二次根式重點綜合測試

（考試時間：120分鐘;滿分：120分）

姓名班級考號

選擇題答案

題號12345678910

答案ABCBAABCDc

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）（2023春?浙江期中）下列式子為最簡二次根式的是（）

—1

A.V14B.V12C.V4D.

【分析】根據最簡二次根式的定義，逐一判斷即可解答.

【解答】解：4、舊是最簡二次根式，故N符合題意；

B、V12=2V3,故2不符合題意；

C、"=2,故C不符合題意；

。、*=孝，故。不符合題意；

故選：A.

2.（3分）（2024秋?衢州期中）下列各式中，運算正確的是（）

2

A.3V3—V3-3B.（V3）:3

C.2+V3=2V3D.,（一2）2=-2

【分析】由二次根式的加減運算、二次根式的性質分別進行判斷，即可得到答案.

【解答】解：43V3-V3=2V3,原計算錯誤，不符合題意；

B.（V3）=3,正確，符合題意；

C、2+遮不能合并，原計算錯誤，不符合題意；

D、后藥=2,原計算錯誤，不符合題意,

故選：B.

3.（3分）（2024春?下城區校級月考）與—遍是同類二次根式的是（）

A.V6B.V9C.V12D.V18

【分析】根據同類二次根式的定義，最簡二次根式的被開方數相同，進行判斷即可.

【解答】解：V9=3,V12=2V3,V18=3V2,

：.46,炳,V12,屬中，與一聲是同類二次根式的是vn；

故選：C.

4.（3分）（2024?濱江區二模）計算：一切=（）

A.13^3B.—C.—y/3D.V3-

【分析】先把算式中的二次根式化為最簡二次根式，然后進行計算即可.

【解答】解：原式=3義當一3班

=V3—3V3

=—2V^,

故選：B.

5.（3分）（2024秋?嘉興期中）若尤為實數，在"通口爐的"口”中添上一種運算符號（在“+,-,X,

士”中選擇）后，其運算的結果為有理數，則x不可能是（）

A.4B.V3C.2-V3D.-V3

【分析】根據二次根式的加法，減法，乘法，除法法則進行計算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：/、遮+4為無理數，6—4為無理數，6X4=4行為無理數，舊+4=號為無理數，

故/符合題意；

B、V3-V3=1,運算的結果為有理數，故8不符合題意；

C>V3+2-V3=2,運算的結果為有理數，故C不符合題意；

。、舊+（-V3）=0,運算的結果為有理數，故。不符合題意；

故選：A.

6.（3分）（2024春?河東區校級月考）一個三角形的三邊長分別是倔c%,V18cm,V32cm,則此三角形的

周長為（）

A.9V2cmB.8y[2cmC.7丘cmD.6acm

【分析】根據三角形的周長公式即可得到結論.

【解答】解：根據題意得，V8+V18+V32=2V2+3V2+4V2=9V2（cm）,

答：此三角形的周長為9底”?.

故選：A.

7.（3分）（2023秋?甌海區期中）如圖，已知每個小方格的邊長為1,A,B,C三點都在小正方形方格的頂

點上，則N2邊上的高等于（）

10

B-京C.V13D.Vio

【分析】利用網格的特征和勾股定理求得△NBC的面積和線段N2的長度，再利用三角形的面積公式解

答即可.

111

【解答】解：△A8C的面積=3乂4-5*2乂2-5義4義1-5*3乂3=2=5,

AB=422+32=V13,

設48邊上的高為h,

1

.'.-AB9h=5,

1_

.,.~V1t3/z=5,

10

.?"=后

故選：B.

8.（3分）（2023秋?義烏市月考）下面是嘉琪同學做的練習題，她做對了（）道.

填空題：

（1）"的相反數是-2；

（2）算術平方根等于它本身的數有0和1；

（3）|3-TT|=3-it：

（4）-1的倒數是條

N92

（5）近似數5.2萬精確到了千位；

（6）已知-11=0，貝Ua+6=2.

A.5B.4C.3D.2

【分析】根據算術平方根的性質，相反數的性質，倒數的性質，絕對值的性質，近似數的有效數字，非

負數的性質進行判斷便可.

【解答】解：（1）,:而=2,2的相反數是-2,

的相反數是-2,故答案正確；

（2）算術平方根等于它本身的數只有0和1兩個數，故答案正確;

(3)V3-n<0,

A|3-TT|=H-3,故答案錯誤；

⑷T=-1，

-2的倒數是-1，故答案錯誤；

\92

（5）近似數5.2萬精確到了千位，故答案正確；

（6）已知（a+3+-1|=0,貝Ua=-3,6=1,

故a+b=-2,答案錯誤；

故選：C.

9.（3分）（2024春?東陽市月考）若x=3—例海，則代數式/-6x+9的值是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【分析】將代數式化為完全平方式，再代入計算即可.

【解答】解：:尤=3—42024,

____2

：.x2-6x+9=（久一3產=（3-）2024—3）=2024,

故選：D.

