專題04一次函數目錄01理·思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。 02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）知識模塊一一次函數的相關概念知識模塊二一次函數的圖象與性質知識模塊三一次函數的應用03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（4大考點）考點一：一次函數的圖象與性質考點二：一次函數解析式的確定（含圖象變化）考點三：一次函數與方程（組）、不等式的關系考點四：一次函數的實際應用04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（4大易錯點）易錯點1：一次函數的平移易錯點2：求直線圍成的圖形面積易錯點3：一次函數探究性問題易錯點4：一次函數與幾何綜合知識模塊一一次函數的相關概念一次函數定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數.當一次函數y=kx+b中b=0時，y=kx（k為常數，k≠0）稱y是x的正比例函數，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.知識模塊二一次函數的圖象與性質知識點一：一次函數的圖象與性質1.正比例函數的圖象與性質正比例函數y=kx(k≠0)k的符號k>0k<0圖象增減性y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小位置圖象經過第一、三象限圖象經過第二、四象限2.一次函數的圖象與性質一次函數k的符號b的符號圖象分布象限圖象增減性y=kx+b

(k≠0)k>0b>0一、二、三

y隨x的增大而

增大b=0一、三b<0一、三、四k<0b>0一、二、四y隨x的增大而

減小b=0二、四b<0二、三、四知識點二：一次函數y=kx+b(k≠0)圖象的特殊點及與其他直線的交點問題（難點）分類求法直線y=kx+b與x軸的交點坐標令y=0,求出對應的x的值,即(?b直線y=kx+b與x軸的交點坐標令x=0,求出對應的y值,即(0,b)與其他直線的交點坐標解由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組,方程組的解即為兩函數圖象的交點坐標知識點三：一次函數的平移(1)-次函數y=kx+b的圖象向左平移m(m>0)個單位得y=k(x+m)+b的圖象;(2)-次函數y=kx+b的圖象向右平移m(m>0)個單位得y=k(x-m)+b的圖象;(3)一次函數y=kx+b的圖象向上平移n(n>0)個單位得y=kx+b+n的圖象;(4)一次函數y=kx+b的圖象向下平移n(n>0)個單位得y=kx+b-n的圖象.平移口訣：左加有減，上加下減知識點四：用待定系數法確定一次函數解析式用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：1）設出函數的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據已知條件(自變量與函數的對應值)代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數的一般形式中，從而得到一次函數解析式.知識點五：正比例函數與一次函數的聯系與區別正比例函數一次函數區別一般形式y=kx+b（k是常數，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）圖象經過原點的一條直線一條直線k，b符號的作用k的符號決定其增減性，同時決定直線所經過的象限k的符號決定其增減性；b的符號決定直線與y軸的交點位置；k，b的符號共同決定直線在直角坐標系的位置求解析式的條件只需要一對x，y的對應值或一個點的坐標需要兩對x，y的對應值或兩個點的坐標聯系1）正比例函數是特殊的一次函數．2）正比例函數圖象與一次函數圖象的畫法一樣，都是過兩點畫直線，但畫一次函數的圖象需取兩個不同的點，而畫正比例函數的圖象只要取一個不同于原點的點即可．3）一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位長度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．4）一次函數與正比例函數有著共同的性質：①當k>0時，y的值隨x值的增大而增大；②當k<0時，y的值隨x值的增大而減小．知識模塊三一次函數的應用知識點一：一次函數應用問題的求解思路①建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答；②利用函數并與方程(組)、不等式(組)聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用。知識點二：一次函數應用常考題型解析技巧1.利潤(費用)最值問題通過題中所給條件建立函數模型，再根據函數的增減性及自變量的取值范圍確定最值2.行程問題(1)將實際問題轉化為數學問題，分析橫、縱坐標表示的意義;(2)根據圖象確定一次函數的解析式,若是分段函數,注意自變量的取值范圍;(3)關注轉折點、交點(兩直線的交點或與坐標軸的交點)等特殊點,并弄清該點坐標表示的實際意義。3.方案選取問題方案選取問題的解題步驟(1)建立一次函數模型;(2)根據限制條件列出不等式(組),求出自變量的取值范圍,結合自變量取值范圍進行方案設計;(3)結合實際,利用函數的性質選擇最佳方案【典例1】（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊．如圖，某折扇張開的角度為時，扇面面積為、該折扇張開的角度為時，扇面面積為，若，則與關系的圖象大致是（

）A．B． C． D．【典例2】（2024·陜西安康·二模）在同一平面直角坐標系中，一次函數與正比例函數（a，b是常數，且）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中的橫、縱坐標分別為第名工人上午的工作時間和加工的零件數，點的橫、縱坐標分別為第名工人下午的工作時間和加工的零件數，．若為第名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則關于，，大小關系的表述中，正確的是（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·河北·模擬預測）下圖表示光從空氣進入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示的方式建立平面直角坐標系，并設入水前與入水后光線所在直線的函數解析式分別為，，則關于與的關系，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【典例5】（2024·天津·中考真題）若正比例函數（是常數，）的圖象經過第一、第三象限，則的值可以是（寫出一個即可）．【典例6】（2024·廣東陽江·二模）先從，，0，6四個數中任取一個數記為，再從余下的三個數中任取一個數記為．若，則正比例函數的圖象經過第一、三象限的概率是．考點二：一次函數解析式的確定（含圖象變化）【典例1】（2024·陜西·中考真題）一個正比例函數的圖象經過點和點，若點A與點B關于原點對稱，則這個正比例函數的表達式為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·山西·中考真題）生物學研究表明，某種蛇在一定生長階段，其體長是尾長的一次函數，部分數據如下表所示，則y與x之間的關系式為（）尾長6810體長45.560.575.5A． B．C． D．【典例3】（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度是所掛物體質量的一次函數．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質量為5kg時，彈簧的長度為cm，【典例4】（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標系中，一條直線與兩坐標軸圍成的三角形是等腰三角形，則該直線的解析式可能為（寫出一個即可）．【典例5】（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數，且）經過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為．【典例6】（2024·四川樂山·一模）當，是正實數，且滿足時，就稱點為“友誼點”．已知點與點都在直線上，點、是“友誼點”，且點在線段上．（1）點的坐標為；（2）若，，則的面積為．【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個邊長為1的小正方形擺放在平面直角坐標系中．若過原點的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式為．【典例8】（2024·內蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點．(1)求一次函數的解析式；(2)已知變量的對應關系如下表已知值呈現的對應規律．x…1234……8421…寫出與x的函數關系式，并在本題所給的平面直角坐標系中畫出函數的大致圖象；(3)一次函數的圖象與函數的圖象相交于C，D兩點（點C在點D的左側），點C關于坐標原點的對稱點為點E，點P是第一象限內函數圖象上的一點，且點P位于點D的左側，連接，，．若的面積為15，求點P的坐標．【典例9】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線過點，．(1)求直線的函數解析式；(2)設點在上，拋物線G：與軸交于點，（點在點右側），與軸交于點．①當時，試用含的代數式表示四邊形的面積；②當，，中有兩點與點，圍成的四邊形是平行四邊形時，求的函數解析式．考點三：一次函數與方程（組）、不等式的關系【典例1】（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（

