第18講數列求和15類

【題型一】求和思維基礎：由sn求an的關系

【典例分析】

n+l

已知數列｛斯｝的前n項和Sn=2-2.

（1）求｛◎｝的通項公式；

,?+1

⑵記b,=—,求｛及｝的前〃項和n.

an

【變式演練】

1.數列｛%｝的前〃項和為S”=7Z（2〃T）（”N*）,求凡

2

2.已知數列｛4｝的前幾項和為Sn,且滿足Sn=^.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）設數列也,｝滿足bn=」一，求數列也｝的前〃項和卻

anan+\

【題型二】錯位相消法三種思維求法

【典例分析】

（新課標1理數17題）設｛q｝是公比不為1的等比數列，%為。2，%的等差中項.

（1）求他“｝的公比；

（2）若q=1,求數列｛儂“｝的前〃項和.

【變式演練】

1.已知數列｛q｝中，/=Lan>Q,前〃項和為S,,若4=底+￡:QnwN*，且〃22）.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）記q,求數列｛c“｝的前"項和?；.

2.（系數為負的，增加了計算難度）已知數列｛%｝的前及項和為I，且a“=l-3S”.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

(2)若么=log24+l,求數列｛。也｝的前〃項和T”.

【題型三】分組求和法

【典例分析】

己知數列｛4｝的前〃項和5“=2/一〃，數歹ij｛2｝滿足410g2bn=a”+3.

(1)求數列｛%｝、｛2｝的通項公式；

(2)設C"="+-----,求數列｛%｝的前幾項和7；.

anan+l

【變式演練】

1.設數列｛a“｝滿足q=2,4+1—=3-4"(〃GN*)；

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)令b.=n+a『求數列｛2｝的前〃項和S“.

2.已知數列｛a“｝的前〃項和為S“，a“+i=3a“(〃eN*),且-3,54,9%成等差數列.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)設a=(-1)"4+”二+]),求數列｛2｝的前n項和T?.

【題型四】求和難點1：裂項相消基礎思維

【典例分析】

設數列｛4｝滿足：q=l,且24=a“+i+a“T(?>2),?3+?4-

(1)求｛4｝的通項公式：

(2)求數列]二一|的前幾項和.

U4+2J

【變式演練】

1.數列｛%｝中，?!%=2%1M—(〃eN*),數列｛么卜滿足N=2"

(1)求證：數列｛2｝是等差數列，并求數列｛q｝的通項公式；

2

in2

(2)設C〃=log2—，求數列〈-----卜的前幾項和，.

an"〃+1J

2.在等差數列｛“〃｝中，q=-8,a2=3%.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)設2=“02+「4n￡N)，北為數列也｝的前“項和，若<=丁求"的值.

3.已知｛%｝是公差不為零的等差數列，%=7,且%，。4，%成等比數列.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設〃=-------,求數列也｝的前"項和S’,.

an,an+l

f(“)型

【題型五】求和難點2：形如pq函數型裂項相消

【典例分析】

等差數列｛4｝滿足％=3,a2+l,%+L為+5成等比數列，數列也｝滿足仇=Lbn+i=bn+an.

(I)求數列｛4｝,也｝的通項公式；

(II)數列丁紅的前〃項和為7“，證明q<1.

也"1J

【變式演練】

a?_2a-a

1.數列｛。“｝滿足％=1,g=3且+2n+ln〃￡N*

an+2~an+\an+\~凡

(1)設以=a,'_,證明：數列也｝是等差數列；

an+l~an

(2)設c〃=(4+1),求數列｛c?｝的前n項和為sn.

aa

?n+l

2、已知各項均為正數的數列｛4｝前及項和為S“，且4=1,%+1=瘋+6:(〃eN*).

(I)求數列｛4｝的通項公式;

3

（II）設〃=晚］,求數列抄/的前〃項和北?

。"+1一］

【題型六】求和難點3：指數型裂項相消

【典例分析】

設數歹U｛%｝的前〃項和為Sn,已知q=1,an+l=2Sn+1,〃eN*.（1）求通項公式%；

⑵設a=（a+1）；:|+l）（“cN*）,數列也｝的前〃項和為力求證：

【變式演練】

1.已知數列｛q｝的前幾項和為Sn，且a,-1=2+S”對一切正整數"恒成立.

（1）求當為為何值時,數列｛4｝是等比數歹山并求出它的通項公式；

（2）在（1）的條件下，記數列一；的前〃項和為北,,求北.

