要條件是\(AA_1+BB_1+CC_1=0\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與\(\vec{b}=(0,1,0)\)的點積為\(0\)（）2.函數\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在點\((0,0)\)處不可偏導（）3.二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)，\(D\)關于\(x\)軸對稱，若\(f(x,-y)=-f(x,y)\)，則積分值為\(0\)（）4.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是收斂的（）5.函數\(z=f(x,y)\)的駐點一定是極值點（）6.曲線積分\(\int_Lf(x,y)ds\)與曲線\(L\)的方向有關（）7.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在其收斂域內可逐項求導和逐項積分（）8.一個向量在另一個向量上的投影是一個向量（）9.若函數\(z=f(x,y)\)在某區域內有二階連續偏導數，則\(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)\)（）10.空間中平面方程\(Ax+By+Cz+D=0\)（\(A,B,C\)不全為\(0\)）表示一個平面（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述向量的點積與叉積的區別。答案：點積結果是標量，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)，用于求夾角等。叉積結果是向量，\(\vec{a}\times\vec{b}\)模長為\(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta\)，方向與\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)都垂直，用于求面積等。2.求函數\(z=xy\)在點\((1,2)\)處的全微分。答案：先求偏導數，\(z_x=y\)，\(z_y=x\)。在點\((1,2)\)處，\(z_x=2\)，\(z_y=1\)。全微分\(dz=z_xdx+z_ydy=2dx+1dy\)。3.簡述判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)斂散性的比較判別法。答案：設\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)為正項級數，且\(u_n\leqv_n(n=1,2,\cdots)\)，若\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)發散。4.如何求曲線\(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\)在\(t=t_0\)處的切線與法平面方程？答案：切線向量\(\vec{T}=(x^\prime(t_0),y^\prime(t_0),z^\prime(t_0))\)，切線方程為\(\frac{x-x(t_0)}{x^\prime(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y^\prime(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z^\prime(t_0)}\)；法平面方程為\(x^\prime(t_0)(x-x(t_0))+y^\prime(t_0)(y-y(t_0))+z^\prime(t_0)(z-z(t_0))=0\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論多元函數連續、可偏導、可微之間的關系。答案：可微能推出連續且可偏導；但連續不一定可偏導，可偏導也不一定連續，可偏導也推不出可微。例如\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)連續但不可偏導；\(z=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&(x,y)\neq(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)在\((0,0)\)可偏導但不連續。2.討論如何利用二重積分計算平面圖形的面積和立體的體積。答案：平面圖形面積\(A=\iint_D1dxdy\)，\(D\)是圖形所在區域。對于立體，若底面在\(xOy\)面為\(D\)，頂為\(z=f(x,y)\geq0\)