專題20構(gòu)造相似三角形的技巧（解析版）

技巧一做平行線構(gòu)造“A”型相似

典例1（邵陽(yáng)中考）如圖1所示，在AABC中，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線與AB,8c的延長(zhǎng)線分

別相交于點(diǎn)M,N.

【問(wèn)題引入】

AM1CN

（1）若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，=-，求—的值；

BM3BN

溫馨提示：過(guò)點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

【探索研究】

4一口―二人八十AMBNCO

（2）右點(diǎn)07HAe上任懸一點(diǎn)（不與A,C重口），求證：—-—--=1；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖2所示，點(diǎn)尸是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，射線AP,BP,CP分別交BC,AC,A3于點(diǎn)。，E,F,

若色/券/求篝的值.

BGABrNGAM_

思路引領(lǐng)：（1）作AG〃阿交BN延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,證AABGsAMBN得訴=蔬,即--=----，同理

BNMB

,,.NGA0，,人2一一CNNG4"_"口心…

由△ACGs/XOCN得一=—，結(jié)合AO=CO得NG=CN,從而由一=—=—可得答案;

CNCOBNBNBM

NGAMCOCN,AMBNCONGBNCN

（2）由一知一?一?一----,----,----=1;

BN~MB、AONGMBNCOABNNCNG

,j—“上一4FBCDP—CBDP,,AFBCDPAE

（3）由（2）知，在△A3。中有—,—?—=1、在△ACZ）中有—?—?—=1,從而—?—,—

BFCDPAECBDPABFCDPAEC

CBDP皿…AEAFBCBDAFBD1

--,，據(jù)此知=---,--?---=--?---

BDPA--------ECBFCDCBFBCD6

解：（1）方法一：過(guò)點(diǎn)A作MN的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

.AMNG1

"BM—BN-3’

設(shè)NG=x,則BN=3x,

是AC中點(diǎn)，5.AG//MN,

二?ON是△ACG中位線,

：.CN=NG=x,

.CN1

''BN—3；

方法二：過(guò)點(diǎn)A作AG〃MN交BN延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

:?NG=/BNM,

又/B=NB,

：.叢ABGs叢MBN,

.BGAB

?'BN~MB'

.吧.AB.

,?嬴-1=麗-匕

,BG-BN=AB-MB即竺="

BNMB'BNMB'

—一一,NGAO

同理，在△ACG和△OCN中，—=—,

CNCO

?COCN

AO~NG'

???O為AC中點(diǎn)，

：.AO=COf

:.NG=CN,

CNNGAM1

BN~BN~BM~3

NGAMCOCN

(2)由(1)知,

BNMB^AO~NG

AMBNCONGBNCN(

MBNCOA-BNNCNG一；

(3)在△ABO中，點(diǎn)尸是AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線與AC、5。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,

,AFBCDP

由(2)得/a—?—?—二］,

BFCDPA

在△AC。中，點(diǎn)尸是AO上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線與AC、的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)及B,

AECBDP

由t(2)得7一?—?—

ECBDPA

-A--F-?-B--C-?-D--P---A--E-?-C--B-?-D--P-

BFCDPA~ECBDPA

AEAFBCBDAFBD111

,-??——?——x一一一

EC~BFCDCB~FBCD~32-6，

總結(jié)提升：本題主要考查相似三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及比例式的基本性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練

1.（2022?鄲都區(qū)模擬）如圖，已知：正方形ABC。，點(diǎn)￡在的延長(zhǎng)線上，連接AE、DE,DE與邊AB

交于點(diǎn)F,FG〃BE交AE于點(diǎn)、G.

（1）求證：GF=BF；

(2)若EB=1,BC=4,求AG的長(zhǎng);

（3）在BC邊上取點(diǎn)M,使得連接AM交。E于點(diǎn)O.求證：FO-ED=OD'EF.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AQ〃8C,AB//CD,AD=CD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例

式，等量代換即可;

（2）根據(jù)勾股定理求出AE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

GFFH

⑶延長(zhǎng)GF交AM于H,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到康=由于BM=BE,得到GF=FH,

由GF//AD,得至夠=黑，*=券等量代換得至喘二黑即葛=券，于是得到結(jié)論?

