山西大學附中2023-2024學年第二學期高二6月考試（總第四次考試）數學試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求解集合，再求交集.【詳解】依題意得，且,則.故選：B2．隨機變量的概率分布為1240.40.30.3則等于（

）A．11 B．15 C．35 D．39【答案】B【分析】先根據分布列求出，再根據期望的性質可求得答案【詳解】由題意得，所以,故選：B3.若，則“”的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據充分不必要條件的概念，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】由得，推不出來，由得或，推不出來，排除A，B；由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要條件，排除C；由，反之不成立，D正確，故選：D.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指數函數和對數函數的單調性即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，又，所以．故選：A.5．函數的單調遞減區間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數的定義域，再分別求出函數和對數函數的單調性，最后利用復合函數單調性，可求出函數的單調遞減區間.【詳解】解：解不等式，解得：或，所以函數的定義域為.設函數，可知為二次函數，且開口向上，則函數在區間上為減函數，在區間上為增函數，而對數函數在上為減函數，由復合函數單調性“同增異減”可知，函數的單調遞減區間為.故選：D.6．下表為某外來生物物種入侵某河流生態后的前3個月繁殖數量y（單位：百只）的數據，通過相關理論進行分析，知可用回歸模型對y與t的關系進行擬合，則根據該回歸模型，預測第6個月該物種的繁殖數量為（

）第個月123繁殖數量A．百只 B．百只 C．百只 D．百只【答案】C【分析】將回歸模型兩邊取自然對數，并令，由此構建一個u與t的回歸直線模型，根據回歸直線必過中心點，可求出a值，利用所得回歸模型進行預測..【詳解】由題意，兩邊取自然對數得，令，則．，，∵回歸直線必過樣本點的中心，∴，得，∴，則．當時，．故選：C.7．為了激發同學們學習數學的熱情，某學校開展利用數學知識設計LOGO的比賽，其中某位同學利用函數圖像的一部分設計了如圖的LOGO，那么該同學所選的函數最有可能是（

） B．C． D．【答案】B【分析】利用導數研究各函數的單調性，結合奇偶性判斷函數圖象，即可得答案.【詳解】A：，即在定義域上遞增，不符合；B：，在上，在上，在上，所以在、上遞減，上遞增，符合；C：由且定義域為，為偶函數，所以題圖不可能在y軸兩側，研究上性質：，故遞增，不符合；D：由且定義域為R，為奇函數，研究上性質：，故在遞增，所以在R上遞增，不符合；故選：B8.已知函數是定義域為且周期為4的奇函數，當時，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．函數的圖象關于對稱C．的最大值為 D．函數有8個零點【答案】D【分析】根據條件，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】對于選項A，由于是定義域為且周期為4的奇函數，故，，同理，+，故選項A正確；對于選項C，因為是周期為4的函數，故也是周期為4的函數，當時，，所以時，，故，得到時，，當時，，，得到時，，則當時，，，當時，，，當時，，，則當時，，所以，，易知，也是周期為4的周期函數，函數圖像如圖所示，在x處有最大值，故，故選項C正確；對于選項B，由圖像知，對稱軸為，易知，k＝1時，，故選項B正確；對于選項D，畫出與的圖像，因為時，，時，；時，；時，，如圖所示，y＝g(x)與y共由9個交點，故選項D錯誤．故選：D.【點睛】關鍵點晴：本題的關鍵在于利用函數的周期性，從而得出的圖像，利用圖像，數形結合來解決問題.二、多選題9．下列說法中，正確的選項是（

）A．集合真子集的個數為8個B．函數與是同一函數C．若定義在上的函數滿足，則為增函數D．若為定義在上的奇函數，則【答案】BD【分析】A選項：真子集個數為個；B選項：兩函數相同比較定義域和對應法則；C選項：用函數的單調性定義判斷；D選項：利用奇函數的性質判斷.【詳解】A選項：集合真子集的個數為個，B選項：函數與定義域都為，兩函數對應法則也相同，所以兩函數是同一函數，C選項：若定義在上的函數滿足，并不能說明對都有，所以不一定為增函數，D選項：奇函數有，所以所以.故選：BD10．已知，，則使得的最小值為的條件是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據基本不等式、二次函數的性質判斷．【詳解】A，，當且僅當時等號成立；B，，當且僅當時等號成立；C，，當且僅當時等號成立，沒有最小值，C錯；D，由已知，，時，取最小值4，故選：ABD．11．一個不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍三種顏色的小球各一個，每次從袋子中隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回，當三種顏色的小球均被摸出過時就停止摸球.設“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則（

）A． B．C．， D．，【答案】ACD【分析】對選項AC，求出包含的事件數為，從而得到，并計算出；選項B，計算出，，利用條件概率公式計算出答案，選項D，得出，，和，，利用條件概率公式得到答案.【詳解】對于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有種可能，若恰好摸球n次就停止摸球，則恰好第n次三種顏色都被摸到，即前次摸到2種顏色，第n次摸到第三種顏色，共種情況，則，，，AC正確；對于B，事件表示第一次摸到紅球，摸到第4次，摸球結束，若第2次或第3次摸到的球為紅球，此時有種情況，不妨設第2次摸到的球為紅球，則第3次和第4次摸到的球為藍球或黃球，有2種可能，故有種情況，若第2次和第3次都沒有摸到紅球，則第2次和第3次摸到的球顏色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球顏色不同，故有種情況，故，其中摸4次球可能的情況有種，故，其中，故，B錯誤；對于D，表示“第次摸到藍球，第次摸到黃球，第次摸到紅球，停止摸球”，則前次摸到的球是藍球或黃球，故有種可能，故，，表示“在前次摸球中，第次摸到藍球，第次摸到黃球”，故有種可能，故，，則，，D正確.故選：ACD【點睛】常見的條件概率處理方法，其一是用樣本點數的比值處理，需要弄情況事件包含的樣本點數，其二是用概率的比值處理，也可以縮小樣本空間，從而確定概率，解決實際問題的關鍵在于分析情況基本事件.三．填空題12.已知命題p：?x∈[-1,1]，x2>a，則?p為