10.（3分）（2023秋?鹿城區校級期中）如圖，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較

大的正方形條的面積為15,重疊部分的面積為1,空白部分的面積為4回一4,則較小的正方形面積為

（）

A.4B.2V15C.9D.4V15

【分析】根據面積可求得大正方形和陰影部分的邊長，從而求得空白部分的長；觀察可知兩塊空白部分

全等，則可得到一塊空白的面積；通過長方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長即

可求出面積.

【解答】解：,??觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，

.?.重疊部分也為正方形，

,/空白部分的面積為4VB-4,

...一個空白長方形面積=2V15-2,

:大正方形面積為15,重疊部分面積為1,

大正方形邊長=V15,重疊部分邊長=1,

，空白部分的長=W萬一1,

設空白部分寬為x,可得：（后一1）x=2后一2,

解得：x=2,

???小正方形的邊長=空白部分的寬+陰影部分邊長=2+1=3,

小正方形面積=32=9,

故選：C.

填空題（每小題3分，共6小題，共18分）

11.（3分）（2024春?十堰期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x22

【分析】根據二次根式有意義的條件，可得x-220,解不等式求范圍.

【解答】解：根據題意，使二次根式有意義，即x-2'O,

解得x\2；

故答案為：x22.

12.（3分）（2024?湖北一模）當x<l時，,/rx-iy=1-x.

【分析】利用二次根式的性質化簡求出即可.

【解答】解：'：x<l,

'-yj（x—l）2=1-X.

故答案為：1-X.

13.（3分）（2024春?椒江區月考）已知y=Vx—3+-3—x+8,求短3=_2V6_.

【分析】根據二次根式有意義求出x,y的值即可.

【解答】解：：y=V^3+用人+8,

.,.x-320,3-x20,

解得：x=3,

?'?y=8,

?'?y/xy——3x8=2V6.

故答案為：2V6.

14.（3分）（2024?寧波模擬）已知Q=&+1,b=V2—1,則。2+62+3〃6=9.

【分析】先計算a+b和仍的值，再利用完全平方公式得到層+y+3/=（〃+6）2+仍，然后利用整體代

入的方法計算.

【解答】解：+1,b=42—1,

??a+6=2A/^",cib=2_1'=1>

：.a2+b2+3ab^（。+6）2+ab^（2魚）2+1=9.

故答案為：9.

15.（3分）（2024秋?柯橋區期中）如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形，面積分別為2和4,則陰影部分

的面積為2V2-2.

24

【分析】先根據正方形的面積公式得到大正方形的邊長=四=2,小正方形的邊長=金，陰影部分的

面積等于長為VL寬為2-四的矩形面積.

【解答】解：大正方形的邊長=四=2,小正方形的邊長=VL

所以陰影部分的面積=（2-V2）XV2

=2V2-2.

故答案為：2或—2.

1

16.（3分）（2024秋?江北區校級月考）若x>2,則久+—^的最小值為4.

x—2-------

1I--------------1

【分析】根據“X—2+—7+222+2（%—2）?工”，當且僅當2=—7時取等號，據此求解即

x-297x-2x-2

可.

【解答】解：由條件可知：x-2>0,

____1

.*.%-2++2=(V%—2+、x2二)之22+2=4,

當且僅當％-2=時取等號,

1

???%+-的最小值為%

X—Z

故答案為：4.

三.解答題（共8小題，共72分）

17.（6分）（2024春?溫州期中）計算:

(1)V8+V18;

(2)T+V2-r

【分析】(1)先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可;

(2)先根據二次根式的乘法法則運算，然后分母有理化，然后合并即可.

【解答】解：(1)原式=2V^+3V^

=5魚；

(2)原式=J|x^+V2(V2+1)

=3+2+V2

=5+V2.

18.(6分)(2024?寧波開學)計算：

(1)727-73+7(-3)2；

(2)V3(V2-V3)-V24-|V6-3|.

【分析】(1)根據二次根式的加減法法則計算；

(2)根據二次根式的乘法法則、絕對值的性質計算.

【解答】解：(1)V27-V3+VC-3)2

=3V3-V3+3

=2y/3+3；

(2)V3(V2-V3)-V24-|V6-3|

=V6_3_2V6_3+V6

--6.

19.(8分)(2024?浙江模擬)先化簡，再求值：2(a+V^)(a—V^)—a(a—4)+14,其中°=遍—2.

【分析】根據平方差公式、單項式乘多項式的運算法則、完全平方公式把原式化簡，把。的值代入計算

即可.

【解答】解：原式=2(a2-5)-(a2-4a)+14

=2a2-10-a2+4a+14

—a2+4a+4

=(a+2)2,

當0=正—2時，原式=(V6—2+2)2=6.

20.(8分)(2022春?慈溪市校級期中)如圖所示的RtZ\48C中，NB=90°,點P從點B開始沿民4邊以1

厘米/秒的速度向點/移動；同時，點。也從點8開始沿2c邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問：幾

秒后△尸8。的面積為35平方厘米？P、Q的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）

【分析】先設x秒后△尸20的面積為35平方厘米，那么根據路程=速度X時間，可得必=x,BQ=2x,

1,_

于是］x?2x=35,可求工=后，進而可求AP、BQ,再利用勾股定理可求尸。.