）A．B．C．D．【典例2】（2024·山東臨沂·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示．則下列結論中：①隨的增大而增大；②；③．當時，；④關于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（2024·云南昆明·模擬預測）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．為了了解關于x的不等式的解集，某同學繪制了與（m，n為常數，）的函數圖象如圖所示，通過觀察圖象發現，該不等式的解集在數軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，為坐標原點，的兩個頂點，，點在邊上，，點為的中點，點為邊上的動點，則使四邊形周長最小的點的坐標為（）

A． B． C． D．【典例5】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知一次函數的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點，若，，則關于x的方程的解為．【典例6】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數和，當時，函數的圖象在函數的圖象上方，則a的取值范圍為【典例7】（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點.(1)求，的值；(2)當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，直接寫出的取值范圍.【典例8】（2024·陜西咸陽·模擬預測）探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數的圖象，并探究該函數性質．(1)繪制函數圖象列表：下列是x與y的幾組對應值，其中________；x…01234…y…420m02468…描點：根據表中的數值描點；連線：請用平滑的線順次連接各點，在圖中畫出函數圖象；(2)探究函數性質請寫出函數的一條性質：________________；（寫一條即可）(3)運用函數圖象及性質根據圖象，求不等式的解集．【典例9】（2023·重慶沙坪壩·二模）如圖，在四邊形中，，，過點A作于點E，，動點P從點B出發，沿運動，到達點D時停止運動．設點P的運動路程為x，的面積為．(1)請直接寫出與x之間的函數關系式以及對應的的取值范圍；(2)請在直角坐標系中畫出的圖象，并寫出函數的一條性質；(3)若直線的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖像，直接寫出當時x的取值范圍．（保留一位小數，誤差不超過0.2）【典例10】（2024·河北·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與y軸交于點A，直線與y軸，x軸交于點B，點C，與交于點，連接，已知的長為4．(1)求點D的坐標及直線的解析式；(2)求的面積；(3)若直線上有一點P使得的面積等于的面積，直接寫出點P的坐標．考點四：一次函數的實際應用【典例1】（2024·廣東·模擬預測）綜合與實踐生活中的數學：如何確定單肩包的最佳背帶長度？素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成．使用時可以通過調節扣加長或縮短單層部分的長度，使背帶的總長度加長或縮短．總長度為單層部分與雙層部分的長度和，其中調節扣的長度忽略不計．素材2：對該款單肩包的背帶長度進行測量，設雙層部分的長度是，單層部分的長度是，得到幾組數據如下表所示．雙層部分的長度2610…單層部分的長度116108100…素材3：單肩包的最佳背帶總長度與身高的比為．素材4：小明爸爸準備購買此款單肩包．爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調節到最短提在手上（背帶的傾斜忽略不計），背帶的懸掛點離地面的高度為；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為，頭頂到肩膀的垂直高度為身高的．請根據以上素材，解答下列問題：(1)如圖，在平面直角坐標系中，以所測得數據中的x為橫坐標，y為縱坐標，描出所表示的點，并用光滑曲線連接；根據圖象思考與x之間的函數表達式，并直接寫出x的取值范圍；(2)設人的身高為h，當單肩包的背帶長度調整為最佳背帶總長度時，此時人的身高h與這款單肩包背帶的雙層部分的長度x之間的函數表達式；(3)當小明爸爸的單肩包的背帶長度調整為最佳背帶總長度時，求此時雙層部分的長度．【典例2】（2024·陜西漢中·三模）在一條筆直的道路上依次有三地，小明從地跑步到達地，休息后按原速跑步到達地．小明距地的距離與時間之間的函數圖象如圖所示．(1)從地到地的距離為______；(2)求出段的函數表達式：(3)求小明距地時所用的時間．【典例3】（2024·山東青島·中考真題）為培養學生的創新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數量是用1800元購買航海模型數量的．(1)求航空和航海模型的單價；(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節”促銷：航空模型八折優惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數量不少于航海模型數量的，請問分別購買多少個航空和航海模型，學校花費最少？【典例4】（2024·吉林長春·中考真題）區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數圖象如圖所示．(1)的值為________；(2)當時，求與之間的函數關系式；(3)通過計算說明在此區間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）【典例5】（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍．【素材呈現】素材一：有兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高；素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的．【問題解決】(1)問題一：求出兩種書架的單價；(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數關系式，并求出費用最少時的購買方案；(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價元，按問題二的購買方案需花費21120元，求m的值．【典例6】（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑煙”較嚴重的燃油公交車．新能源公交車有型和型兩種車型，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．(1)求購買型和型新能源公交車每輛各需多少萬元？(2)經調研，某條線路上的型和型新能源公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次．公司準備購買10輛型、型兩種新能源公交車，總費用不超過萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，請設計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）某電腦商城準備購進兩種型號的電腦，已知每臺電腦的進價型比型多元，用萬元購進型電腦和用萬購進型電腦的數量相同．(1)兩種型號電腦每臺進價各是多少？(2)隨著技術的更新，型號電腦升級為型號，該商城計劃一次性購進兩種型號電腦共臺，型號電腦的每臺售價元．經市場調研發現，銷售型號電腦所獲利潤(萬元)與銷售量臺()，如圖所示，AB為線段，為拋物線一部分()．若這兩種電腦全部售出，則該商城如何進貨利潤最大？(利潤銷售總價總進價)易錯點1：一次函數的平移一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到：當b>0時，向上平移b個單位長度；當b<0時，向下平移|b|個單位長度平移口訣：左加有減，上加下減【典例1】（2024·陜西·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，直線向上平移個單位長度后，與直線的交點可能是（）A． B． C． D．【典例2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）將直線向下平移2個單位長度后得到直線，將直線向左平移1個單位長度后得到直線．若直線和直線恰好重合，則k的值為（

