PAGEPAGE8第2講用樣本估計(jì)總體基礎(chǔ)學(xué)問整合1．用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布(1)作頻率分布直方圖的步驟①求極差(即一組數(shù)據(jù)中eq\o(□,\s\up5(01))最大值與eq\o(□,\s\up5(02))最小值的差)．②確定eq\o(□,\s\up5(03))組距與eq\o(□,\s\up5(04))組數(shù)．③將數(shù)據(jù)eq\o(□,\s\up5(05))分組．④列eq\o(□,\s\up5(06))頻率分布表．⑤畫eq\o(□,\s\up5(07))頻率分布直方圖．(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的eq\o(□,\s\up5(08))中點(diǎn)，就得頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著eq\o(□,\s\up5(09))樣本容量的增加，作圖時(shí)eq\o(□,\s\up5(10))所分的組數(shù)增加，eq\o(□,\s\up5(11))組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．(3)莖葉圖莖是指eq\o(□,\s\up5(12))中間的一列數(shù)，葉是從莖的eq\o(□,\s\up5(13))旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)．2．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)．(3)平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(□,\s\up5(14))eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平．(4)標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s＝eq\o(□,\s\up5(15))eq\a\vs4\al(\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2])).(5)方差：s2＝eq\o(□,\s\up5(16))eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是樣本平均數(shù))．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．1．(2024·全國卷Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)當(dāng)用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.2．一個(gè)樣本的頻率分布表如下，則下列選項(xiàng)中正確的是()A．M＝80 B．m＝40C．n＝0.42 D．0<N<1答案C解析由已知，得M＝eq\f(2,0.02)＝100，所以m＝100－2－4－37－15＝42，n＝eq\f(m,M)＝eq\f(42,100)＝0.42，N＝0.02＋0.04＋0.37＋0.15＋0.42＝1，故選C.3．(2024·南寧模擬)如圖是甲、乙兩人在10天中每天加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖，若這10天甲加工零件個(gè)數(shù)的極差為a，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為b，則a＋b＝________.答案40解析由莖葉圖，知甲加工零件個(gè)數(shù)的極差a＝35－18＝17，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)b＝eq\f(1,10)×(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23，則a＋b＝40.4．如圖是某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品長(zhǎng)度(單位：mm)檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的平均長(zhǎng)度為________mm.答案22.75解析依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的平均長(zhǎng)度為(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75mm.5．(2024·沈陽模擬)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參與某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成果如下表(單位：環(huán))：假如甲、乙兩人中只有1人入選，那么入選的最佳人選應(yīng)是________．答案甲解析eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9環(huán)，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)>seq\o\al(2,甲)，故甲更穩(wěn)定，故填甲.核心考向突破考向一頻率分布直方圖的應(yīng)用例1(1)(2024·秦皇島模擬)某商場(chǎng)在國慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對(duì)10月1日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為3萬元，則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為()A．8萬元B．10萬元C．12萬元D．15萬元答案C解析由頻率分布直方圖知，9時(shí)至10時(shí)的銷售額的頻率為0.1，故銷售總額為eq\f(3,0.1)＝30萬元．又11時(shí)至12時(shí)的銷售額的頻率為0.4，故銷售額為0.4×30＝12萬元．故選C.(2)為了解某校高三學(xué)生聯(lián)考的數(shù)學(xué)成果狀況，從該校參與聯(lián)考學(xué)生的數(shù)學(xué)成果中抽取一個(gè)樣本，并分成五組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組至第五組的頻率之比為1∶2∶8∶6∶3，第五組的頻數(shù)為6，則樣本容量為________．答案40解析因?yàn)榈谝唤M至第五組的頻率之比為1∶2∶8∶6∶3，所以可設(shè)第一組至第五組的頻率分別為k,2k,8k,6k,3k，又頻率之和為1，所以k＋2k＋8k＋6k＋3k＝1，解得k＝eq\f(1,20)＝0.05，所以第五組的頻率為3×0.05＝0.15，又第五組的頻數(shù)為6，所以樣本容量為eq\f(6,0.15)＝40.觸類旁通應(yīng)用頻率分布直方圖應(yīng)留意的問題(1)頻率分布直方圖是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律．2圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，它直觀反映了數(shù)據(jù)在各個(gè)小組的頻率的大小.eq\a\vs4\al(3要把握一個(gè)基本公式：頻率＝\f(頻數(shù),樣本容量).)