證明：（1）?四邊形ABC。是正方形,

：.AD//BC,AB//CD,AD=CD9

,:GF〃BE,

J.GF//BC,

C.GF//AD,

.GFEF

?.—,

ADED

u

：AB//CDf

BFEF

CD~ED

9

：AD=CDf

：.GF=BF；

(2)?:EB=T,3C=4,

DFBC___________

J—=—=4,AE=7EB2+482=Vy17,

FEEB

AGDF

—=—=4,

GEFE

?"—4/17

??ACJ—;

(3)延長(zhǎng)G/交AM于H,9：GF//BC,

C.FH//BC

tGFAF

?'BE~AB"

?GFAF

99BE~AB"

?；BM=BE,

:?GF=FH,

9：GF//AD,

.EFGFFHFO

??ED~AD"AD-OD

.EF_FH

*9ED~AD

.FEFO

??ED~OD

:?FO?ED=OD*EF.

總結(jié)提升：本題主要考查平行線分線段成比例及正方形的性質(zhì)，掌握平行線分線段中的線段對(duì)應(yīng)成比例是

解題的關(guān)鍵，注意利用比例相等也可以證明線段相等.

2.（2018?黃石）在△A5C中，E、尸分別為線段A3、AC上的點(diǎn)（不與A、B、。重合）.

（1）如圖1,若EF〃BC,求證:

SAABCAB'AC

（2）如圖2,若E尸不與BC平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)如圖3,若所上一點(diǎn)G恰為△ABC的重心，—-求也理的值.

AB4SAABC

ZE

(詬)2即可得證;

⑵分別過(guò)點(diǎn)F、C作A3的垂線，垂足分別為N、H,據(jù)此知△ARVs△AS,得變=—,根據(jù)衛(wèi)空

CHACSAABC

1

-AE-FN

1------即可得證;

-ABCH

2

(3)連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)連接BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M連接MN,由重心性質(zhì)知SAABM=S

AG2AFS“EGAEAG1S^AFGAG-AF2

△A"俞設(shè)獲i利用⑵中結(jié)論知=~a,從而

^LABMAB'AM2S-CMAM-AC3

得寢=當(dāng)箸2=結(jié)合需=凜/可關(guān)于"的方程，解之求得「的值即

可得出答案.

解：(1)'JEF//BC,

△AEFS^ABC,

AEAF

AB-AC

SAAEF_(些)2_AE_AF_4ESF

S"BC―~ABAC~ABAC

(2)若E尸不與BC平行，(1)中的結(jié)論仍然成立,

圖1

分別過(guò)點(diǎn)RC作的垂線，垂足分別為N、H,

■:FN2AB、CHLAB,

：.FN//CH,

：.AAF^AACH,

.FNAF

??,

CHAC

1

.S〉A(chǔ)EF2AE，F(xiàn)NAE'AF

.?■=1,?="■

S^ABC-ABCHAB-AC

(3)連接AG并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)M,連接5G并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,連接MN,

則MN分別是3C、AC的中點(diǎn),

：.MN//AB,且

GMGN1

且SAABM=SAACM,

GA~GB~2

AG2

AM~3’

設(shè)竺=〃,

AC

S"EGAE,AG321S△力FGAG-AF2

由(2)知:AM-AC—3a

SLABMAB'AM432^,ACM

則織空S“EG+S"FG--S-"-E--G--+.--S--^-A-F-G--=~1+.—1

S^ABC2s—CM2s"BM2s"CM43

而三=世竺=匕

S-BCAB'AC4

：.-1+-1a=la

434

解得：〃=耳,

.S"EF_2x2___9

ABC4520

總結(jié)提升：本題主要考查相似形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形

重心的定義及其性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

技巧二做平行線構(gòu)造“X”型相似

典例2（2021春?招遠(yuǎn)市期末）探究：某學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：如圖①，在△ABC中，點(diǎn)。在線

段BC上，ZBAO=30°,ZOAC=75°，AO=3V3,BO：CO=1：3,求AB的長(zhǎng).