）A． B． C．1 D．【典例3】（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像分別與軸，軸交于，兩點，將直線向左平移后與軸，軸分別交于點，點．若，則直線的函數解析式為（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·湖南常德·模擬預測）已知點關于軸的對稱點為，且在直線上，把直線的圖象向右平移2個單位后，所得的直線解析式為．【典例5】（2024·四川眉山·二模）如圖，已知直線經過點A且與直線：平行，直線與軸、軸分別交于點、．(1)求直線的表達式及其與軸的交點的坐標；(2)判斷四邊形是什么四邊形？并證明你的結論．易錯點2：求直線圍成的圖形面積解題方法：1.求點---圍成圖形的頂點坐標。2.確定底邊---找到與坐標軸平行或者在坐標軸上的邊長作為底邊。作輔助線：（切割法）過點作y軸的平行線切割圖形。求出線段長。4.帶公式求出面積。S△=×底×高割補求面積（鉛垂法）：【典例1】（2024·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，O為坐標原點．若直線分別與x軸、直線交于點A、B，則的面積為（

）A．2 B．3 C．5 D．6【典例2】（2024·西藏·中考真題）將正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為．【典例3】（2024·四川涼山·中考真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于點．(1)求反比例函數的解析式；(2)把直線向上平移3個單位長度與的圖象交于點，連接，求的面積．【典例4】（2024·河北唐山·模擬預測）如圖，直線的解析式為，且與x軸交于點D，直線經過點、，直線、交于點C．(1)求直線的解析式；(2)求的面積；(3)試問：在直線上是否存在異于點C的另一點P，使得與的面積相等？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【典例5】（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，直線與x軸交于點C，與y軸交于點E，且與相交于D．點P為線段上一點（不與點D，E重合），作直線．(1)求直線的表達式及點D的坐標；(2)若直線將的面積分為兩部分，求點P的坐標；(3)點P是否存在某個位置，使得點D關于直線的對稱點恰好落在直線上方的坐標軸上．若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【典例6】（2023·遼寧沈陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+bk≠0交軸于點，交軸于點，與直線交于點，點是軸正半軸上一動點，過點作軸的垂線，與直線，分別交于點，，設點的橫坐標為．(1)求直線y=kx+bk≠0(2)當的面積為時，求的值；(3)點為軸上一動點，當為等腰直角三角形時，請直接寫出的值．【典例7】（2024·河北衡水·二模）在平面直角坐標系中，直線經過，直線與x軸交于點C，與直線交于點D．(1)求直線的函數解析式：(2)求的面積；(3)嘉淇為了更好觀看圖象，截屏該問題的圖象，如圖所示，嘉淇發現屏幕上有一位置固定的黑點M，剛好落在直角坐標系中坐標為的位置上，嘉淇通過手機的觸屏功能，在坐標原點的位置與可視范圍不改變的情況下，把截屏橫向、縱向放大相同的倍數，當直線恰好經過點M時，圖中坐標系的單位長度變為原來的a倍，直接寫出a的值．易錯點3：一次函數探究性問題【典例1】（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為0,3，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．【典例2】（2024·湖北武漢·模擬預測）正方形，，，…按如圖所示的方式放置，點，，，…和點，，，…分別在直線和軸上．已知點，點，，則的坐標是()A． B． C． D．【典例3】（2024·四川樂山·模擬預測）如圖是直線在第一象限內的一部分，其上有一點，且．過作軸于，以為圓心，為半徑作弧交于點，過作于，以為圓心，以為半徑作弧交于點；過作于；……，如此重復下去．則：（1）的縱坐標是；（2）的縱坐標是．【典例4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，直線上有點，且，，，分別過點作直線的垂線，交y軸于點，依次連接，得到，，，…，，則的面積為．（用含有正整數n的式子表示）【典例5】（2024·山東泰安·二模）如圖，直線x，點A坐標為0,1，過點A作y軸的垂線交直線l于點以為邊作等邊三角形，再過點作軸的垂線交直線于點，以為邊作等邊三角形，……，按此做法進行下去，點的坐標為．【典例6】（2024·山東菏澤·模擬預測）如圖放置的，，，，，都是以，，，，為直角頂點的三角形，點，，，，都在直線上，，點在軸上，，，則點的坐標是．

