/重慶市萬州區2024-2025學年高二下冊3月月考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用求導公式和求導法則進行判斷即可.【詳解】，故A錯誤；因為是個常數，所以，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤．故選：C．2.若，則（）A. B.6 C.3 D.-3【正確答案】C【分析】由導數的定義可得；【詳解】.故選：C.3.已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如下圖所示，則該函數的大致圖象是（

）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用導數與函數的單調性之間的關系及導數的幾何意義即可做出判斷.【詳解】因為的圖像經過與兩點，即，，由導數的幾何意義可知在與處的切線的斜率為，故選項AD錯誤；由的圖象知，在上恒成立，故在上單調遞增，又在上越來越大，在上越來越小，所以在上增長速度越來越快，在上增長速度越來越慢，故選項C錯誤，因此選項B正確.故選：B.4.設函數的導函數為，滿足，則當時，與的大小關系為（）A. B. C. D.不能確定【正確答案】A【分析】構造函數，利用導數研究其單調性，注意到已知，可得為單調增函數，最后由，代入函數解析式即可得答案．【詳解】設，∵，∴∴函數為R上的增函數∵∴即∴故選：A．5.若函數在上單調遞減，則的最大值為（）A.-24 B.-12 C.24 D.12【正確答案】B【分析】由題意得恒成立，進而分離參數即可求解.【詳解】由題意得，則恒成立.因為，所以.故選：B.6.若直線與曲線相切，則（）A. B.1 C. D.【正確答案】B【分析】設切點，則，利用導數求曲線的斜率，進而可得.【詳解】設直線與曲線的切點為，故由得，故，得，故.故選：B7.設點M(，)和點N(，)分別是函數和圖象上的點，且，，若直線MN∥x軸，則M，N兩點間的距離的最小值為()A.1 B. C. D.【正確答案】D【分析】令，，求出其導函數，求得的最小值大于0，由此可知x≥0時，f(x)圖像在g(x)圖像上方，則M、N兩點間距離為，其最小值為h(x)在x≥0時的最小值．【詳解】令，，則，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故x≥0時，，∴x≥0，h(x)＞0，即，即，即f(x)＞g(x)，即f(x)圖像始終在g(x)圖像上方.由題可知，MN∥x軸時，，則，則，則，則M，N兩點間的距離為，.根據可知，M，N兩點間的距離的最小值即為.故選：D.本題關鍵是判斷f(x)與g(x)圖像在x≥0時情況，通過構造函數h(x)＝f(x)－g(x)可以判斷f(x)圖像在g(x)圖像上方，由此正好將M、N之間的距離轉化為函數h(x)的函數值，h(x)函數值的最小值即為M、N之間距離的最小值.8.已知函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求函數定義域，進而轉化為，與兩函數有兩個交點，利用導函數得到的單調性，得到函數極值和最值，畫出函數圖象，數形結合得到答案.【詳解】定義域為，故有兩個不同的根，即，與兩函數有兩個交點，其中，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，從而在處取得極大值，也是最大值，，且當時，恒成立，當時，恒成立，畫出的圖象如下：顯然要想，與兩函數有兩個交點，需要滿足，綜上：實數a的取值范圍是.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.題圖為的圖像，下列判斷中正確的是（）．A.函數在區間上是嚴格減函數B.函數在區間上是嚴格減函數C.函數在區間上是嚴格增函數D.函數在區間上是嚴格增函數【正確答案】AC【分析】借助導函數的正負即可得原函數的單調性.【詳解】對A：在區間上，則函數在區間是嚴格減函數，故A正確；對B：在區間上有正有負，故B錯誤；對C：在區間上，則函數在區間是嚴格增函數，故C正確；對D：在區間上有正有負，故D錯誤；故選：AC.10已知函數，則（）A.當時，有兩個極值點 B.，使得為單調函數C.當時， D.，的圖象恒有對稱中心【正確答案】ABD【分析】求出函數的導數，令，根據方程判別式的情況判斷A；通過取特殊值，根據導數的正負情況判斷B；求出單調遞增區間，利用單調性判斷C；利用中心對稱的意義判斷D.【詳解】函數的定義域為，求導得，對于選項A，當時，，方程有兩個不等實根，所以有兩個極值點，故A正確；對于選項B，當時，，所以函數為上增函數，故B正確；對于選項C，當時，令f′x解得或，所以函數在上單調遞增，又因為，所以，故C錯誤；對于選項D，，所以的圖象恒關于點對稱，故D正確.故選：ABD.11.關于函數，下列說法正確的是（）A.是的極小值點B.不存在正整數，使得恒成立C.函數有2個零點D.對任意兩個正實數，且，若，則【正確答案】ABD【分析】A選項，通過導數求解單調區間，驗證即可；B選項，將恒成立轉化為恒成立，利用導數知識判斷有無最小值即可；C選項，利用導數判斷函數單調性結合零點存在性定理可判斷選項正誤；D選項，將判斷選項正誤轉化為證明若，則，后通過函數單調性可證明結論.【詳解】對于A選項，函數的定義域為，函數的導數，∴時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞增，∴是的極小值點，故A正確；對于B選項，若，可得，令，則，令，則，∴在上，，函數單調遞增，上，，函數單調遞減，∴，∴，∴在上函數單調遞減，函數無最小值，∴不存在正實數，使得成立，故B正確；對于C選項，，∴，∴函數在上單調遞減，又∵，，∴函數有且只有1個零點，故C錯誤；對于D選項，由，，結合A選項可知，要證，即證，且，由函數在是單調遞增函數，所以有，由于，所以，即證明，令，則，所以在是單調遞減函數，所以，即成立，故成立，所以D正確.故選：ABD關鍵點睛：對于恒成立問題，常轉化為求解相關函數的最值；對于零點問題，常利用數形結合思想，或單調性結合零點存在性定理進行處理；對于雙變量問題，常見處理手段為利用題目條件將雙變量變為單變量問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的極小值為_____．【正確答案】【分析】求導，判斷函數的單調性求出極值.【詳解】由，，令，解得，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，當時，取得極小值，且極小值為，故答案為.13.已知函數有三個單調區間，則實數b的取值范圍為________．【正確答案】【分析】依題意，原函數的導函數方程必有兩相異實根，計算即得實數b的取值范圍.【詳解】由求導得：，因該函數有三個單調區間，則方程必有兩相異實根，則有，解得.故答案為.14.設函數，，若，，使得，則實數的取值范圍是______.【正確答案】【分析】將問題轉化為，求出，然后參變分離，構造函數，利用導數求最值即可.【詳解】由題意，，當時，，，所以；當時，，，所以，等號僅當時成立，所以.所以對，即，即.令，則，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，因此.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數在處取得極值．（1）求實數的值；（2）求函數在區間上的最小值．【正確答案】（1）3（2）?【分析】（1）求出函數的導數，根據函數在處取得極值，求出的值；再根據函數導數驗證函數的極值；（2）利用導數判斷函數的在上的單調性，求出最值.【小問1詳解】由題意得的定義域，且因為函數在處取值得極值，所以解得此時，，令得或，令得，故函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取極大值，在處取極小值，符合題意所以．【小問2詳解】由（1）得，，令，得，所以函數在單調遞增，令，得，所以函數在單調遞減，所以函數在處取極小值，所以當時，的最小值為16.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有極小值，且的極小值小于，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導，結合導數的幾何意義求在點處的切線方程；（2）分析和兩種情況，利用導數判斷單調性和極值，分析可得，構建函數解不等式即可.【小問1詳解】當時，，所以，而，所以在切線斜率，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，其中，則，①當時，恒成立，此時函數在上單調遞增，無極小值，②當時，令，可得，列表如下：0+遞減極小值遞增所以，由題意可得，即，令，則因為，所以函數在單調遞增，所以由，得，所以實數的取值范圍是.17.設函數，.（1）當時，求的單調區間；（2）令，是否存在實數，當時，函數的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）存在，【小問1詳解】當時，，，得，