\an+\+DI"”+1）

2、己知等比數列｛%｝的前幾項和為S）,，且邑=30,%，%的等差中項為1。

（1）求數列｛4｝的通項公式；

222T

（2）求（=----1----+…+

SXS2S2s3EzEz+i

【題型七】求和難點4：指數等差型裂項相消

【典例分析】

已知數列｛■的前〃項和為S”，且S“=〃2,“eN*,數列也｝滿足：4=1,%=g,且

3%2—4%+d=0,"eN*.⑴求證：數列也+1-bn｝是等比數列；

【變式演練】

（J〃

1.已知數列｛4｝滿足：6=1,—=--；數列｛〃｝是等比數列，并滿足仇=2,且乙一1,如b5-\

成等差數列.（1）求數列｛4｝,｛"｝的通項公式；

4

⑵若數列也｝的前〃項和是s“，數列｛%｝滿足%=—求證：C1+c2+...+c?<-.

3、設｛〃〃｝是等差數列，｛a｝是等比數列，公比大于。.已知4=1,打+2&=1,(〃2+〃6地4=1，a4b2=。5-

(I)求數列｛4｝,｛2｝的通項公式；(II)設4=1+/1、，S〃=CI?Q?C3……Cn(neN*).

n(n+2)

nb—b11

(i)求S,；(ii)證明ZF"=17^>r("eN*).

【題型八】求和難點5：奇偶正負型裂項相消

【典例分析】

已知正項等差數列｛4｝滿足：S：=a：+W+~+a：,其中S“是數列｛〃“｝的前〃項和.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵令?=(-)(2-1)(2%+1)，證明：4+d+L+么(五百?

【變式演練】

1.設數列｛4｝的前幾項和為S”，且⑸—l)2=a￡(〃eN)⑴求h、邑、S3的值；

(2)求出S”及數列｛4｝的通項公式；

(3)設〃=(—1)向(〃+1)2aM+](〃eN*),求數列｛2｝的前幾項和為1.

2、已知數列｛%｝滿足。1=1,￡N",+—6Z2H----1--4=%+]-1.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)若a=(T)(2〃+1),記數列也｝的前〃項和S“，求S”.

【題型九】求和難點6：裂項為“和”型以相消

【典例分析】

己知數列｛/｝中，??>0,%=1,前"項和為國,且⑸2+5“1)一⑸+SI)=2S￡T(〃22).

5

(1)求證：數列｛4｝是等差數列；

(2)設用=(一1)”7寧，求數列｛么｝的前2〃項和勤.

【變式演練】

L己知正項數列｛4｝的前"項和為sn,且s“=+ga”.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

,/i2〃+1

(2)若數列｛2｝滿足4=(-1)?7求數列｛包｝的前〃項和T”.

2、已知遞增的等差數列｛■的前幾項和為S“，工=1,邑，S3-I,梟成等比數列.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵已知包=一^3------求數列也｝的前2〃項和耳.

an+\an+2

【題型十】求和難點7：指數型裂項為“和”以相消

【典例分析】

已知數列｛%,｝滿足。,+1-24+2=0,且％=8.

(1)證明：數列｛。0-2｝為等比數列；

(2)設記數列｛包｝的前幾項和為北，若對任意的“eN*，根之北恒成立，求加的

取值范圍.

【變式演練】

1.己知數列｛%｝滿足q=2,a,+i=2q+2"+]

(1)設勿=￡,求數列｛%｝的通項公式；

(2)求數列｛4｝的前“項和S"；

6

(—1)”伍2+4〃+2)2”(、

(3)記c---------'―,求數列｛%｝的前幾項和北.

44+1

【題型十一】求和難點8：無理根式型裂項

【典例分析】

已知數列｛??｝的前項和滿足25?-nan=n［neN*),且4=3.

(1)求證：數列］昔(〃22)是常數數列；

,1

（2）設勿=—7=------/=［為數列｛"｝的前〃項和，求使7；〉2成立的最小正整數〃的值.

anyan+l~^an+lylan

【變式演練】

1.如圖所示，在/(“=?的圖像下有一系列正三角形△44+0("eN),記△AA+必的邊長為明,

(1)求數列｛4｝,｛2｝的通項公式;

______________________1______________________A/2-I

(2)若數列｛%｝滿足%=,證明：％+q+,?,+%〈

（21+么）色一+4+1）（%+2+J2

2、在①的，%，4成等差數列；②S2+2,1成等差數列；③a,.=5.+2中任選一個，補充

在下列問題中，并解答.在各項均為正數等比數列｛4｝中，前幾項和為5“，已知％=2,且______.