【典例7】（2024·山東東營·二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與直線交于點，過作x軸的垂線，垂足為，過作的平行線交于，過作軸的垂線，垂足為，過作的平行線交于，過作軸的垂線，垂足為按此規律，則點的縱坐標為．【典例8】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，直線的解析式為與軸交于點，與軸交于點，以為邊作正方形，點坐標為，過點作交于點，交軸于點，過點作軸的垂線交于點，連接，以為邊作正方形，點的坐標為．過點作交于，交軸于點，過點作軸的垂線交于點，連接，以為邊作正方形，，則長為．【典例9】（2024·山東東營·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交直線于點，過點作軸，交直線于點，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交直線于點；過點作軸，交直線于點，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交直線于點；過點作軸，交直線于點，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交直線于點，…，按照如此規律進行下去，點的坐標為．【典例10】（2024·山東臨沂·一模）如圖，已知直線，直線和點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，按此作法進行下去，則點的橫坐標為．易錯點4：一次函數與幾何綜合【典例1】（2024·山東濟南·模擬預測）如圖，四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點P，使它到四個頂點的距離之和最小，則P點坐標為．【典例2】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，已知直線：，直線：，直線與直線交于點A，與直線交于點B，直線與直線交于點C，與直線交于點D，連接，當是等腰直角三角形時，的值為．【典例3】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，，．點P在邊上，過點P作，垂足為D，過點D作，垂足為F．連接，取的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路徑長為．【典例4】（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，A，E為格點，B，F為小正方形邊的中點，C為，的延長線的交點．(1)的長等于___________．(2)點P在線段上，點Q在線段上，且滿足．請你用無刻度的直尺畫出點P，點Q（保留作圖痕跡，不必寫出做法）【典例5】（2024·河北秦皇島·一模）在平面直角坐標系中，點，，直線與y軸相交于點C．(1)如圖1，當A，B關于y軸對稱，且直線經過點A時，求k的值．(2)如圖2，當時，直線與線段存在交點P（不與點A，B重合），且，求m的取值范圍．【典例6】（2024·河北邢臺·模擬預測）如圖，已知直線經過點、點，點P是x軸上一個動點，過點C、P作直線．(1)求直線的表達式；(2)已知點A9,0，當時，求點P的坐標；(3)設點P的橫坐標為m，點Mx1,y1，Nx2,y【典例7】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在x上，在y軸上，的長分別是的兩個根（），于點E，交AB于點D．動點P從點A出發，以每秒一個單位長度的速度向點C運動，到點C停止，過點P作的平行線，交于點M，令的面積為s．(1)求點B的坐標；(2)求s關于t的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍；(3)在直線上是否存在點M，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【典例8】（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，梯形的下底在x軸的正半軸上，線段，的長是方程的兩個根，且，，邊長為3的正方形在梯形右側，邊也在x軸的正半軸上，點N與點C重合．(1)求線段所在直線的解析式(2)點N從點C出發以每秒1個單位長度的速度沿折線段向終點O運動，正方形也隨之運動．設運動時間為t秒，連結、，求的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍(3)在（2）的條件下，是否存在使的面積等于的面積的情況？若存在，直接寫出運動時間t的值；若不存在，請說明理由【典例9】（2024·江蘇常州·模擬預測）在學習了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學小明對特殊四邊形的探究產生了濃厚的興趣，他發現除了已經學過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創新的他大膽地作出這樣的定義：有一個內角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請你根據以上定義，回答下列問題：(1)下列關于“雙直四邊形”的說法，正確的有（把所有正確的序號都填上）；①雙直四邊形”的對角線不可能相等：②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半；③若一個“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形．(2)如圖①，正方形中，點、分別在邊、上，連接，，，，若，證明：四邊形為“雙直四邊形”；(3)如圖②，在平面直角坐標系中，已知點，，點在線段上且，是否存在點在第一象限，使得四邊形為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點的坐標，若不存在，請說明理由．【典例10】（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，在矩形中，，，E是的中點，點P沿著折線（從A點開始運動到B點結束）運動，當點P的運動路程為x時，記．(1)直接寫出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(2)在直角坐標系內畫出y的圖象，并寫出y的性質；(3)結合函數圖象，直接寫出當時，x的取值范圍．（結果取精確值）【典例11】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，點O為平面直角坐標系的坐標原點，直線交x軸于點A，交y軸于點C，點B在x軸負半軸上，連接，．(1)如圖1，求直線的解析式；(2)如圖1，點P在線段上，點Q在線段上，，點P的橫坐標為t，過點Q作軸交于點D，連接，的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不需要寫出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，過點P作交于點E，過點D作于點G，交于點F，連接交y軸于點M，連接，求點F的坐標．【典例12】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長是一元二次方程的一個根．請解答下列問題：(1)求點D的坐標；(2)若線段的垂直平分線交直線AD于點E，交x軸于點F，交于點G，點E在第一象限，，連接，求的值；(3)在（2）的條件下，點M在直線DE上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請直接寫出的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．【典例13】．（2024·北京·模擬預測）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于直線l和線段，給出如下定義：若線段關于直線l的對稱圖形是的弦（，分別為P，Q的對應點），則稱線段是關于直線l的“對稱弦”．(1)如圖，點，，，，，的橫、縱坐標都是整數．線段，，中，是關于直線的“對稱弦”的是(2)是關于直線y=kxk≠0的“對稱弦”，若點C的坐標為，且，直接寫出點D的坐標；(3)已知直線和點，若線段是關于直線的“對稱弦”，且，直接寫出的最值和相應b的值．【典例14】（2024·上海·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．(1)求拋物線解析式及點D坐標；(2)點N是y軸負半軸上的一點且，點Q在對稱軸右側的拋物線上運動，連接，與拋物線的對稱軸交于點M，連接，當平分時，求點Q坐標；(3)如圖，直線交拋物線的對稱軸于E，P是坐標平面內一點，當與全等時，請直接寫出點P坐標．【典例15】（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，函數的圖像過點和點．(1)求和的值；(2)將直線向上平移得到直線，交軸于點，交軸于點，交于點，若，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，第二象限內是否存在點，使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【典例16】（2024·四川雅安·模擬預測）將一長方形紙片放在直角坐標系中，O為原點，點C在x軸上，．(1)如圖1，在上取一點E，將沿折疊，使點O落在邊上的點D，求線段．(2)如圖2，在邊上選取適當的點M，F，將沿折疊，使點O落在邊上的點處，過點D，作垂直于于點G，交于點T．①求證：；②設，求y與x滿足的等量關系式，并將y用含x的代數式表示．(3)在（2）的條件下，當時，點P在直線上，問：在坐標軸上是否存在點Q，使以M，，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．【典例17】（2024·湖南長沙·模擬預測）在平面直角坐標系中，給出如下定義：圖形M上任意兩點之間的距離的最大值，稱為該圖形的“郡園長”，點P為圖形M上任意一點，如果點P到直線l的距離恰好等于圖形M的“郡園長”，那么點P稱為直線l的“郡園點”．圖1

圖2(1)已知圖形M為線段，其中，，則該圖形M的“郡園長”為______；(2)如圖1，x軸上方有一個等腰直角三角形，，軸，頂點A在y軸上，且在上方，，點P是線段上一點，且點P是x軸的“郡園點”，求的面積；(3)如圖2，以，B?2,0，，為頂點的正方形上始終存在點P，使得點P是直線的“郡園點”．請直接寫出b的取值范圍．【典例18】．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，是線段外一點，在的延長線上，且，因為點Q在線段上，所以點P是線段的“延長2分點”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點P是圖形的“延長2分點”，求b的最小值：(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點的等腰直角三角形上存在點P，使得點P是圖形的“延長2分點”．請直接寫出t的取值范圍．

專題04一次函數目錄01理·思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。 02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）知識模塊一一次函數的相關概念知識模塊二一次函數的圖象與性質知識模塊三一次函數的應用03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（4大考點）考點一：一次函數的圖象與性質考點二：一次函數解析式的確定（含圖象變化）考點三：一次函數與方程（組）、不等式的關系考點四：一次函數的實際應用04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（4大易錯點）易錯點1：一次函數的平移易錯點2：求直線圍成的圖形面積易錯點3：一次函數探究性問題易錯點4：一次函數與幾何綜合知識模塊一一次函數的相關概念一次函數定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數.當一次函數y=kx+b中b=0時，y=kx（k為常數，k≠0）稱y是x的正比例函數，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.知識模塊二一次函數的圖象與性質知識點一：一次函數的圖象與性質1.正比例函數的圖象與性質正比例函數y=kx(k≠0)k的符號k>0k<0圖象增減性y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小位置圖象經過第一、三象限圖象經過第二、四象限2.一次函數的圖象與性質一次函數k的符號b的符號圖象分布象限圖象增減性y=kx+b