令，解得，令，解得，

故的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】存在實數，使得當時，的最小值是理由如下：

因為，，所以，所以，①當時，易知在上單調遞減，所以在上的最小值為，解得，不合題意，舍去；

②當時，時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，

所以在上的最小值為，解得，滿足題意；

③當時，時，，在上單調遞減，所以在上的最小值為，解得，不合題意，舍去.

綜上，存在實數，使得當時，的最小值是.18.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，若為函數的正零點，證明.【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）先得到函數的定義域，求出導函數，然后分三種情況討論即可求得結果；（2）根據（1）中的結論得到單調區間，將不等式轉化為函數之間的關系，即可得到恒成立問題，構造新的函數，再根據導數討論單調性即可.【小問1詳解】函數的定義域為，，①當即時，，函數單調遞增，增區間為，沒有減區間；②當時，令，解得，當，則，即時，可得函數的減區間為，增區間為；③當，則，即時，可得函數的減區間為，增區間為；綜上，當時，增區間為；當時，減區間為，增區間為；當時，減區間為，增區間為；【小問2詳解】由（1）可知當時，函數的減區間為，增區間為，可知等價于.因為，為函數的正零點，所以，等價于證明，又由，令，有，可得，令，有，可得函數單調遞減，有，可得當時，.故有，可得得證.方法點睛：借助導數討論函數單調區間的方法：（1）根據函數解析式得到函數的定義域，單調區間均在定義域內討論；（2）求出函數的導函數，根據導函數的正負來判斷原函數的單調性，這個時候注意分情況討論，大多數時候需要令導函數為零求出極值；（3）本題關鍵點是利用單調性和零點定義將不等式轉化為恒成立問題，然后通過換元構造新的函數，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想和分類討論思想的應用.19.已知函數．（1）當時，求的單調遞增區間；（2）若有兩個極值點．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：．【正確答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求導，令導函數大于0，可求函數的增區間.（2）（?。┣髮ВY合換元法，把問題轉化成二次