經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)8作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接BD如圖②所示，通過(guò)構(gòu)造

就可以解決問(wèn)題.

請(qǐng)你寫(xiě)出求AB長(zhǎng)的過(guò)程.

應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，AC±AD,ZABC=ZACB=15°,

BO：0。=1：3.若4?=3百，請(qǐng)你求出A2的長(zhǎng).

思路引領(lǐng)：探究：先找到利用對(duì)應(yīng)邊成比例，求出。。.再結(jié)合三角形內(nèi)角和180°即

可找到最后求解.

應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)8作8E〃A。交AC于點(diǎn)E,證明△AOOs^EQg相似，求出E。、A。的長(zhǎng)度，在Rt/XAEB

中，利用勾股定理即可求解.

解：探究：-：BD//AC,

：.ZADB=ZOAC=15°.

'：ZBOD^ZCOA,

：./\BOD^/\COA,

.ODOB1

"OA~OC~3'

XVAO=3A/3,

OD=1AO=V3,

：.AD=AO+OD=4-^3.

VZBA￡)=30°,ZADB=15°,

：.ZABD=180°-/BAD-/ADB=75°^ZADB,

.'.AB=AD=4y/3.

應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)B作。交AC于點(diǎn)E,如圖所示.

'：AC±AD,BE//AD,

：.ZDAC=ZBEA=90°.

,/ZAOD=ZEOB,

：.△AODsMOB,

.BOEOBE

""DO~AO~DA'

'：BO：。。=1：3,

.EOBE1

""AO~DA~3'

VAO=3V3,

：.EO=V3,

/.AE=4V3.

VZABC=ZACB=75°,

AZBAC=30°,AB=AC,

：.AB=2BE.

在RtZkAEB中，BE1+AE2=AB2,即（4百）2+BE2=（2BE）2,

解得：BE=4,

：.AB=2BE=8.

總結(jié)提升：本題考查了三角形相似判斷和性質(zhì)的應(yīng)用，以及勾股定理等知識(shí)，比較綜合，關(guān)鍵在于熟悉

各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系是關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2019?樂(lè)山）在△ABC中，已知。是BC邊的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，過(guò)G點(diǎn)的直線分別交A3、AC

于點(diǎn)E、F.

BECF

（1）如圖1,當(dāng)。時(shí)，求證：一+—=1；

AEAF

（2）如圖2,當(dāng)EF和不平行，且點(diǎn)從廠分別在線段A3、AC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果

成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)尸在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立,

請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)三角形重心定理和平行線分線段成比例解答即可；

(2)過(guò)點(diǎn)A作交跖的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FE、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)得出△比!/￡/△⑷VE,

△CMFs^ANF,得出比例式解答即可；

(3)分兩種情況：當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，E為A8中點(diǎn)，BE=AE；點(diǎn)廠在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE>AE,

BEBECFBECF

得出一>1,則一+—>1,同理：當(dāng)點(diǎn)E在A3的延長(zhǎng)線上時(shí)，一+—>1,即可得出結(jié)論.

AEAEAFAEAF

(1)證明：TG是△A3C重心，

.DG_1

??—

AG2

又?：EF//BC,

BEDG1CFDG1

——---———-—-—

AE—AG~2AF一AG一2

BECF_11

則一+-十——1;

AEAF~22.