(k≠0)k>0b>0一、二、三

y隨x的增大而

增大b=0一、三b<0一、三、四k<0b>0一、二、四y隨x的增大而

減小b=0二、四b<0二、三、四知識點二：一次函數y=kx+b(k≠0)圖象的特殊點及與其他直線的交點問題（難點）分類求法直線y=kx+b與x軸的交點坐標令y=0,求出對應的x的值,即(?b直線y=kx+b與x軸的交點坐標令x=0,求出對應的y值,即(0,b)與其他直線的交點坐標解由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組,方程組的解即為兩函數圖象的交點坐標知識點三：一次函數的平移(1)-次函數y=kx+b的圖象向左平移m(m>0)個單位得y=k(x+m)+b的圖象;(2)-次函數y=kx+b的圖象向右平移m(m>0)個單位得y=k(x-m)+b的圖象;(3)一次函數y=kx+b的圖象向上平移n(n>0)個單位得y=kx+b+n的圖象;(4)一次函數y=kx+b的圖象向下平移n(n>0)個單位得y=kx+b-n的圖象.平移口訣：左加有減，上加下減知識點四：用待定系數法確定一次函數解析式用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：1）設出函數的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據已知條件(自變量與函數的對應值)代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數的一般形式中，從而得到一次函數解析式.知識點五：正比例函數與一次函數的聯系與區別正比例函數一次函數區別一般形式y=kx+b（k是常數，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）圖象經過原點的一條直線一條直線k，b符號的作用k的符號決定其增減性，同時決定直線所經過的象限k的符號決定其增減性；b的符號決定直線與y軸的交點位置；k，b的符號共同決定直線在直角坐標系的位置求解析式的條件只需要一對x，y的對應值或一個點的坐標需要兩對x，y的對應值或兩個點的坐標聯系1）正比例函數是特殊的一次函數．2）正比例函數圖象與一次函數圖象的畫法一樣，都是過兩點畫直線，但畫一次函數的圖象需取兩個不同的點，而畫正比例函數的圖象只要取一個不同于原點的點即可．3）一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位長度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．4）一次函數與正比例函數有著共同的性質：①當k>0時，y的值隨x值的增大而增大；②當k<0時，y的值隨x值的增大而減小．知識模塊三一次函數的應用知識點一：一次函數應用問題的求解思路①建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答；②利用函數并與方程(組)、不等式(組)聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用。知識點二：一次函數應用常考題型解析技巧1.利潤(費用)最值問題通過題中所給條件建立函數模型，再根據函數的增減性及自變量的取值范圍確定最值2.行程問題(1)將實際問題轉化為數學問題，分析橫、縱坐標表示的意義;(2)根據圖象確定一次函數的解析式,若是分段函數,注意自變量的取值范圍;(3)關注轉折點、交點(兩直線的交點或與坐標軸的交點)等特殊點,并弄清該點坐標表示的實際意義。3.方案選取問題方案選取問題的解題步驟(1)建立一次函數模型;(2)根據限制條件列出不等式(組),求出自變量的取值范圍,結合自變量取值范圍進行方案設計;(3)結合實際,利用函數的性質選擇最佳方案【典例1】（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊．如圖，某折扇張開的角度為時，扇面面積為、該折扇張開的角度為時，扇面面積為，若，則與關系的圖象大致是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正比例函數的應用，扇形的面積，設該扇面所在圓的半徑為，根據扇形的面積公式表示出，進一步得出，再代入即可得出結論．掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．【詳解】解：設該扇面所在圓的半徑為，，∴，∵該折扇張開的角度為時，扇面面積為，∴，∴，∴是的正比例函數，∵，∴它的圖像是過原點的一條射線．故選：C．【典例2】（2024·陜西安康·二模）在同一平面直角坐標系中，一次函數與正比例函數（a，b是常數，且）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】此題考查了一次函數圖象與性質，先根據判斷符合條件的正比例函數圖象，再根據一次函數的圖象與系數的關系可得答案．【詳解】解：∵，∴的圖象經過二四象限，∴B，D不符合題意；A、由一次函數圖象可知，，則，故此選項符合題意；C、由一次函數圖象可知，，則，與矛盾，故此選項不符合題意；故選：A．【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中的橫、縱坐標分別為第名工人上午的工作時間和加工的零件數，點的橫、縱坐標分別為第名工人下午的工作時間和加工的零件數，．若為第名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則關于，，大小關系的表述中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查函數的圖象與性質，若為第名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，取為中點，則，若連接原點，即可轉化為過原點的直線的傾斜程度，數形結合即可得到答案．分析出的幾何意義是解答問題的關鍵．【詳解】解：若為第名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，為中點，則，連接原點，即可轉化為過原點的直線的傾斜程度，如圖所示：由過原點的直線的傾斜程度和直線與正半軸夾角大小有關，，關于，，大小關系是，故選：B．【典例4】（2024·河北·模擬預測）下圖表示光從空氣進入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示的方式建立平面直角坐標系，并設入水前與入水后光線所在直線的函數解析式分別為，，則關于與的關系，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了正比例函數的圖像與性質，解題關鍵是熟練掌握正比例函數的圖像與性質．根據函數圖像的增減性，判斷選項A、B；利用兩個函數圖像的位置關系，取橫坐標相同的點和，利用縱坐標的大小列出不等式，即可判斷選項C、D．【詳解】解：由圖像可知，隨的增大而減小，隨的增大而減小，所以，故選項A、B錯誤，不符合題意；如下圖，在兩個圖像上分別取橫坐標為的兩個點和（），則，，∵，即∴，又∵，∴，，故選項C錯誤，不符合題意，而選項D正確，符合題意．故選：D【典例5】（2024·天津·中考真題）若正比例函數（是常數，）的圖象經過第一、第三象限，則的值可以是（寫出一個即可）．【答案】1（答案不唯一）【分析】根據正比例函數圖象所經過的象限確定的符號．【詳解】解：正比例函數（是常數，）的圖象經過第一、三象限，．∴k的值可以為1，故答案為：1（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查正比例函數圖象在坐標平面內的位置與的關系．解答本題注意理解：直線所在的位置與的符號有直接的關系．時，直線必經過一、三象限．時，直線必經過二、四象限．【典例6】（2024·廣東陽江·二模）先從，，0，6四個數中任取一個數記為，再從余下的三個數中任取一個數記為．若，則正比例函數的圖象經過第一、三象限的概率是．【答案】【分析】本題考查了正比例函數的性質，列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關鍵．根據題意列表表示出所有可能得情況，然后根據正比例函數的圖象經過第一、三象限則，據此求解即可．【詳解】解：列表如下：0600000060共有12種等可能結果，其中滿足的有2種，則正比例函數的圖象經過第一、三象限的概率是．故答案為：．考點二：一次函數解析式的確定（含圖象變化）【典例1】（2024·陜西·中考真題）一個正比例函數的圖象經過點和點，若點A與點B關于原點對稱，則這個正比例函數的表達式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查正比例函數的圖象，坐標與中心對稱，根據關于原點對稱的兩個點的橫縱坐標均互為相反數，求出的坐標，進而利用待定系數法求出函數表達式即可．【詳解】解：∵點A與點B關于原點對稱，∴，∴，，設正比例函數的解析式為：y=kxk≠0，把代入，得：，∴；故選A．【典例2】（2024·山西·中考真題）生物學研究表明，某種蛇在一定生長階段，其體長是尾長的一次函數，部分數據如下表所示，則y與x之間的關系式為（）尾長6810體長45.560.575.5A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查用待定系數法求一次函數關系式，一次函數圖象上點的坐標特征，根據題意可設，利用待定系數法求出k，b即得x、y之間的函數關系式．【詳解】解：∵蛇的體長是尾長的一次函數，設，把時，；時，代入得，解得，∴y與x之間的關系式為．故選：A．【典例3】（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度是所掛物體質量的一次函數．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質量為5kg時，彈簧的長度為cm，【答案】【分析】本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式、由自變量求函數值的知識點，解答時求出函數的解析式是關鍵．設與的函數關系式為，由待定系數法求出解析式，并把代入解析式求出對應的值即可．【詳解】解：設與的函數關系式為，由題意，得，解得：，故與之間的關系式為：，當時，．