．【答案】?x∈[-1,1]，x2【解析】【分析】本題考查存在量詞命題的否定，屬于基礎題．

由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可求解．【解答】解：命題p：?x∈[-1,1]，x2>a，

則?p為?x∈[-1,1]13.已知數列的通項公式為，若為遞增數列，則實數的取值范圍是.答案：解析：由題意知當時,必有恒成立,則,即.令,則.所以在時單調遞增,故.又,即,因此,.已知關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是.14．已知關于x的不等式恒成立，則實數a的取值范圍是.【答案】【分析】原不等式變形轉化為，構造函數，轉化為恒成立，利用導數研究，可得，再分離參數即可得解.【詳解】原不等式，構造函數，則，則，令，解得，故當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，若，則當時，，此時恒不成立，故，所以，所以成立，只需成立即可，即恒成立，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故，所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對不等式結構的觀察，同構出函數，轉化為研究函數大致變化情況，再由對的分類討論確定，且能得出，即可脫去“”，轉化為恒成立，分參即可得解.四、解答題15.（本題13分）眾所周知，閱讀能力在各個領域的作用都較為突出，開展閱讀能力的培養與訓練，對個人綜合能力的提升有很大幫助.(1)某研究機構想知道閱讀訓練對閱讀能力的提升有多大的幫助，隨機抽查了100名堅持進行閱讀訓練的同學和100名沒有堅持進行閱讀訓練的同學，對他們進行閱讀理解能力測試（滿分100分，規定不低于80分為優秀），得到如下列聯表：不優秀優秀堅持進行閱讀訓練3070沒有堅持進行閱讀訓練6040問：根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為閱讀理解成績是否優秀與堅持進行閱讀訓練有關(2)數學學科具有較強的邏輯性和抽象性，為了做進一步研究，該機構又從閱讀理解成績優秀的同學中隨機選取了10名同學，對這10名同學進行了數學測試（滿分150分），這10名同學的兩次測試成績如下表：序號12345678910閱讀理解成績（分）88928896969090949492數學成績（分）801107413813298102122114110為判斷數學成績與閱讀理解成績的線性相關性，請利用這10名同學的成績，求相關系數（精確到0.01）.附：①，其中.0.010.0050.0016.6367.87910.828②獨立性檢驗臨界值表：③④【答案】(1)有(2)0.97【詳解】（1）零假設為:閱讀理解成績是否優秀與堅持進行閱讀訓練無關.............1根據列聯表中的數據，得............4因為，.............5根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為假設不成立，即閱讀理解成績是否優秀與堅持進行閱讀訓練有關，此判斷犯錯誤的概率不超過0.01.............7（2）由表中數據，得，.............8，.............9所以，.............13所以相關系數的值約為0.97.16．等差數列的前項和為，等比數列中，.(1)求和.(2)若數列滿足，求數列的前11項和.【詳解】（1）設等差數列的首項和公差分別為，設等比數列的公比為，所以.公差............................................................2...........................................................4，公比.......................................8（2）.....................................................9................................................11.............................................................1517.函數的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式；(2)若，求的值；(3)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據圖象中特殊點的坐標，結合余弦型函數的周期公式進行求解即可；（2）根據誘導公式可求解；（3）根據函數零點的定義，結合余弦型函數的有界性分類討論進行求解即可.【詳解】（1）由圖可得，........................1函數過點，所以，則，解得，......................................................................................3又，則，所以；...............................................4（2）若，即，而；.................8（3）因為，所以，則，................10令，.設，則恒成立，...............11由二次函數的圖象性質可知，只需，...............14解得，故的取值范圍為................1518．已知函數．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；(2)當時，討論的單調性；(3)若集合有且只有一個元素，求的值．【答案】(1)(2)單調遞增區間為；單調遞減區間為(3)【分析】（1）根據條件，利用導數的幾何意義，即可求出結果；（2）對函數求導得到，由函數定義域知，再利用導數與函數單調性間的關系，即可求出結果；（3）對函數求導得到，再分和兩種情況討論，利用導數與函數單調性間的關系，求出函數的單調區間，結合條件，即可求出結果.【詳解】（1）當時，，...................................................1所以..................................................3,得到，所以曲線在點處切線的斜率為．..................................................5（2）當時，，易知的定義域為，.....................6又，.................................................8因為，所以，所以時，，時，所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為．...................................11（3）因為，所以，易知，當時，的定義域為，所以恒成立，故在上單調遞增，又，所以不合題意，................................................13當時，的定義域為，此時，所以時，，時，，故的單調遞增區間為，單調遞減區間為，所以．.................................................15設，則，當時，，時，，所以的單調遞減區間為；單調遞增區間為．所以，所以集合有且只有一個元素時．..................................................17【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法：一是分離參數法,使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論；三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.19．已知集合，對于的一個子集，若存在不大于的正整數，使得對中的任意一對元素，都有，則稱具有性質．(1)當時，試判斷集合和是否具有性質？并說明理由；(2)當時，若集合具有性質，①判斷集合是否一定具有性質？并說明理由；②求集合中元素個數的最大值．【答案】(1)詳見解析；