(2)解：(1)中結(jié)論成立，理由如下：

如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AN〃5c交舟的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FE、C5的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

則△BMES/XANE,XCMFS叢ANF,

BEBMCFCM

AE-AN'AF~AN'

BECFBMCMBM+CM

:--+—=---+---=--------,

AEAF~ANAN~AN'

又BM+CM=BM+CD+DM,

而。是8C的中點(diǎn)，即30=8,

Z.BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,

BECF2DM

AEAFAN'

「DMDG1

又■:-----=--=-，

ANAG2

BECF1

，一+—=2X-=1,

AEAF2

故結(jié)論成立；

(3)解：(1)中結(jié)論不成立，理由如下：

當(dāng)尸點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，石為A3中點(diǎn)，BE=AE,

點(diǎn)廠在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE>AE,

BE,BECF

—>1,則一+—>1,

AEAEAF

BECF

同理：當(dāng)點(diǎn)E在A3的延長(zhǎng)線上時(shí)'至+而>1,

總結(jié)提升：此題是相似三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形重心定理、平行線分線

段成比例定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握三角形的重心定理和平行線分線段成比例定理，證明三

角形相似是解題的關(guān)鍵.

2.(2021秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市期中)如圖1,在△ABC中，AB=AC,。為8c邊上一點(diǎn)，BD=2DC,E為線段A。

上一點(diǎn)，NBED=NBAC.

(1)求證：ZABE^ZCAD；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CF〃BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,試探索AE與CF的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖2,^AD=BD,AB=6,求CE的長(zhǎng).

A

思路引領(lǐng)：(1)利用三角形外角的性質(zhì)以及角的和差定義解決問(wèn)題即可.

(2)結(jié)論：AE=CF.如圖1中，在AF上截取AJ,使得證明△ABEgZkCA/(SAS),推出AE

=CJ,再證明CF=CJ即可解決問(wèn)題.

(3)如圖2中，過(guò)點(diǎn)3作于K,作C尸〃BE交的延長(zhǎng)線于R過(guò)點(diǎn)C作CQ，。尸于。.首

先證明BE=BD,CD=DF,再證明EK=DK,DQ=FQ,DK=2DQ,BK=2CQ,AE=DE=CD=CF,

利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可.

(1)證明：VZBED=ZABE+ZBAE,ZBAC=ZBAE+ZCAD,

又；NBED=/BAC,

ZABE+ZBAE=ZBAE+ZCAD,

：.ZABE=ZCAD.

(2)解：結(jié)論：AE=CF.

理由：如圖1中，在AP上截取A7,使得A/=BE.

"：BA=AC,ZABE=ZCAJ,BE=AJ,

：.AABE^ACAJ(SAS),

：.AE=CJ,ZAEB=ZAJC,

：.ZBED=ZCJF,

,JBE//CF,

:.NBEJ=NF,

：.ZCJF=ZF,

:?CJ=CF,

：.AE=CF.

(3)如圖2中，過(guò)點(diǎn)3作引CLAO于K,作交AO的延長(zhǎng)線于R過(guò)點(diǎn)。作CQ_LO產(chǎn)于0.

圖2

設(shè)NA8E=NCAO=x,ZCBE=y,

VAB=AC,DB=DA,

：.ZDBA=ZDAB=ZACB=x+y,

：.ZBED=ZABE+ZDAB=2x+y,ZBDE=ZACB+ZCAD=2x+y,

：.NBED=ZBDE,

:?BE=BD,

'：AB=CA,ZABE=ZCAD,

：.AABE^ACAD(AAS),

：.AE=CD,BE=AD,

，：CF〃BE,

：.ZF=ZBEDf

：.ZF=ZCDF,

:?CD=CF,

■:BE=BD,BK±DE,CD=CF,CQ±DF,

:?EK=KD,DQ=QF,

VCQ//BK,

：.DQ：DK=CD：BD=CQ：BK=1：2,

，可以假設(shè)。。=m，DK=2m,

?：BD=BE=AD=2CD=2CF=2AE,

*.AE=DE=4m,AD=BD=8m,

：.BK=、BD2-DK?=7(8m)2-(2m)2=2V15m,

/.CQ=V15m,

在RtZXABK中，,：AB1=A^BK1,

：.62=(2V15m)2+(6m)2,

,V6

??根=不

.?DQ=w，CQ=-—,EQ—5m=—?