故答案為：．【典例4】（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標系中，一條直線與兩坐標軸圍成的三角形是等腰三角形，則該直線的解析式可能為（寫出一個即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查的是等腰三角形的定義，一次函數的幾何應用，如圖，直線過，，再求解一次函數的解析式即可．【詳解】解：如圖，直線過，，∴為等腰直角三角形，設直線為，∴，解得：，∴直線為，故答案為：，（答案不唯一．）【典例5】（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數，且）經過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為．【答案】/0.6【分析】本題主要考查了一次函數的綜合問題，根據題意畫出圖形，求待定系數法求出的解析式，再根據直線經過點，求出，聯立兩直線求出點D的坐標，再根據靠近原點部分的面積為為等量關系列出關于k的等式，求解即可得出答案．【詳解】解：根據題意畫出圖形如下，設直線的解析式為：，把，B0,3代入，可得出：，解得：，∴直線的解析式為：，∵直線經過點，∴，∴，∴直線，聯立兩直線方程：，解得：，∴∵，B0,3，∴，，根據題意有：，即，，解得：,故答案為：．【典例6】（2024·四川樂山·一模）當，是正實數，且滿足時，就稱點為“友誼點”．已知點與點都在直線上，點、是“友誼點”，且點在線段上．（1）點的坐標為；（2）若，，則的面積為．【答案】/【分析】（1）由變式為，可知，所以在直線上，點在直線上，求得直線：，進而求得；（2）根據直線平行的性質從而證得直線與直線垂直，然后根據勾股定理求得的長，從而求得三角形的面積．【詳解】解：（1）∵且，是正實數，∴，即，∴，即“友誼點”在直線上，∵點在直線上，∴，∴直線：，∵“友誼點”在直線上，∴由解得，∴，故答案為：；（2）∵一、三象限的角平分線垂直于二、四象限的角平分線，而直線與直線平行，直線與直線平行，∴直線與直線垂直，∵點是直線與直線的交點，∴垂足是點，∵點是“友誼點”，∴點在直線上，∴是直角三角形，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了求一次函數解析式，一次函數的性質，直角三角形的判定，勾股定理的應用以及三角形面積的計算等，判斷直線垂直，借助正比例函數是本題的關鍵．【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個邊長為1的小正方形擺放在平面直角坐標系中．若過原點的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式為．【答案】【分析】此題考查了面積相等問題，用待定系數法求一次函數的解析式，解題的關鍵是利用三角形的面積公式求出AB的長．【詳解】如圖，過作于，易知，∵經過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，，而，，，∴A點坐標為，設直線解析式為，則，∴，∴直線l解析式為．故答案為：【典例8】（2024·內蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點．(1)求一次函數的解析式；(2)已知變量的對應關系如下表已知值呈現的對應規律．x…1234……8421…寫出與x的函數關系式，并在本題所給的平面直角坐標系中畫出函數的大致圖象；(3)一次函數的圖象與函數的圖象相交于C，D兩點（點C在點D的左側），點C關于坐標原點的對稱點為點E，點P是第一象限內函數圖象上的一點，且點P位于點D的左側，連接，，．若的面積為15，求點P的坐標．【答案】(1)(2)，見解析(3)點的坐標為【分析】本題考查了求一次函數的解析式、畫反比例函數的圖象、一次函數與反比例函數的綜合，熟練掌握反比例函數和一次函數的性質是解題關鍵．（1）利用待定系數法求解即可得；（2）根據表格中的規律即可得函數表達式，再利用描點法畫出函數圖象即可；（3）先求出點的坐標，再求出直線的解析式，設點的坐標為，過點作軸的垂線，交直線于點，則，然后利用三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）解：將點A?2,0，代入得：，解得，則一次函數的解析式．（2）解：由表格可知，，畫出函數圖象如下：．（3）解：聯立，解得或，∵一次函數的圖象與函數的圖象相交于，兩點（點在點的左側），∴，∵點關于坐標原點的對稱點為點，∴，設直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，設點的坐標為，如圖，過點作軸的垂線，交直線于點，則，∴，點到的距離與點到的距離之和為，∵的面積為15，∴，即，解得或（不符合題意，舍去），經檢驗，是所列分式方程的解，則，所以點的坐標為1,4．【典例9】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線過點，．(1)求直線的函數解析式；(2)設點在上，拋物線G：與軸交于點，（點在點右側），與軸交于點．①當時，試用含的代數式表示四邊形的面積；②當，，中有兩點與點，圍成的四邊形是平行四邊形時，求的函數解析式．【答案】(1)(2)①或或②或或【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可；（2）①分，，三種情況進行討論求解即可；②分與兩點組成的四邊形為平行四邊形，且點在原點右側，與兩點組成的四邊形為平行四邊形，且點在原點左側，以及當與兩點組成的四邊形為平行四邊形，三種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：設直線的函數解析式為，把，代入，得：，解得：，∴；（2）①∵點在上，∴，∵，∴當時，，令，則，解得：，設直線與軸交于點，∵，∴當時，，∴，當，即時，，則：四邊形的面積；當時，則：四邊形的面積；當，即：時，則：四邊形的面積；綜上：四邊形的面積為或或；②當與兩點組成的四邊形為平行四邊形，且點在原點右側時，如圖，則：，∴的中點坐標為，∴，兩點中點的縱坐標為，∴點坐標為，∴兩點的中點坐標為：，∴，∴，∴，∴，把代入，得：∴，即：；當與兩點組成的四邊形為平行四邊形且點在原點左側時，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；當與兩點組成的四邊形為平行四邊形時，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；綜上：或或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及到待定系數法求解析式，二次函數與拋物線的交點問題，平行四邊形的性質，等知識點，綜合性強，難度大，屬于壓軸題，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．考點三：一次函數與方程（組）、不等式的關系【典例1】（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當函數圖象位于x軸的下方的圖象即可．【詳解】解∶∵不等式的解集是，∴當時，，觀察各個選項，只有選項B符合題意，故選：B．【典例2】（2024·山東臨沂·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示．則下列結論中：①隨的增大而增大；②；③．當時，；④關于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據一次函數的性質，結合圖象，逐一進行判斷即可．【詳解】解：①、隨的增大而增大，故選項①正確；②．由圖象可知，一次函數的圖象與軸的交點在的圖象與軸的交點的下方，即，故選項②正確；③．由圖象可知：當時，，故選項③錯誤；④．由圖象可知，兩條直線的交點為，∴關于，的方程組的解為；故選項④正確；故正確的有①②④共三個，故選：C．【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質，一次函數與二元一次方程組，一次函數與一元一次不等式．從函數圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關鍵．【典例3】（2024·云南昆明·模擬預測）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．為了了解關于x的不等式的解集，某同學繪制了與（m，n為常數，）的函數圖象如圖所示，通過觀察圖象發現，該不等式的解集在數軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集，能利用數形結合求出不等式的解集是解題的關鍵．直接根據一次函數的圖象即可得出結論．【詳解】解：由一次函數的圖象可知，當時，一次函數的圖象在一次函數的圖象的下方，∴關于的不等式的解集是．在數軸上表示的解集，只有選項C符合，故選：C．【典例4】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，為坐標原點，的兩個頂點，，點在邊上，，點為的中點，點為邊上的動點，則使四邊形周長最小的點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查軸對稱—最短路線問題，等腰三角形的判定和性質，兩直線的交點坐標等知識點．根據已知條件得到，，求得，，得到，，在軸正半軸取點，使，連接交于點，連接交于，連接，，推出垂直平分，則點與點關于直線對稱，此時四邊形周長最小，E0,2，求得直線為，直線的解析式為，解方程組即可得到結論．正確的找到點的位置是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∵，點為的中點，∴，，∴，，在軸正半軸取點，使，連接交于點，連接交于，連接，，∴，∴，∵，，∴，即平分，∴，，∴垂直平分，則點與點關于直線對稱，∴，，∴，當點與點重合時，取“”號，此時四邊形周長最小，設直線為，過點，∴，解得：，∴直線為，直線的解析式為，過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，解方程組得：，∴．故選：C．