即時(shí)訓(xùn)練1.(2024·貴州黔東南州聯(lián)考)近年呼吁高校招生改革的呼聲越來越高，在贊成高校招生改革的市民中按年齡分組，得到樣本頻率分布直方圖如圖，其中年齡在[30,40)歲的有2500人，年齡在[20,30)歲的有1200人，則m的值為()A．0.013B．0.13C．0.012D．0.12答案C解析由題意得，年齡在范圍[30,40)歲的頻率為0.025×10＝0.25，則贊成高校招生改革的市民有eq\f(2500,0.25)＝10000人，因?yàn)槟挲g在范圍[20,30)歲的有1200人，則m＝eq\f(\f(1200,10000),10)＝0.012.故選C.考向二莖葉圖的應(yīng)用例2(1)(2024·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7答案A解析甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.(2)(2024·鄭州質(zhì)量預(yù)料)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．如圖是依據(jù)某地某日早7點(diǎn)到晚8點(diǎn)甲、乙兩個(gè)PM2.5監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的方差較小的是()A．甲 B．乙C．甲、乙相等 D．無法確定答案A解析從莖葉圖上可以視察到：甲監(jiān)測(cè)點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)比乙監(jiān)測(cè)點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)更加集中，因此甲地濃度的方差較小．觸類旁通莖葉圖的繪制及應(yīng)用(1)一般制作莖葉圖的方法是：將全部?jī)晌粩?shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個(gè)莖，莖按從小到大依次由上到下列出．2估計(jì)數(shù)字特征，給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.即時(shí)訓(xùn)練2.(2024·江蘇丹陽模擬)某校開展攝影競(jìng)賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如圖所示．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91.復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)覺有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清．若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)當(dāng)是()A．1B．2C．3D．4答案A解析當(dāng)x≥4時(shí)，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91.當(dāng)x<4時(shí)，eq\f(89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋91,7)＝91，∴x＝1，故選A.考向三數(shù)字特征的應(yīng)用角度1樣本數(shù)字特征與直方圖交匯例3(2024·益陽模擬)為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能狀況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成果(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320D．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32答案D解析由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對(duì)應(yīng)的數(shù)值，是26.25；眾數(shù)是最高矩形的中間值27.5；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為160.故D錯(cuò)誤．角度2樣本的數(shù)字特征與莖葉圖例4對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：(1)畫出莖葉圖；(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差，并推斷選誰參與競(jìng)賽比較合適？解(1)畫莖葉圖如下(中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù))．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的極差為11，乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據(jù)可知，甲、乙平均數(shù)相同，但乙的極差、方差相對(duì)更小，成果更穩(wěn)定，故選乙參與競(jìng)賽較合適．觸類旁通1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義,平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述；平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小.eq\a\vs4\al(2在計(jì)算平均數(shù)、方差時(shí)可利用平均數(shù)、方差的有關(guān)結(jié)論.)即時(shí)訓(xùn)練3.(2024·浙江臺(tái)州中學(xué)模擬)對(duì)某小區(qū)100戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖，則估計(jì)此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A．2.25,2.5 B．2.25,2.02C．2,2.5 D．2.5,2.25答案B解析由圖可知，前五組的頻率依次為0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五組的頻數(shù)依次為4,8,15,22,25，依據(jù)眾數(shù)的定義，眾數(shù)應(yīng)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故在第五組，用組中值表示該組的值，即為2.25.由中位數(shù)的定義，應(yīng)是第50個(gè)數(shù)與第51個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，而前四組的頻數(shù)和為4＋8＋15＋22＝49，是第五組中第1個(gè)數(shù)與其次個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，比照選項(xiàng)，中位數(shù)是2.02最合理，故選B.4．(2024·襄陽模擬)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同．(1)求m，n的值；(2)比較甲、乙兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，并說明理由．解(1)依