(1)求數列｛4｝通項公式；

(2)數列抄“｝的通項公式〃=nwN*，求數列也｝的前幾項和小

7

【題型十二】求和難點9：三項積式裂項相消

【典例分析】

已知數列｛4｝滿足q=g,4+1

1+d，/IeN*.

(1)若4=1.①求數列｛4｝的通項公式;

〃(〃+5)

②證明：對W'的2%+a2a皿+?—=12(〃+2)(〃+3)

【題型十三】求和難點10：先放縮后裂項

【典例分析】

已知數列｛/｝的前"項和為Sn,4=2,且對任意正整數小都有an+l=3s“+2,數列｛%｝滿足d=log2an.

(1)求數列｛%,｝，物,｝的通項公式；

LL…+L2

(2)求證:

星吠及一4〃

【變式演練】

1.己知數列｛4｝的前“項和為S",%=±,且當〃22時，\=J

2分T+1

(1)求數列｛q｝的通項公式；

2

(2)若勿=2。一")為‘證明：+bf+Z?4+---+^+i<j.

數列｛叫中，%=1，出=:，且,=￡：

2、nGN*,nN2).

11

⑴令〃")=neN\n>2),將/(〃)用"表示，并求｛4｝通項公式;

7

(2)令Tn=〃；+H---卜,求證：Tn<—.

6

8

【題型十四】求和難點11:利用組合數公式裂項求和

【典例分析】

己知S”為數列｛4｝的前幾項和，S2=10,S?=^an+1+2(?eN*).

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)設優=2〃(：；l)!(reN*)，數列出｝的前〃項和為7.，求證：1<7；<1.

【題型十五】求和難點12：分段數列求和

【典例分析】

已知等差數列伍“｝的前”項和為S"，數列｛4｝為正項等比數列，且4=3,4=1,&+星=12,

a5-a3=2b2.

(1)求數列｛。/和｛么｝的通項公式；

，2

—(〃為奇數)

(2)若％=S”，設｛c“｝的前"項和為T”，求心”.

.為偶數)

【變式演練】

1.已知｛《J為等差數列，也｝為等比數列，q=4=1,%=5(%—%)，佐=4(“一&).

(I)求｛4｝和也｝的通項公式；

(II)記｛4｝的前〃項和為九求證：S￡+2<S；+](〃eN*)；

(37：2)2,〃為奇數，

(III)對任意的正整數〃，設%=%""+2求數列｛c.｝的前2〃項和.

”，〃為偶數.

1%

2.設｛%｝是等差數列，｛2｝是等比數列.已知.=1,偽=2,b2=2a2,&=2%+2.

9

(1)求｛“和也｝的通項公式;

11,n=2k,

(2)數列｛c“｝滿足g=尢/eN),設數列｛(c“｝的前〃項和為S“，求%

【課后練習】

1.已知｛斯｝是等差數列，｛瓦｝是等比數列,且岳=3,加=9,ai=bi,ai4=b4.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)設金=〃〃+瓦，求數列｛。〃｝的前〃項和.

2.已知等差數列｛4｝中，2囚+〃3=12,%+2%=1+%.

(1)求數列｛叫的通項公式；

，、1112

(2)記數列｛為｝的前〃項和為S“，證明：——+-一-+LT+--<-.

?]+1J2+，J

2

3.正項數列｛叫的前n項和Sn滿足：S”(“2+?-1)S?-(H+〃)=0⑴求數列｛4｝的通項公式an；

7"+15

(2)令―數列｛bn｝的前n項和為Tn,證明：對于任意的nGN*,都有Tn〈一.

(〃+2)an64

4.已知等比數列｛4｝的前〃項和為S“(5“彳0),滿足邑，-/成等差數列，且

(1)求數列｛%｝的通項公式；

.~3ci(、

⑵設d=S+l)(a：+l)，求數列也｝的前”項和小

5.已知正項數列｛4｝滿足：q=l,o〉]=S"+i+S,,其中凡是數列｛4｝的前〃項和.

(1)求數列｛為｝的通項公式；

10

4+1'證明：4+偽+-2<5

(2)設",=

(22-1)(2a,+1)3%

6.已知等差數列｛廝｝的公差為2,前n項和為無,且Si，S2，S4成等比數列.

⑴求數列國"的通項公式；

（2）令6n=（-1尸一】」一，求數列｛勿｝的前n項和