【典例5】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知一次函數的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點，若，，則關于x的方程的解為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數與一元一次方程之間的關系，難度不大，認真分析題意即可．根據一次函數與軸交點坐標可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵一次函數的圖象與軸交于點，∴當時，，即時，，∴關于的方程的解是．故答案為：．【典例6】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數和，當時，函數的圖象在函數的圖象上方，則a的取值范圍為【答案】【分析】本題主要考查了一次函數綜合．熟練掌握一次函數的圖象和性質，一次函數與不等式，分類討論，是解決問題的關鍵．可知過原點，當過點時，；當與平行時，，由函數圖象知，．【詳解】解：可知過原點，∵中，時，，∴當過點時，，得；當與平行時，得．由函數圖象知，當時，函數的圖象在函數的圖象上方，a的取值范圍為：．故答案為：．【典例7】（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點.(1)求，的值；(2)當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，直接寫出的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，一次函數圖象平行的條件，利用數形結合的思想是解決本題的關鍵．（1）將2,1代入先求出k，再將2,1和k的值代入y=kx+bk≠0即可求出b；（2）根據數形結合的思想解決，將問題轉化為當時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，畫出臨界狀態圖象分析即可．【詳解】（1）解：由題意，將2,1代入得：，解得：，將，2,1，代入函數y=kx+bk≠0中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴兩個一次函數的解析式分別為，當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，即當時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當直線與直線平行時符合題意或者當與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意，∴當直線與直線平行時，，∴當時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方時，，∴m的取值范圍為．【典例8】（2024·陜西咸陽·模擬預測）探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數的圖象，并探究該函數性質．(1)繪制函數圖象列表：下列是x與y的幾組對應值，其中________；x…01234…y…420m02468…描點：根據表中的數值描點；連線：請用平滑的線順次連接各點，在圖中畫出函數圖象；(2)探究函數性質請寫出函數的一條性質：________________；（寫一條即可）(3)運用函數圖象及性質根據圖象，求不等式的解集．【答案】(1)，圖見解析(2)函數的圖象有最低點（答案不唯一）(3)【分析】本題考查通過列表，描點，連線，畫函數圖象，通過函數圖象研究函數的性質；（1）把代入即可求出m的值；直接描點，用平滑的曲線的進行連線即可畫出函數圖象；（2）根據圖象即可求解；（3）圖象法解不等式即可．【詳解】（1）把代入，得，∴．如圖，故答案為：；（2）函數的圖象有最低點（答案不唯一）．故答案為：函數的圖象有最低點（答案不唯一）；（3）由圖象可知不等式的解集是．【典例9】（2023·重慶沙坪壩·二模）如圖，在四邊形中，，，過點A作于點E，，動點P從點B出發，沿運動，到達點D時停止運動．設點P的運動路程為x，的面積為．(1)請直接寫出與x之間的函數關系式以及對應的的取值范圍；(2)請在直角坐標系中畫出的圖象，并寫出函數的一條性質；(3)若直線的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖像，直接寫出當時x的取值范圍．（保留一位小數，誤差不超過0.2）【答案】(1)(2)畫圖見解析，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大（答案不唯一）(3)當時的取值范圍為：或【分析】（1）當點在上運動時，由，即可求解；當點在上運動時，同理可解；（2）通過取點描點連線繪制圖象即可；再觀察函數圖象即可求解；（3）觀察函數圖象即可求解；【詳解】（1）解：，，則，即，則四邊形為矩形，在中，，，則，則矩形為邊長為4的正方形，當點在上運動時，過點作于點，則，當點在上運動時，同理可得：，即；（2）當時，，當時，，當時，；將上述坐標描點連線繪制圖象如下：從圖象看，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大（答案不唯一）；（3）從圖象看，當時的取值范圍為：或．【點睛】本題是一次函數綜合題，主要考查了一次函數的性質、正方形的判別和性質、面積的計算等，其中（1），要注意分類求解，避免遺漏．【典例10】（2024·河北·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與y軸交于點A，直線與y軸，x軸交于點B，點C，與交于點，連接，已知的長為4．(1)求點D的坐標及直線的解析式；(2)求的面積；(3)若直線上有一點P使得的面積等于的面積，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)或【分析】本題主要考查了一次函數的性質及三角形面積的計算，解題的關鍵是數形結合．（1）把代入，即可求出坐標，再根據點和用待定系數法即可求出函數解析式；（2）先求出，再根據圖象即可求解；（3）設，根據或即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴將點代入得，∴；∵的長為4，∴，設直線的解析式為，將點和代入得：，解得：，故直線的解析式為；（2）解：令，得，，；（3）解：根據題意得：，設，令，得，，如圖：，解得：，或，解得：，故或．