【解答】解：設x秒后△形。的面積為35平方厘米，

則有P8=x,BQ=2x,

1

依題意，得：—x*2x—35,

xi=V35,X2=-V35（負數舍去），

所以掘秒后△P80的面積為35平方厘米.

PQ=JPB2+BQ2=7x2+4N=V5%2=75義35=5療

答：短秒后△P2Q的面積為35平方厘米，P、0的距離為5近厘米.

21.（10分）（2024春?拱墅區期末）定義:若兩個二次根式加，〃滿足加?〃=",且p是有理數.則稱加與

"是關于P的美好二次根式.

（1）若加與魚是關于6的美好二次根式，求加的值；

（2）若1—'與4+V3m是關于n的美好二次根式，求m和〃的值.

【分析】（1）利用二次根式的新定義運算解答即可求解；

（2）利用二次根式的新定義運算解答即可求解.

【解答】解：（1）由題意可得，m>V2=6,

.■.m=3V2;

（2）由題意可得，（1—遍）（4+V3m）=n,

整理得，4+V3m-4V3-3m=?,

???"是有理數，加是二次根式，

，〃=4,

（V^—3）解得m--2-2y/3.

22.（10分）（2024秋?杭州月考）閱讀理解：<眄，即2<V7<3.

的整數部分為2,小數部分為V7—2.

.?.1<V7-1<2.

1的整數部分為1.

的小數部分為V7-1—1=V7—2.

解決問題：

（1）填空：聞的整數部分是5,后一3的小數部分是局-5；

（2）如果V7+1的小數部分為a,3—b的整數部分為6,求a+b—V7的值.

【分析】（1）估算出5c聞<6,2<V33-3<3,即可得解；

（2）估算出2<b<3,求出3<b+1<4,0<3-V7<l,從而得出a、6的值，代入計算即可得解.

【解答】解：（1）VV25<V33<V36,BP5<V33<6,

...聞的整數部分是5,

5—3<cV33—3<6—3,即2<533—3<3,

.1.V33一3的小數部分是聞-3-2=V33-5；

（2）VV4<V7<V9,BP2<V7<3,

/.3<V7+K4,0<3-V7<1,

a=V7+1—3=V7—2,b—0,

cz+b—V7—V7—2+0—y/j———2.

23.（12分）（2024?金華模擬）已知.=魚，6=亨，顯然仍=1，觀察下列等式：

11

P1=E+,j

11

02=l+a2+1+反=1'

11

03=1+。3+1+。3=1'

^11

+=

（1）猜想：?=1+a4l+M-1—?

?Pn=—l+an+l+bn—=——'

（2）請證明猜想②成立.

【分析】（1）①根據分式的加法法則計算即可；

②利用（1）得出的規律猜想即可得出結果；

（2）根據分式的加法法則計算即可.

【解答】解：(1)猜想：①

.11

??34=i+a4+1+a

l+b4+l+a4

一(l+a4)(l+b4)

2+a4+b4

l+a4+b4+a4b4

2+a4+b4

2+a4+b4

=1;

②P"=]+逆+]+加=1;

11

故答案為：①1;②哀薪+或茄，1;

、11L+l+a.+l2+a"+—2+/+Z/1

nn

（2）證明：Pn-1+a?+1+bn-@+1）（9+1）-a如+型+加+]-2+a+b

24.（12分）（2024春?臨平區校級月考）閱讀材料，并完成下列任務：

材料一：裂項求和

11111111

小華在學習分式運算時，通過具體運算：--=1--,—--?=-?

1.XN乙NX3233x434

111

發現規律：嬴雨=丁有（〃為正整數），并證明了此規律成立?

11111111119

應用規律：快速計算----+----+----4—+--------=1——+———H—+———=1——=—.

干?k抄"抖1x2丁2x33x49x102239101010

材料二：根式化簡

1]遮一'1J_

例—V3(V3+1)—V3(V3+1)(V3-1)—I。-0'

1]_________4_有_________111

例25V3+3V5=V15(V5+V3)=V15(V5+V3)(V5-V3)=式四一低)

任務一：化簡.

1

(1)化簡：7V5+5V7

1111

=

(2)猜想：(2n+i)V2n-l+(2n-l)V2n+T—2—V2n+1-V2n-1--(〃為正整數"

任務二：應用

111_________1

(3)計算：3+V3+5V3+3V5+7V5+5V7+'"+49V47+47A/49；

任務三：探究

V3-1V5-V3V7-V5

(4)已知-1+V3+V5+V3X5+1+V5+V7+V5X7+"+

，2025_y^U^___________

比較x和了的大小，并說明理由.

1+72023+72025+72023x2025'

【分析】(1)根據題目中的例子可以寫出答案;

(2)根據例2,可以寫出相應的猜想；

(3)根據分母有理化，可得二次根式的化簡，根據二次根式的加減，即可得到