VZCeE=90°,

ACE=JCQ2+EQ2=Ji炳/+(竽￥=V15.

總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角

三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

技巧三作垂線構(gòu)造直角三角形相似

典例3(2017?臺(tái)江區(qū)校級(jí)自主招生)如圖，四邊形ABCQ中，AD//BC,ZBCD=90°,AD=6,BC=3,

DELABE,AC交。E于尸.

(1)求的值；

思路引領(lǐng)：(1)過(guò)點(diǎn)8作即/_LA。于X,如圖1,易證四邊形BC0H是矩形，從而可求出加、的值，

易證44皮>64^48,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AE?AB的值；

(2)延長(zhǎng)。E、C8交于點(diǎn)G,如圖2,由(1)得：A8=3,AE>AB^18,四邊形BCL歸是矩形，則有

BH=CD=4,根據(jù)勾股定理可求出A2,根據(jù)AE?AB=18可求出AE,進(jìn)而可求出EB.由AO〃GC可得

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出BG,由此可求出GC.由AZ)〃GC可得△AF￡)S2\CFG,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出竺的值.

FC

解：(1)過(guò)點(diǎn)B作于H,如圖1,

則有印)=90°.

9：AD//BC,NBCD=90°,

AZADC=180°-ZBCD=90°,

；?NBHD=NHDC=NBCD=90°,

J四邊形8C0H是矩形，

:?HD=BC=3,

：.AH=AD-HD=6-3=3.

???￡)￡；_LA8即NAEZ)=90°,

ZAED=ZAHB.

又?.,NE4Z)=NHA3,

J△AEDS^AHB,

.AEAD

??二,

AHAB

：.AE'AB=AH'AD=3X6=18；

(2)延長(zhǎng)DE、CB交于點(diǎn)G,如圖2.

由(1)得：AH=3,AE-AB=18,四邊形BCD”是矩形,

則有BH=CD=A,AB=y/AH2+BH2=5,

..口陰187

■■AE=AB=EB=5-T=5-

U：AD//GC,

：.AAEDsABEG,

.ADAE

BGEB

BG=可

GC=可+3=

VAD/7GC,

JAAFD^ACFG,

#AFAD69

CF~CG~~S'

3

總結(jié)提升：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，通常可以

運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、線段比，應(yīng)熟練掌握.

變式訓(xùn)練

1.如圖，ZkABC中，AB=AC,E、F、G分別是3C、AB.AC上一點(diǎn)，ZFEG=2ZB.

(1)求證：NBFE=/AGE；

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC,由三角形的內(nèi)角和得到NA+2N5=180°,等量

代換得到NA+NbEG=180°,于是得至!JNA/E+NAGE=180°,即可得到結(jié)論；

MEBE1

(2)作EM±AB于M,ENJLAC于N,推出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到一=一=-，

ENEC2

通過(guò)AFMES^GNE,即可得到結(jié)論.

解：(1)'：AB=ACf

：./B=/C,

VZA+ZB+ZC=180°，

：.ZA+2ZB=180°,

■:NFEG=2NB,

：.ZA+ZFEG=180°,

/.ZAFE+ZAGE=180°,

VZBFE+ZAFE=180°,

JZBFE=ZAGE；

(2)作于M,EN_LAC于N,

'：ZB=ZC,ZEMB=ZENC,

△EMBs^ENC,

MEBE1

EN~EC~2

/EMF=/ENG,NFME=NGNE,

MFMEs4GNE,

總結(jié)提升：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵

技巧四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似

典例4（2020?浙江自主招生）如圖，在△ABC中,/B4c=60°,ZABC=90°,直線/i〃/2〃/3,h與b

之間距離是1,/2與/3之間距離是2,且/1,12,/3分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C,則邊AC的長(zhǎng)為（

34212V21

A.2V3B.VT1C.D.-------

43

BC