考點四：一次函數的實際應用【典例1】（2024·廣東·模擬預測）綜合與實踐生活中的數學：如何確定單肩包的最佳背帶長度？素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成．使用時可以通過調節扣加長或縮短單層部分的長度，使背帶的總長度加長或縮短．總長度為單層部分與雙層部分的長度和，其中調節扣的長度忽略不計．素材2：對該款單肩包的背帶長度進行測量，設雙層部分的長度是，單層部分的長度是，得到幾組數據如下表所示．雙層部分的長度2610…單層部分的長度116108100…素材3：單肩包的最佳背帶總長度與身高的比為．素材4：小明爸爸準備購買此款單肩包．爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調節到最短提在手上（背帶的傾斜忽略不計），背帶的懸掛點離地面的高度為；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為，頭頂到肩膀的垂直高度為身高的．請根據以上素材，解答下列問題：(1)如圖，在平面直角坐標系中，以所測得數據中的x為橫坐標，y為縱坐標，描出所表示的點，并用光滑曲線連接；根據圖象思考與x之間的函數表達式，并直接寫出x的取值范圍；(2)設人的身高為h，當單肩包的背帶長度調整為最佳背帶總長度時，此時人的身高h與這款單肩包背帶的雙層部分的長度x之間的函數表達式；(3)當小明爸爸的單肩包的背帶長度調整為最佳背帶總長度時，求此時雙層部分的長度．【答案】(1)圖見解析；；(2)(3)此時雙層部分的長度為【分析】（1）直接描點并作圖，利用待定系數法求出函數關系式，并求出的最大值和最小值；（2）根據“背帶的總長度為單層部分與雙層部分的長度和”和與之間的函數關系式，用含的代數式將背帶的總長度表示出來，再由背帶總長度與身高的比例關系列出等式，將表示為的函數的形式即可；（3）當背包的背帶調節到最短時都為雙層部分，求出此時的值，從而求出手離地面的高度；設小明爸爸的身高為未知數，根據臂展與身高的關系及肩寬，將一條胳膊的長度用身高表示出來，頭頂到肩膀的垂直高度、一條胳膊的長度、手離地面的高度之和為身高，利用此等量關系列方程求出身高，將其代入任務2中得到的函數關系式，求出對應的值即可．【詳解】（1）解：描點并作圖如圖所示：根據圖象可知，變量、滿足一次函數關系．設、為常數，且，將，和，代入，得，解得，．當背帶都為單層部分時，；當背帶都為雙層部分時，，即，解得，的取值范圍是；（2）解：∵背帶的總長度為單層部分與雙層部分的長度和，總長度為，當單肩包背帶長度調整為最佳背帶總長度時，得，∴；（3）解：由素材可知，當背包的背帶調節到最短時都為雙層部分，即，，背包提在手上，且背包的懸掛點離地面高度為，手到地面的距離為，設小明爸爸的身高為．臂展和身高一樣，且肩寬為，小明爸爸一條胳膊的長度為，，解得，根據任務2，得，解得，此時雙層部分的長度為．【點睛】本題考查一次函數的應用，涉及求一次函數解析式，畫一次函數圖象，求一次函數值，理解題意，利用待定系數法求函數關系式、求出小明爸爸的身高是本題的關鍵．【典例2】（2024·陜西漢中·三模）在一條筆直的道路上依次有三地，小明從地跑步到達地，休息后按原速跑步到達地．小明距地的距離與時間之間的函數圖象如圖所示．(1)從地到地的距離為______；(2)求出段的函數表達式：(3)求小明距地時所用的時間．【答案】(1)1500(2)段的函數表達式為；(3)小明距地時所用的時間為．【分析】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．（1）根據圖象中的數據，可以計算出從地到地的距離；（2）先計算出小明跑步的速度，即可計算出小明從地到地用的時間，從而可以寫出點的坐標，再根據點的坐標，即可得到段的函數表達式；（3）令（2）中的值為750，求出相應的的值，即可得到小明距地時所用的時間．【詳解】（1）解：由圖象可得，從地到地的距離為：，故答案為：1500；（2）解：由圖象可得，小明的跑步速度為：，小明從地到地用的時間為：，點的坐標為，設段的函數表達式為，點，在該函數圖象上，，解得，即段的函數表達式為；（3）解：令，，解得，即小明距地時所用的時間為．【典例3】（2024·山東青島·中考真題）為培養學生的創新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數量是用1800元購買航海模型數量的．(1)求航空和航海模型的單價；(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節”促銷：航空模型八折優惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數量不少于航海模型數量的，請問分別購買多少個航空和航海模型，學校花費最少？【答案】(1)航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為元；(2)當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式的實際應用：（1）設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為元，根據用2000元購買航空模型的數量是用1800元購買航海模型數量的列出方程求解即可；（2）設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型個，先根據航空模型數量不少于航海模型數量的列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關于m的一次函數關系式，利用一次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為元，由題意得，，解得，檢驗，當時，，∴是原方程的解，且符合題意，∴，答：航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為元；（2）解：設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型個，由題意得，，解得，，∵，∴y隨m增大而增大，∴當時，y有最小值，最小值為，此時有，答：當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少．【典例4】（2024·吉林長春·中考真題）區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時