啟光聯考理數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)4.若\(\tan\alpha=3\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則\(a_4\)的值為（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(8\)D.\(10\)6.函數\(f(x)=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((-1,1)\)D.\([-1,+\infty)\)7.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\ltb^2\)B.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)C.\(\log_2a\gt\log_2b\)D.\((\frac{1}{2})^a\gt(\frac{1}{2})^b\)8.直線\(x+y-1=0\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)9.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)10.已知\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同平面，若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\)與\(n\)的位置關系是（）A.平行B.相交C.異面D.平行或異面二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.已知數列\(\{a_n\}\)是等比數列，公比\(q=2\)，\(a_1=1\)，則下列說法正確的是（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=8\)D.\(a_5=16\)3.下列向量中，與向量\(\vec{a}=(1,-1)\)垂直的有（）A.\(\vec{b}=(1,1)\)B.\(\vec{c}=(-1,1)\)C.\(\vecfchvjxz=(1,-1)\)D.\(\vec{e}=(0,0)\)4.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.焦點坐標為\((\pm\sqrt{5},0)\)5.對于函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱D.在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調遞增6.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數，則下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+\frac{1}{a}\geq2\)C.\(b^2+c^2\geqbc\)D.\(a^2+c^2\geqac\)7.直線\(l\)過點\((1,2)\)，且斜率為\(2\)，則直線\(l\)的方程可以是（）A.\(y-2=2(x-1)\)B.\(2x-y=0\)C.\(y=2x\)D.\(2x-y+2=0\)8.已知\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)是三個不同平面，則下列命題正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(\alpha\parallel\beta\)，\(\beta\parallel\gamma\)，則\(\alpha\parallel\gamma\)C.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\alpha\)，則\(m\paralleln\)D.若\(\alpha\perp\gamma\)，\(\beta\perp\gamma\)，則\(\alpha\parallel\beta\)9.已知函數\(f(x)=x^3-3x\)，則（）A.\(f(x)\)是奇函數B.\(f(x)\)在\((-1,1)\)上單調遞減C.\(f(x)\)的極大值為\(2\)D.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則（）A.\(xy\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)C.\(x^2+y^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq\sqrt{2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=2^x\)是增函數。（）3.若\(a\)，\(b\)為實數，且\(ab=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.等差數列的通項公式是\(a_n=a_1+(n-1)d\)。（）6.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）7.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心坐標是\((0,0)\)，半徑是\(2\)。（）8.若\(m\)，\(n\)是異面直線，\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，則\(\alpha\)與\(\beta\)一定相交。（）9.函數\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）10.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的單調遞增區間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解不等式得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{6},k\inZ\)，所以單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}],k\inZ\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_n\)。答案：設公差為\(d\)，由\(a_3=a_1+2d\)，得\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((2,3)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行斜率也為\(2\)，由點斜式得\(y-3=2(x-2)\)，整理得\(2x-y-1=0\)。4.已知橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求其長軸長、短軸長、離心率。答案：\(a^2=25\)，\(a=5\)，長軸長\(2a=10\)；\(b^2=9\)，\(b=3\)，短軸長\(2b=6\)；\(c^2=a^2-b^2=16\)，\(c=4\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^2-2x+3\)在不同區間的單調性。答案：函數\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，其對稱軸為\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上，\(x\)增大時\(y\)減小，函數單調遞減；在\((1,+\infty)\)上，\(x\)增大時\(y\)增大，函數單調遞增。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓方程得方程組，消元后看判別式\(\Delta\)，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論等比數列的性質及應用場景