高等數(shù)學(xué)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(+\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(f(x)=x^2\)在點(diǎn)\(x=1\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)5.函數(shù)\(y=e^x\)的原函數(shù)是（）A.\(e^x+C\)B.\(-e^x+C\)C.\(\lnx+C\)D.\(\frac{1}{x}+C\)6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\)（）A.\(\int_{b}^{a}f(x)dx\)B.\(-\int_{b}^{a}f(x)dx\)C.0D.\(f(b)-f(a)\)7.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點(diǎn)8.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)（）A.5B.10C.11D.149.曲線\(y=x^3\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的定積分值為（）A.0B.1C.2D.410.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.無間斷點(diǎn)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(1+x^2)\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.函數(shù)在\(x_0\)處有切線D.極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}\)B.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)C.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)D.\(\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}\)5.以下哪些是多元函數(shù)的極值點(diǎn)判定方法（）A.定義法B.一階偏導(dǎo)數(shù)為0C.二階偏導(dǎo)數(shù)判別法D.比較函數(shù)值大小6.向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(0,2)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(2,0)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)D.\(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)7.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）C.\(y=x^3\)D.\(y=-x^2\)8.曲線\(y=\cosx\)的周期有（）A.\(2\pi\)B.\(4\pi\)C.\(\pi\)D.\(3\pi\)9.以下屬于不定積分性質(zhì)的有（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)10.多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)表示（）A.把\(y\)看作常數(shù)，對\(x\)求導(dǎo)B.函數(shù)\(z\)沿\(x\)軸方向的變化率C.曲面\(z=f(x,y)\)與平面\(y=y_0\)交線的切線斜率D.函數(shù)\(z\)關(guān)于\(x\)的導(dǎo)數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)的原函數(shù)是\(-\frac{1}{x}+C\)。（）4.定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)及積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。（）5.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)。（）6.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec{b}=(2,4)\)平行。（）7.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)是\(2\sinx\)。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)。（）9.函數(shù)\(y=e^{-x^2}\)的圖像關(guān)于\(y\)軸對稱。（）10.多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的極值。-答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。再求二階導(dǎo)\(y^{\prime\prime}=6x-6\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y^{\prime\prime}<0\)，極大值為\(y(0)=5\)；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y^{\prime\prime}>0\)，極小值為\(y(2)=1\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。-答案：根據(jù)定積分運(yùn)算法則，\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}1dx\)。\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}1dx=[x]_0^1=1\)，所以結(jié)果為\(\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)。3.求函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。-答案：把\(y\)看作常數(shù)，對\(x\)求導(dǎo)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{x+y}\)；把\(x\)看作常數(shù)，對\(y\)求導(dǎo)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{1}{x+y}\)。4.已知向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)，\(\vec{b}=(2,1,-1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。-答案：根據(jù)向量點(diǎn)積公式，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1×2+(-1)×1+2×(-1)=2-1-2=-1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域、值域、單調(diào)性和間斷點(diǎn)。-答案：定義域?yàn)閈(x\neq1\)。值域?yàn)閈(y\neq0\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。\(x=1\)是無窮間斷點(diǎn)。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常通過求被積函數(shù)的不定積分來實(shí)現(xiàn)。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定，與積分變量字母無關(guān)。3.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)有哪些不同？-答案：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)是在其他變量固定時(shí)對某一變量求導(dǎo)，反映函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向變化率；一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)隨自變量變化的整體變化率。多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)、可微，一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)。4.討論函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的單調(diào)性、極值情況。-答案：\(y=\sinx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)遞增，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)遞減，\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)遞增，極大值\(1\)（\(x=\frac{\pi}{2}\)），極小值\(-1\)（\(x=\frac{3\pi}{2}\)）；\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)遞減，\([\pi,2\pi]\)遞增，極大值\(1\)（\(x=0,2\pi\)）